Enunciado

A porta de carga de um avião com fuselagem circular consiste de um segmento uniforme A B de um quarto de círculo e massa m . Uma trava na dobradiça em A mantém a porta aberta na posição mostrada. Determine o momento exercido pela dobradiça sobre a porta.

Passo 1

A principal força agindo aqui é o peso do arco (quarto de círculo) A B . Podemos olhar a tabela no final do livro para encontrar o centro de massa de um arco como esse, e então vamos saber onde a força atual.

A fórmula mais geral para o centro de massa de um arco é:

r - = r sen ⁡ α α

Como estamos lidando com um quarto de círculo, temos α = π / 4 . ( α é a metade do ângulo do arco).

r - = r sen ⁡ π / 4   π / 4 = 2 2 r π

Passo 2

Agora que sabemos o ponto onde a força atua podemos calcular o momento gerado por ela. Para que a situação da figura esteja em equilíbrio, o momento gerado pela dobradiça deve ser igual ao dessa força.

O grande desafio de calcular o momento gerado pelo peso m g é encontrar uma expressão para a distância perpendicular entre A e o ponto de aplicação dessa força. No desenho, vamos representar isso pela linha vermelha:

Podemos escrever o comprimento da linha vermelha da seguinte forma:

d = r sen ⁡ 15 ° + r - cos ⁡ 45 ° + 15 °  

d = r sen ⁡ 15 ° + r - cos ⁡ 60 °

Agora podemos exigir aquela igualdade para os momentos (o da força e o da dobradiça):

M = ( m g ) ( d )

M = m g r sen ⁡ 15 ° + r - cos ⁡ 60 °

M = m g r sen ⁡ 15 ° + 2 2 r π cos ⁡ 60 °

M = m g r ( sen ⁡ 15 ° + 2 2 π cos ⁡ 60 ° )

M = 0,709   m g r

Resposta

O momento exercido pela dobradiça é M = 0,709   m g r .

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