Enunciado

Um pequeno veículo robótico subaquático controlado remotamente e sua corrente são posicionados conforme mostrado. O veículo com flutuação neutra possui propulsores independentes para controle horizontal e vertical. A corda, projetada para ser ligeiramente flutuante, tem uma força líquida para cima de 0,025 N por metro de seu comprimento agindo sobre ela. Existem 60,5 m de cabo entre os pontos A e B. Determine as forças horizontais e verticais que o veículo deve exercer sobre o cabo em B para manter a configuração mostrada. Além disso, encontre a distância h. Suponha que a corda entre os pontos A e B esteja totalmente submersa.

Passo 1

Como o comprimento do cabo é de 60,5 m, o comprimento do início do sistema de coordenadas até o ponto B é

s = 30.25 m

Enquanto as coordenadas do ponto B são

B 30 ; h

Passo 2

A seguir, como o cabo suporta apenas seu peso, o cabo tem um formato conhecido como catenária, portanto, para determinar a altura h, usaremos a expressão (5/19)

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

⇒                     y = T 0 μ cosh ⁡ x T 0 μ - 1

Coloque as coordenadas do ponto B na equação

h = T 0 μ cosh ⁡ 30 T 0 μ - 1                   ( 1 )

Observe que T0 e m são desconhecidos, bem como a razão T0/ μ , que podemos determinar a partir da expressão (5/20)

s = T 0 μ sinh ⁡ μ x 0

⇒                     s = T 0 μ sinh ⁡ x T 0 μ

Substitua x pela coordenada do ponto B e s por seu valor

30.25 = T 0 μ = sinh ⁡ 30 T 0 μ

Passo 3

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), traçaremos a função T 0 μ sinh ⁡ 30 T 0 μ e leremos o valor de T 0 μ em f T 0 μ = 30.25

T 0 μ = 134.331

A partir daqui, podemos expressar μ como

Vamos agora substituir T 0 μ por seu valor na equação (1)

h = 134.331 cosh ⁡ 30 134.331 - 1

Percebemos que a altura h é

h = 3.364 m

Passo 4

A fim de determinar as forças que o veículo exerce, precisaremos desenhar o diagrama de corpo livre

A força líquida para cima é igual a

F u = s ∙ 0.025 = 60.5 ∙ 0.025 = 1.5125   N

Usando simetria, conhecemos as seguintes relações:

T x = T h

T y = T v

Portanto, podemos escrever expressões para a tensão T como

T = T x 2 + T y 2

= T h 2 + T v 2

Passo 5

Ao igualar a soma das forças nas direções y a zero, podemos determinar a força Tv

∑ F y = 0

T y + T v - F u = 0

Substitua Ty por Tv e Fu por seu valor

2 T v - 1.5125   N = 0

⇒                     T v = 0.75625   N

Uma vez que a força Th é na verdade o componente x da tensão do cabo, conforme mostrado na 6ª etapa, o seguinte se aplica:

T h = T 0

Usando a expressão (5/22), podemos determinar a força Th

T = T 0 + y μ

Substitua T por T h 2 + T v 2 , μ por T 0 134.331 e y pela coordenada do ponto

T h 2 + T v 2 = T 0 + 3.364 T 0 134.331

Passo 6

Em seguida, substitua T0 por Th e Tv por seu valor

T h 2 + 0.75625 2 = T h + 3.364 T h 134.331

T h 2 + 0.75625 2 = 1.02504 T h                     / ∙ ( ) 2

Quadrado ambos os lados da equação

T h 2 + 0.75625 2 = 1.0507 T h 2

0.75625 2 = 0.0507 T h 2

A partir daqui, podemos expressar Th como

T h = 0.75625 2 0.0507

⇒                   T h = 3.359   N

Resposta

h = 3.364 m

T v = 0.75625   N

T h = 3.359   N

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