Enunciado

Se o peso do mastro é desprezível comparado à carga de 30   k N aplicada, determine as forças trativas T 1 e T 2 nos cabos e a força atuando na rótula em A .

Passo 1

O enunciado já definiu os eixos de coordenadas, então vamos começar escrevendo as trações em forma vetorial:

T → 2 = - T 2   i ^

E para o vetor T → 1 vamos precisar do vetor unitário na direção B C :

T → 1 = T 1 4   i ^ + 3   j ^ - 9   k ^ 4 2 + 3 2 + 9 2

T → 1 = T 1 0,389   i ^ + 0,291   j ^ - 0,874   k ^

E nosso objetivo é encontrar os escalares T 1 e T 2 , e a força em A , que tem componentes A x , A y e A z .

Passo 2

Vamos começar considerando o equilíbrio em relação ao eixo x . Nesse caso, as forças que produzem momento são o peso de 30   k N (a 4   m do eixo) e a componente y da força T 1 (a 4 + 2 + 3 = 9 ), enquanto a força T 2 é paralela ao eixo, e por isso não produz momento.

∑ M x = - T 1 y 9 + 30 4 = 0

E pelo vetor que escrevemos no passo anterior, sabeos que T 1 y = 0,291   T 1 :

T 1 = 30 4 ( 0,291 ) ( 9 ) = 45,8   k N

Passo 3

E agora vamos fazer a mesma coisa em relação ao eixo y .

Dessa vez temos a força T 2 a 4 + 2 = 6   m do eixo, e a componente x da força T 1 . Enquanto a força peso é paralela ao eixo, e por isso não produz momento:

∑ M y = - T 2 6 + T 1 0,389 9 = 0

T 2 = 45,8 0,389 9 ( 6 ) = 26,7   k N

Passo 4

Beleza, e nós já escrevemos as formas vetoriais das forças T → 1 e T → 2 , então podemos usar a condição de equilíbrio das forças para encontrar A → :

∑ F → = 0

∑ F → = T → 1 + T → 2 + P → + A →

∑ M y = 45,8 0,389   i ^ + 0,291   j ^ - 0,874   k ^ + - 26,7 i ^ - 30 j ^ + A → = 0

∑ M y = 17,81   i ^ + 13,33   j ^ - 40,03   k ^ + - 26,7 i ^ - 30 j ^ + A → = 0

A → = 26,7 - 17,81 i ^ - 13,33 - 30 j ^ + 40,03 k ^

A → = 8,89   i ^ + 16,7   j ^ + 40,0   k ^ k N

E então o módulo dessa força é:

A = A x 2 + A y 2 + A z 2

A = 8,89 2 + 16,7 2 + 40,0 2 = 44,2   k N

Resposta

Os módulos das forças são T 1 = 45,8   k N , T 2 = 26,7   k N e A = 44,2   k N .

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