Enunciado

A parte lombar da coluna vertebral humana suporta todo o peso da parte superior do tronco e a carga de força que lhe é imposta. Consideramos aqui o disco (sombreado em vermelho) entre a vértebra inferior da região lombar ( L 5 ) e a vértebra superior da região do sacro. ( a ) Para o caso L = 0 , determine a força de compressão C e a força de cisalhamento S suportada por este disco em termos do peso corporal W . O peso W u da parte superior do tronco (acima do disco em questão) é 68% de o peso corporal total W e atua no G 1 . A força vertical F que os músculos retos das costas exercem na parte superior do tronco atua como mostrado na figura. ( b ) Repita para o caso em que a pessoa tem um peso de magnitude L = W 3 conforme mostrado. Declare quaisquer suposições.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a força de compressão C e a força de cisalhamento S suportada pelo disco em duas situações: ( a ) quando L = 0 , ou seja, não há peso adicional e ( b ) quando L = L 3 . Para resolver este problema vamos fazer o diagrama de corpo livre do sistema apenas com as forças e seus pontos de aplicação com relação a um sistema de eixos com origem no ponto O de aplicação das forças C e S . Para a situação ( a ) , temos:

Este é um problema que pode ser facilmente resolvido pelas três equações de equilíbrio: somatório de forças nos eixos x e y e somatório de momentos. Vamos começar pelo momento em torno do O , uma vez que isso elimina duas das nossas incógnitas:

∑ M O = 0

50 * F - 25 * W u = 0

F = 25 * 0,68 W 50

F = 0,34 W

Passo 2

Com isso, descobrimos a força F que os músculos das costas exercem, mas ainda nos restam as forças de compressão C e de cisalhamento S que foram pedidas. Para encontra-las, podemos fazer o somatório de forças nas direções x e y que novamente devem ser nulos para que o sistema esteja em equilíbrio. Começando pela direção x :

∑ F x = 0

C sen ⁡ ( 41 ° ) - S cos ⁡ 41 ° = 0

C = S cos ⁡ 41 ° sen ⁡ ( 41 ° )

C = S tan ⁡ ( 41 ° )

Vamos chamar essa equação de ( 1 ) .

Agora para o eixo y :

∑ F y = 0

C cos ⁡ ( 41 ° ) + S sen ⁡ ( 41 ° ) - W u - F = 0

Substituindo o valor de C da equação ( 1 ) , temos:

S tan ⁡ 41 ° cos ⁡ ( 41 ° ) + S sen ⁡ ( 41 ° ) - 0,68 W - 0,34 W = 0

S cos ⁡ 41 ° tan ⁡ 41 ° + sen ⁡ 41 ° = 1,02 W

S = 0,669 W

∴ C = 0,77 W

Passo 3

Show de bola! Para resolver o item ( b ) , precisamos primeiro incluir o carregamento L = L 3 em G 2 .

Bom, a partir daqui os cálculos são os mesmos. Vamos começar pelo momento em torno do O , uma vez que isso elimina duas das nossas incógnitas:

∑ M O = 0

50 * F - 25 * W u - 300 * L = 0

F = 25 * 0,68 W + 300 * W 3 50

F = 2 , 34 W

Passo 4

E para determinar as forças de compressão C e de cisalhamento S , vamos novamente fazer o equilíbrio de forças nas direções x e y :

∑ F x = 0

C sen ⁡ ( 41 ° ) - S cos ⁡ 41 ° = 0

C = S cos ⁡ 41 ° sen ⁡ ( 41 ° )

C = S tan ⁡ ( 41 ° )

Vamos chamar essa equação de ( 1 ) .

Agora para o eixo y :

∑ F y = 0

C cos ⁡ ( 41 ° ) + S sen ⁡ ( 41 ° ) - W u - F - L = 0

Substituindo o valor de C da equação ( 1 ) , temos:

S tan ⁡ 41 ° cos ⁡ ( 41 ° ) + S sen ⁡ ( 41 ° ) - 0,68 W - 2,34 W - W 3 = 0

S cos ⁡ 41 ° tan ⁡ 41 ° + sen ⁡ 41 ° = 3,3533 W

S = 2,20 W

∴ C = 2,53 W

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

a :  

S = 0,669 W

C = 0,77 W

( b ) :

S = 2,20 W

C = 2,53 W

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