Enunciado

O vaso de 50   k g é sustentado por A, pelos três cabos. Determine a força que atua em cada cabo para o equilíbrio. Considere d = 2,5 m .

Passo 1

Olá, belezinha? Bora fazer esse exercício top? Bora!!

Para encontrarmos o valor da tração em cada cabo, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas. Assim, teremos:

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x ,   y   e   z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Tem-se que o vaso exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P v a s o = 50 × 9,81 = 490,5   N .

O que vamos fazer aqui é usar as equações de equilíbrio que dizem que

∑ F = 0

No ponto. Como a gente está em 3D, é melhor colocar as forças na forma vetorial primeiro e depois achar as componentes delas em cada eixo. Aí as equações de equilíbrio que a gente vai usar são:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Bora lá!

Passo 2

Para achar a forma vetorial das forças, vamos usar a fórmulinha:

F → = F r → r →

Como o módulo F   das forças a gente vai achar pelas equações de equilíbrio, só precisamos achar o vetor u → que está na direção e sentido da força do por enquanto.

A força F A B sai de A   e vai para B . Aí para achar o vetor nessa direção, a gente faz ponto final menos inicial

r → A B = B - A

r → A B = 6,0   2.5 - 0,0 , 0

r → A B = 6 i + 2.5 k   m

Então:

F A B → = F A B 6 i + 2,5 k 6 2 + 2,5 2 = F A B 6 i + 2,5 k 6,5

F A B → = F A B 12 13 i + 5 13 k

Para achar as componentes da força é só olhar as componentes do vetor que a gente achou

F A B x = 12 13 F A B F A B y = 0 F A B z = 5 13 F A B

Para F A C , nosso vetor sai de A e vai para C :

r → A C = C - A

r → A C = - 6 ,   - 2 ,   3 - 0,0 , 0

r → A C = - 6 i - 2 j + 3 k   m

Assim:

F A C → = F A C - 6 i - 2 j + 3 k - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = F A C - 6 i - 2 j + 3 k 7

F A C → = F A C - 6 7 i - 2 7 j + 3 7 k

Onde:

F A C x = - 6 7 F A C F A C y = - 2 7 F A C F A C z = 3 7 F A C

Para F A D , nosso vetor sai de A e vai para D :

r → A D = D - A

r → A D = - 6 ,   2 ,   3 - 0,0 , 0

r → A D = - 6 i + 2 j + 3 k   m

Assim:

F A D → = F A D - 6 i + 2 j + 3 k - 6 2 + 2 2 + 3 2 = F A D - 6 i + 2 j + 3 k 7

F A D → = F A D - 6 7 i + 2 7 j + 3 7 k

Onde:

F A D x = - 6 7 F A C F A D y = 2 7 F A C F A D z = 3 7 F A C

Passo 3

Conseguimos montar as equações de equilíbrio.

A condição de equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada eixo seja nulo (para que nenhum corpo se mova), ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Aí a gente vai usar para cada eixo as componentes que achou e peso. Lembrando que o peso só atua no eixo z e para baixo, por isso ele entra negativo no somatório.

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

12 13 F A B - 6 7 F A C - 6 7 F A D = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

- 2 7 F A C + 2 7 F A D = 0   ( 2 )

∑ F z = 0

5 13 F A B + 3 7 F A C + 3 7 F A D - 490,5 = 0   3

Passo 4

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças.

Vamos utilizar o sistema de matrizes para resolver esse sistema, logo:

12 13 - 6 7 - 6 7 0 - 2 7 2 7 5 13 3 7 3 7 = 0 0 490.5

Resolvendo por cramer, teremos:

O determinante é - 0.41444

O determinante com a substituição em x, é de - 240,2449

O determinante com a substituição em y, é de - 129,363

O determinante com a substituição em z, é de - 129,363

Logo;

F A B = - 240,2449 - 0.41444 = 579.67 ≅ 580   N

F A C = - 129,363 - 0.41444 = 312,14   N

F A D = - 129,363 - 0.41444 = 312,14   N

Resolvendo este sistema, pode se obter:

F A B = 580   N

F A C = 312 , 14   N

F A D = 312 , 14   N

Resposta

F A B = 580   N

F A C = 312 , 14   N

F A D = 312 , 14   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Por causa de uma combinação das condições de suporte do solo e da tensão no cabo de alimentação único, o poste desenvolveu a inclinação de 5 ° indicada. O poste uniforme de 9m tem uma massa por unidad
O suporte grande é construído em chapa pesada que possui massa ρ por unidade de área. Determine as reações de força e momento no parafuso de suporte em O .
O alçapão uniforme de 30 por 40i n pesa 200l b e é mantido aberto pelo suporte leve A B no ângulo θ = tan - 1 ⁡ 4 3 . Calcule a compressão F B na biela e a força suportada pela dobradiça D normal ao e
As duas placas retangulares uniformes, cada uma pesando 800l b , são livremente articuladas em torno de sua borda comum e suspensas pelo cabo central e quatro cabos de canto simétricos. Calcule a tens
A porta do painel uniforme pesa 60 libras e é impedida da abertura pela haste C, que é uma luzmembro de duas forças cuja extremidade superior é segura sob a maçaneta da porta e cuja extremidade inferi