Enunciado

O pêndulo consiste em duas hastes finas A B e O C , que tem massa de 3   k g / m . A placa fina tem massa de 12   k g / m 2 . Determine a localização y - do centro de massa G do pêndulo; depois, determine o momento de inércia de massa do pêndulo em relação a um eixo perpendicular à página e que passa por G .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão bem grande, que vamos ter que realizar vários passos para poder resolvê-la.

De início, a questão nos pede para calcular o centroide do pêndulo e depois o momento de inércia de massa do pêndulo em relação ao eixo que passa pelo centroide. Sendo assim, vamos começar determinando o centro de massa do pêndulo

Então, vamos utilizar o bom e velho método de dividir para conquistar. Vamos dividir a nossa figura em quatro seções, sendo elas: haste A B , haste O C , disco de raio r = 0,3   m e disco de raio r = 0,1   m .

Percebam que este último disco é a parte vazada da placa fina. Portanto, quando formos fazer os cálculos do momento de inércia e centro de massa, não esqueçam de colocar o sinal dele negativo!!!

Agora, vamos as contas!

Passo 2

Novamente, vamos começar calculando o centro de massa do nosso pêndulo,

Então, para nos auxiliar nas contas, vamos montar uma tabela com os valores do centroide e os respectivos produtos pela área (e embaixo o somatório).

Vejamos só abaixo:

Portanto, o centro de massa estará na posição:

y - = 5,429 + 3,375 6,9 + 3,016 = 0,888   m

E assim finalizamos a primeira parte da questão!

Passo 3

Agora nós temos que descobrir o momento de inércia do pêndulo em relação a um eixo perpendicular que passa por O .

Para isto, temos que fazer um procedimento semelhante ao do Passo anterior, só que para o momento de inércia.

Além disto, temos uma preocupação. O momento de inércia que nós calculamos é em relação ao centroide da seção, e não em relação ao eixo O . Por causa disto, temos que utilizar o teorema dos eixos paralelos, que nos diz que:

I = I G + m d 2

Sendo I G o momento de inércia que passa pelo centro de massa da peça, I o momento de inércia que queremos e d a distância entre os dois eixos.

Relembrando também, a fórmula para momento de inércia passando pelo centro da figura é:

I = m L 2 12 ,     p a r a   a   h a s t e I = m r 2 2 ,     p a r a   o   d i s c o

Para a haste, a massa é m = ρ L . Já para o disco, a massa é m = ρ A .

Compilando todos os dados em uma tabela, temos:

Então o momento de inércia será:

I = 5,59   k g ⋅ m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

y - = 0,888   m

I = 5,59   k g ⋅ m 2

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