Enunciado

A placa de aço quadrada uniforme tem uma massa de 6   k g e está em repouso sobre uma superfície horizontal lisa no plano x - y . Se uma força horizontal P = 120   N é aplicada na direção e sentido mostrado, determine o módulo da aceleração inicial do vértice A .

Passo 1

Vamos começar calculando a aceleração do centro de massa da placa. Isso pode ser feito usando apenas a segunda lei de Newton:

∑ F = m a -

120 = 6 a -

a - = 20   m / s 2

Mas além de ter seu centro de massa acelerado (ou seja, além de transladar), a placa também deve ter certa rotação. Vamos procurar a aceleração angular desse movimento de rotação em relação ao centro de massa:

∑ M c m = I c m α

O momento de inércia da placa quadrada em relação ao centro de massa é:

I c m = 1 6 m l 2

E o momento da força P em relação ao centro de massa é:

∑ M c m = P l 2

Onde l / 2 é metade do comprimento da diagonal do quadrado, já que a força P é perpendicular a essa diagonal. Então:

P l 2 = 1 6 m l 2 α

α = 6 P 2 m l = 6 120 2 ( 6 ) ( 0,2 ) = 424   r a d / s 2

Passo 2

Agora pense o seguinte: quando a placa translada na direção da força P (movimento do centro de massa), a acelaração associada a essa translação é a mesma para todos os pontos.

Então o ponto A tem uma aceleração a t r a n s na direção da força P .

Mas além disso, quando a placa gira em torno do seu centro de massa com aceleração angular α , o ponto A terá uma outra aceleração associada a esse movimento:

a r o t = α r A

Onde r A é a posição do ponto A em relação ao centro de massa:

r A = l 2 = 0,2 2

a r o t = 424 0,2 2 = 60   m / s 2

E essa aceleração é perpendicular à aceleração do centro de massa.

Passo 3

Agora podemos calcular a aceleração total agindo sobre o ponto A :

a → = a → r o t + a → t r a n s

E o módulo dessa soma de vetores pode ser encontrado usando o teorema de pitágoras:

a = a r o t + a t r a n s

a = 60 2 + 20 2 = 63,2   m / s 2

Resposta

A aceleração inicial do vértice é a = 63,2   m / s 2 .

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