Enunciado

O carrinho de montanha-russa e seus passageiros têm massa total m. Determine a menor velocidade que ele tem de ter quando entra no loop A de maneira que ele possa completar a volta sem deixar os trilhos. Determine também a força normal que os trilhos exercem sobre o carrinho quando ele dá a volta e chega à parte de baixo da pista, em C. O raio de curvatura dos trilhos em B é ρ B e em C é ρ C ·. Despreze a dimensão do carrinho. Os pontos A e C estão na mesma altura.

Passo 1

Com referência definida na figura representativa, a energia potencial gravitacional do bloco nas posições (A) e (B) podem ser escritas através de:

( V g ) A = m g h A

( V g ) B = m g h B

A energia cinética para os dois pontos é expressa por:

( T ) A =   m v A 2 2

( T ) B =   m v B 2 2

Passo 2

Identificadas as energias atuantes no sistema, admitindo que sejam conservativas, a lei de conservação da energia mecânica será:

E M = C o n s t a n t e

E M = T + V

T A + V A = T B   +   V B

Substituindo as expressões no balanço energético, tem-se que:

m v A 2 2 + mg h A  =  m v B 2 2  + m g h B  

Passo 3

Como se trata de um problema literal e de natureza curvilínea, é adequada a proposta de utilização do sistema de coordenadas normal-tangencial para auxiliar no procedimento de análise. No ponto B, tem-se a seguinte configuração:

Com a condição de permanência nos trilhos N B = 0 e a ausência de forças na tangencial do sistema, a avaliação dinâmica é dada apenas pela componente normal. Sendo assim:

+ ↓ ∑ F n = m * a n

P = m * v B 2 ρ B

m * g = m * v B 2 ρ B

v B 2   = ρ B * g                                             ∴                               v B =   ρ B * g  

Passo 4

Pela lei de conservação de energia mecânica, tem-se que:

m v A 2 2 + mg h A  =  m v B 2 2  + m g h B  

m v A 2 2 + m*g*0  =  m ( ρ B * g   ) 2 2  + m g h  

Isolando v A , obtém-se a seguinte expressão:

v A =   ρ B * g + 2 * g h

Passo 5

Como a avaliação da força normal do ponto C é uma incógnita, depende de diversos parâmetros que compõem o estado C, bem como a velocidade. De forma análoga aos ponto A e B, realizando a aplicação do princípio da conservação da energia mecânica para o ponto A e C.

T A + V A = T C   +   V C

Substituindo as expressões no balanço energético, sabendo que h C     =  h A  = 0   , tem-se que:

m v A 2 2 + mg h A  =  m v C 2 2  + m g h C  

m v A 2 2 + m*g* 0  =  m v C 2 2  + m * g * 0  

m ρ B * g + 2 * g * h 2 2  =  m v C 2 2  

Por conveniência, temos que:

v C 2 =   ρ B * g + 2 * g * h

Passo 6

No ponto C, tem-se a seguinte configuração para as forças do sistema:

+ ↑ ∑ F n = m * a n

N C - P = m * v C 2 ρ C

N C -   m * g = m * v C 2 ρ C

Substituindo a expressão de v C encontrada, tem-se que:

N C = m * ( ρ B * g + 2 * g * h ) ρ C +   m * g

Colocando a massa, aceleração gravitacional e o raio de curvatura de C, a expressão final para a força normal em C será:

N C = m * g ρ C ( ρ B + 2 * h   +   ρ C )

Resposta

A expressão para a mínima velocidade para que o carrinho não deixe os trilhos e complete a volta será:

v A =   ρ B * g + 2 * g h

A expressão para a força normal no ponto C, é dada por:

N C = m * g ρ C ( ρ B + 2 * h   +   ρ C )

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