Enunciado

Um pequeno foguete com massa inicial m 0 é lançado verticalmente para cima nas proximidades da superfície da Terra ( g constante). Se a resistência do ar é desprezada, determine a forma na qual a massa m do foguete deve variar em função do tempo t após o lançamento a fim de que o foguete tenha uma aceleração vertical constante a , com uma velocidade relativa constante u dos gases de escape em relação ao bocal.

Passo 1

Vamos olhar para a soma das forças externas que agem sobre o foguete:

∑ F = m a + m ˙ u

Onde u é a velocidade dos gases de escape em relação ao bocal. A única força externa que age nesse caso é o peso, apontando na direção vertical para baixo:

- m g = m a + m ˙ u

Nosso objetivo aqui é achar a massa do foguete em função do tempo:

m ˙ = d m d t = - m a + g u

Passo 2

Agora podemos resolver essa equação diferencial para encontrar m ( t ) :

d m m = - a + g u   d t

E agora vamos integrar quando a massa varia de m 0 até m e o tempo varia de 0 até t :

∫ m 0 m d m m = ∫ 0 t - a + g u   d t

ln ⁡ m m 0 = - a + g u t

E agora aplicando a exponencial dos dois lados:

m ( t ) = m o e - a + g u t

E essa é a função que estávamos procurando.

Resposta

A massa é dada por m ( t ) = m o e - a + g u t .

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