Enunciado

No Problema 8.43, determine o menor valor de θ para que a barra não caia fora do tubo.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse excercício desenhando o diagrama de corpo livre para a barra:

Sabemos que as forças de atrito podem ser calculadas por:

F B = μ s N B

F A = μ s N A

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

N A - N B s e n θ - F B c o s θ = 0 → N A - N B s e n θ - μ s N B c o s θ = 0

N A = N B ( s e n θ + μ s c o s θ )

Essa será nossa equação 1. Agora podemos aplicar o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

- F A + N B c o s θ - F B s e n θ - W = 0 → - μ s N A + N B c o s θ - μ s N B s e n θ - W = 0

Essa será nossa equação 2.

Passo 2

Agora substituindo a equação 1 na equação 2, temos:

- μ s N A + N B c o s θ - μ s N B s e n θ - W = 0

- μ s N B ( s e n θ + μ s c o s θ ) + N B c o s θ - μ s N B s e n θ - W = 0

N B 1 - μ s 2 c o s θ - 2 μ s s e n θ = W → N B = W 1 - μ s 2 c o s θ - 2 μ s s e n θ

Substituindo o valor de μ s dado no enunciado, chegamos em:

N B = W 0,96 c o s θ - 0,4 s e n θ

Passo 3

Agora iremos calcular o somatório de momento em relação ao ponto A:

+ ↺ ∑ M A = 0

N B 75 c o s θ - W 112,5 c o s θ = 0

Substituindo o valor de N B encontrado no passo 2:

W 0,96 c o s θ - 0,4 s e n θ 75 c o s θ = 112,5 W c o s θ → 9,6 cos 3 ⁡ θ - 4 s e n θ cos 2 ⁡ θ - 6,67 = 0

Vamos precisar da ajuda da calculadora nessa, jogando essa equação lá, obtemos:

θ = 20,4 °

Resposta

θ = 20,4 °

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