Enunciado

O eixo de transmissão tubular para a hélice de um aerodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rad/s, determine o diâmetro interno exigido para o eixo, considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação? Considere τ a d m = 90   M P a e G = 75   G P a .  

Passo 1

Oi, galera! Vamos lá responder essa questão? Todo o contexto do aerodeslizador pode assustar um pouco, mas basicamente a gente tem um eixo que recebe uma potência. E a gente quer descobrir o raio interno dele e o ângulo de torção. Tá bem?

Antes de colocarmos a mão na massa, vamos listar os dados que nós temos:

L = 6 m

P = 4   M W

ω = 25   r a d / s

d 0 = 250 m m

τ = 90   M P a

G = 75   G P a

Vou dar um spoiler do que iremos fazer para matar essa questão.

Inicialmente, vamos encontrar o valor de T , para isso utilizaremos a fórmula da potência :

P = T × ω

Com o valor de T em mãos e sabendo que τ a d m = T × c J , fica mais fácil determinarmos o diâmetro interno.

E sabendo que ϕ = T × L J × G   , fica fácil encontrarmos o ângulo de torção ( ϕ ) .

Então, vamos lá?

Passo 2

A fórmula da potência depende da velocidade angular e nos permite calcular o torque gerado pelo sistema no eixo:

P = T × ω

T = P ω

Os valores de P e ω são conhecidos, substituindo os na fórmula, temos:

T = P ω

T = 4 × 10 6 W 25   r a d / s

T = 4 × 10 6 N . m / s 25   r a d / s

T = 160000   N . m  

Passo 3

Beleza, encontramos o valor de T , agora vamos utilizar a fórmula da τ a d m :

τ a d m = T × c J

Sendo que nossa seção tem um furo, então J o nosso momento polar de inércia, é dado por:

J = π 2 c 0 4 - c i 4

Onde c 0 é o raio externo e c i o interno (de onde tiraremos o diâmetro interno). Vamos isolar c i   em função dos demais valores:

τ a d m = T × c π 2 × c 0 4 - c i 4

c 0 4 - c i 4 = T × c 0 π 2 × τ a d m

c i = c 0 4 - T × c 0 π 2 × τ a d m 1 4

Agora, só jogar na fórmula todo mundo que a gente conhece e achar o valor de c i :

c i = 0,125 m 4 - 160000 N . m × 0,125 m π 2 × 90 × 10 6 N m 2 1 4 = 0,1005 m

Encontramos o valor do raio interno, só que queremos o diâmetro, basta multiplicarmos por 2:

d i = 2 × 0,1005 m = 0,201 m = 201 m m

Passo 4

Só falta achar o nosso ângulo de torção ϕ , né? Po, moleza... sabendo que ϕ = T × L J × G , temos:

Pera. Bora anotar todas as nossas unidades para a gente não errar de bobeira e logo no final da questão, beleza?

L   m ; J m 4 ; G N m 2 ; T N . m

Show!!!

Atribuindo valores a fórmula:

ϕ = 160000 N . m × 6 m π 2 × 0,125 m 4 - 0,1 m 4 × 75 × 10 9 N m 2     = 0,057 r a d

Mas em radiano??? Vamos transformar isso em graus? É tranquilão, só fazer uma regrinha de três:

360 ° = 2 π r a d

x = 0,057 r a d

x = 360 ° × 0,057 r a d 2 π r a d = 3,30 °

Aeeeee!!!! Bora para a próxima. 😉

Resposta

d i = 201 m m ;     ϕ = 3,30 °

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