Enunciado

Um pequeno veículo entra no topo A da trajetória circular com uma velocidade horizontal v 0 e ganha velocidade conforme se desloca pra baixo na trajetória. Determine uma expressão para o ângulo β que localiza o ponto onde o veículo sai da trajetória e se torna um projétil. Avalie sua expressão para v 0 = 0 . Despreze o atrito e trate o veículo com uma partícula.

Passo 1

Na direção normal temos uma componente do peso e a força normal, e juntas elas precisam gerar uma resultante centrípeta:

∑ F n = m g cos ⁡ β - N = m v 2 R

E aqui estamos considerando que o sentido positivo aponta para o centro da trajetória.

Na direção tangencial temos apenas a outra componente do peso:

∑ F t = m g sen ⁡ θ

Quando o veículo perde contato com o chão a força normal é nula, então, pela primeira equação:

m g cos ⁡ β = m v 2 R           ⇒     cos ⁡ β = v 2 g R

Beleza, já temos uma fórmula para o ângulo em que a perda de contato acontece, mas falta determinar a velocidade nesse ponto.

Passo 2

Para encontrar uma equação para a velocidade podemos usar a equação de Torricelli, mas de um jeito bastante incomum.

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

Essa equação exige que a e Δ s estejam na mesma direção, certo? Então se considerarmos a = g , isso quer dizer que estamos pensando na direção vertical e para baixo, e por isso Δ s também ter que ser o deslocamento medido nessa direção.

Vamos procurar uma fórmula para o deslocamento vertical do carro para um certo ângulo β :

Olhando para essa figura temos:

Δ s = R - R cos ⁡ β = R ( 1 - cos ⁡ β )

E então a nossa equação fica:

v 2 = v 0 2 + 2 g R ( 1 - cos ⁡ β )

Passo 3

Agora podemos substituir isso de volta na equação do passo 1 :

cos ⁡ β = v 2 g R = 1 g R v 0 2 + 2 g R ( 1 - cos ⁡ β )

cos ⁡ β = v 0 2 g R + 2 ( 1 - cos ⁡ β )

3 cos ⁡ β = v 0 2 g R + 2         ⇒         cos ⁡ β = v 0 2 3 g R + 2 3

Beleza, chegamos na expressão que queríamos, agora vamos calcular β no caso em que v 0 = 0 :

cos ⁡ β = 2 3         ⇒         β = 48,2 °

Pronto!

Resposta

A expressão para o ângulo em que o veículo sai da trajetória é β = arccos ⁡ v 0 2 3 g R + 2 3 e β = 48,2 ° para v 0 = 0 .

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