Enunciado

Um tubo vazado gira em torno do eixo horizontl que passa pelo ponto O com uma velocidade angular constante ω 0 . Uma partícula de massa m é introduzida com velocidade relativa nula em r = 0 quando θ = 0 e desliza para fora através do tubo liso. Determine r como uma função de θ .

Passo 1

Como estamos interessados no valor de r , vamos começar analisando as forças na direção radial:

∑ F r = m a r = m ( r ¨ - r ω 0 2 )

A única força que age nessa direção é:

m g sen ⁡ ω 0 t = m ( r ¨ - r ω 0 2 )

g sen ⁡ ω 0 t = r ¨ - r ω 0 2

r ¨ - r ω 0 2 - g sen ⁡ ω 0 t = 0  

Então ficamos com uma equação diferencial ordinária linear não-homogêna de segundo grau.

Passo 2

Você deve se lembrar de que a melhor forma de encontrar uma solução nesse caso é chutar alguma coisa desse tipo:

r = K e s t

E vamos substituir isso na equação homogênea (em que simplesmente desconsideramos a constante)

r ¨ - r ω 0 2 = 0  

K s 2 e s t - K e s t ω 0 2 = 0

s 2 - ω 0 2 = 0

E então:

s = ± ω 0

E agora precisamos buscar a solução não-homogênea:

r ¨ - r ω 0 2 = g sen ⁡ ω 0 t

E aqui não tem jeito, você precisa usar sua experiência e intuição, um bom palpite é:

r = B sen ⁡ ω 0 t

- B ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t - B ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t = g sen ⁡ ω 0 t

- 2 B ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t = g sen ⁡ ω 0 t

Supondo que sen ⁡ ω 0 t ≠ 0 podemos encontrar a constante B :

B = - g 2 ω 0 2

r = - g 2 ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t

E agora temos que somar a solução particular e a homogênear para encontrar a solução geral:

r = K 1 e - ω 0 t + K 2 e ω 0 t - g 2 ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t

Passo 3

E agora precisamos achar as constantes usando as condições iniciais:

r = K 1 e - ω 0 t + K 2 e ω 0 t - g 2 ω 0 sen ⁡ ω 0 t

r 0 = 0       ⇒     K 1 + K 2 = 0

r ˙ 0 = - ω 0 K 1 + ω 0 K 2 - g 2 ω 0 = 0

E isso é um sistema que pode ser resolvido para encontrar A e B . Da primeira equação podemos obter:

K 1 = - K 2

E substituindo na segunda:

2 ω 0 K 2 = g 2 ω 0

K 2 = g 4 ω 0 2         ⇒           K 1 = - g 4 ω 0 2

E então nossa solução é:

r = - g 4 ω 0 2 e - ω 0 t + g 4 ω 0 2 e ω 0 t - g 2 ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t

Mas ω 0 t = θ , então:

r = - g 4 ω 0 2 e - θ + g 4 ω 0 2 e θ - g 2 ω 0 2 sen ⁡ θ

E temos que lembrar da definição do seno hiperbólico:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Então:

r ( θ ) = g 2 ω 0 2 ( senh ⁡ θ - sen ⁡ θ )

Resolvido!

Resposta

A função é r ( θ ) = g 2 ω 0 2 ( senh ⁡ θ - sen ⁡ θ ) .

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