Enunciado

O veículo robótico controlado remotamente do Prob. 5/171 está agora conectado a uma corda de 200 m que tem uma ligeira flutuabilidade negativa em que uma força descendente líquida de 0,025 N por metro de seu comprimento atua sobre ela. Determine os componentes horizontal e vertical de empuxo que devem ser produzidos para manter o veículo na posição mostrada. O próprio veículo tem flutuabilidade neutra.

Passo 1

No esboço abaixo, podemos ver que as coordenadas dos pontos A e B são

A - 197 - l ; h + 10 = A l - 197 ; h + 10

e

B l ,   h

Vamos escrever a expressão para o comprimento do cabo (5/20)

s = T 0 μ sinh ⁡ x T 0 μ

Coloque a coordenada x dos pontos A e B na expressão acima para determinar os comprimentos sA e sB

S A = T 0 μ sinh ⁡ l T 0 μ

S B = T 0 μ sinh ⁡ l - 197 T 0 μ

Portanto, o comprimento total do cabo é

s A + s B = T 0 μ sinh ⁡ l T 0 μ + sinh ⁡ l - 197 T 0 μ

Sabemos que o cabo tem 200 m de comprimento, então podemos substituir sA + sB por 200

200 = T 0 μ sinh ⁡ l T 0 μ + sinh ⁡ l - 197 T 0 μ                     ( 1 )

Passo 2

A seguir, vamos escrever a expressão para coordenada y do cabo (5/19)

y = T 0 μ cosh ⁡ x T 0 μ - 1

Coloque as coordenadas do ponto A na equação

y A = T 0 μ cosh ⁡ l - 197 T 0 μ - 1

Coloque as coordenadas do ponto B na equação

y B = T 0 μ cosh ⁡ l T 0 μ - 1

Vamos subtrair yB de yA para obter a diferença de altura entre os pontos

y A - y B = T 0 μ cosh ⁡ l - 197 T 0 μ - cosh ⁡ l T 0 μ

Passo 3

Vemos pelo desenho que a diferença de altura entre os pontos é de 10 m, então podemos substituir yA - yB por 10

10 = T 0 μ cosh ⁡ l - 197 T 0 μ - cosh ⁡ l T 0 μ                     ( 2 )

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente as funções (1) e (2) e ler os valores de T 0 μ e l que satisfaz ambas as equações do ponto de intersecção

Observe que você precisará ampliar o gráfico para poder ler as coordenadas do ponto de intersecção

l = 81.43   m

T 0 μ = 341.07

Passo 4

A partir daqui, podemos expressar μ como

μ = T 0 341.07

Agora, podemos determinar a coordenada yB (altura h), colocando os valores calculados na expressão escrita na etapa 3

y B = h = 341.07 cosh ⁡ 81.43 341.07 - 1

⇒                 h = 9.77   m

Observe que a coordenada y do ponto A é

y A = 10 + h

= 19.77   m

A fim de determinar as forças que o veículo exerce, precisaremos desenhar o diagrama de corpo livre

A força descendente líquida é igual a

F d = s ∙ 0.025

= 200 ∙ 0.025

= 5   N

Passo 5

Usando a expressão (5/22), determinaremos as tensões em A e B

T = T 0 + μ y

Substituir μ por T 0 341.07

T = T 0 + y T 0 341.07

E coloque as coordenadas y do ponto A (B) na equação

T A = T 0 + 19.77 T 0 341.07

T A = 1.0580 T 0

T B = T 0 + 9.77 T 0 341.07

T B = 1.0286 T 0

Sabemos que T0 é na verdade o componente x da tensão através do cabo, então podemos escrever como

A partir daqui, podemos escrever a expressão para α e β

α = arccos ⁡ T 0 T A

α = arccos ⁡ T 0 1.0580 T 0

α = 19.06 °

β = arccos ⁡ T 0 T B

β = arccos ⁡ T 0 1.0285 T 0

α = 13.54 °

Passo 6

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a torção T0

∑ F y = 0

T A sin ⁡ α + T B sin ⁡ β - 5 = 0

Substitua TA por 1.0580T0, TB por 1.0286T0 e ângulos por seus valores

1.0580 T 0 sin ⁡ 19.06 ° + 1.0286 sin ⁡ 13.54 ° = 5

0.58632 T 0 = 0

⇒                       T 0 = 8.528   N

A partir da expressão escrita na 7ª etapa, determinaremos que a tensão do cabo em B é

T B = 1.0286 ∙ 8.528

⇒                     T B = 8.772   N

Finalmente, vamos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre do veículo

Equacionando a soma das forças na direção x, determinaremos a força Th

∑ F x = 0

T h = T B cos ⁡ β

T h = 8.772 cos ⁡ 13.54 °

⇒                     T h = 8.528   N

Equacionando a soma das forças na direção y, determinamos a força T,

∑ F y = 0

T v = T B cos ⁡ β

T v = 8.772 sin ⁡ 13.54 °

⇒                     T v = 2.053   N

Resposta

T h = 8.528   N

T v = 2.053   N

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Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se as expressões para os volumes das quatro primeiras formas na Fig. 5.21 estão corretas.
Determine por integração direta o centroide da área mostrada na figura.
Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir. Determine a resposta em termos de a e b .
A caixa d’água AB tem tampa hemisférica e é construída com placas de aço finas. Determine o volume dentro da caixa.
Determine  a  área  da  superfície  externa  do  tanque.