Enunciado

O parafuso de aço A-36 com 8 mm de diâmetro está parafusado firmemente ao bloco em A. Determine as forças conjugadas F que devem ser aplicadas à chave de torque de modo que a tensão de cisalhamento máxima no parafuso seja de 18 MPa. Calcule também o deslocamento correspondente de cada força F necessário para causar essa tensão. Considere que a chave de torque seja rígida.

Passo 1

Oláaaa, querido! Cê tá bem?

Então, temos um eixo (no caso, o parafuso), que sofre uma torção por causa desse par de forças F . Aí essa torção gera uma tensão de cisalhamento no parafuso e também causa nele um ângulo de deformação.

Antes de colocarmos a mão na massa, vamos listar os dados que nós temos e quem queremos encontrar:

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9 P a

d = 8   m m

τ a d m = 18   M P a

L = 80   m m

Aí o que ele quer é saber o valor da força F para que a tensão de cisalhamento no parafuso seja a máxima de τ m á x = τ a d m = 18   M P a . E quer saber também o deslocamento da força para que essa tensão aconteça. Como assim?

Bem, a tensão causa uma deformação no parafuso, aí o deslocamento do ponto de aplicação da força é resultado dessa deformação. Como a tensão é causada por F , podemos ver qual é o deslocamento que F tem, se ela causa σ m á x .

Agora que gente fez essa visão geral e listou alguns dados, vamos partir para achar o que ele pede? Bora!

Passo 2

Inicialmente, vamos encontrar o valor da torção T que precisa ser causada pelas forças para que τ m á x = τ a d m . E vamos fazer isso utilizando a formulinha da τ para a torção máxima:

τ m á x = T × c J

T = τ m á x × J c

A torção máxima ocorre no ponto mais distante do centro da seção, ou seja, quando c é igual ao raio da seção:

c = r = d 2 = 8 2   m m = 0,0 0 4   m

E como queremos τ m á x = τ a d m :

T = τ a d m × J c

J   é o nosso momento polar de inércia, e que é dado por:

J = π 2 × r 4

Com r = 0,0 0 4   m . Jogando isso na fórmula da torção:

T = τ m á x × π 2 × r 4 c

Atribuindo valores à fórmula, temos:

T = 18 × 10 6 N m 2 × π 2 × 0,004 m 4 0,004 m

T = 1,81   N . m

Passo 3

Beleza, encontramos o valor de T agora. Bora fazer um DCL para visualizar o torque interno no parafuso

Aí pelo equilíbrio de momentos nesse eixo vertical:

∑ M z = 0

T - F × 0,15 - F × 0,15 = 0

Simplificando e substituindo o valor de T :

1,81 = 2 F × 0,15

Isolando F

F = 1,81 0,30

F = 6,032 N

Passo 4

Falta achar o deslocamento do ponto de aplicação da força δ , né? Vamos refletir aqui. A deformação que o parafuso sofre com a torção causa essa deformação nele:

Ou seja, a extremidade do parafuso sofre uma deformação angular ϕ . Por isso, essa haste de cima vai rotacionar ϕ , e assim o ponto de aplicação de F se desloca δ . Para achar δ , precisamos descobrir o nosso ângulo de torção ϕ .

Ele tem essa fórmulinha:

ϕ = T × L J × G a ç o

Atribuindo valores a fórmula:

ϕ = 1,81 N . m × 0,8 m π 2 × 0,004 m 4 × 75 × 10 9 N m 2    

ϕ = 0,0048 r a d

Passo 5

Estamos quase matando a questão. Percebe que na nossa figura δ é a aproximadamente o comprimento de arco do setor que tem raio 0,15   m e ângulo de abertura ϕ , já que ϕ é bem pequeno. Então podemos dizer que:

δ = r × ϕ

Onde r é a distância da força até o parafuso. 😉 Substituindo os valores:

δ = 0,15 m × 0,0048 r a d

δ = 0,00072 m = 0,720 m m

Executamos mais uma! VAPO!

Resposta

F = 6,032 N

δ = 0,00072 m = 0,720 m m

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