Enunciado

O raio do pedestal é definido por r   =   ( 0,5 ⋅ e - 0.008 y 2 )   m , onde y é dado em metros. Se o material tiver densidade de 2,5   M g / m 3 , determine a tensão normal média no apoio.

Passo 1

E aí meus consagrados, como vocês estão? Prontos pra mais uma questão?

Primeiramente vamos encontrar o que queremos encontrar nessa questão: buscamos encontrar o valor da tensão normal na base do nosso pedestal utilizando os dados que nos foram fornecidos no enunciado que podemos transcrevê-las aqui como

r 0 = 0,5 m

h = 3 m

g = 9,81 m s 2

r = r 0 ⋅ e - 0,08 y 2   m  

ρ = 2,5 ⋅ 10 3 k g m 3

y u n i d = 1 m

Lembrando que tensão normal é dada pela resultante da força que atua na seção transversal do objeto em questão dividido pela área da seção transversal que vamos definir por A 0 que pode ser definida como

σ m e d = N A 0

A 0 = π r 0 2 = 0,7854 m 2

Pensa comigo: como queremos a tensão na base do pedestal, e a gente já tem a área, precisamos achar o que? A força que atua na seção transversal da base do pedestal! E quem é ela? Podemos dizer que ela é a força de reação no pedestal.

E qual é o valor dessa força? É o mesmo valor da força peso do pedestal! Então é ela que a gente vai achar!

Passo 2

Ele nos deu a densidade do pedestal. Por ela a gente acha a massa do pedestal e assim a força peso. Maaas, nosso raio é variável, então vamos ter que usar umas paradinhas de cálculo aqui, beleza?

Pensa que a gente tem um disco em y , como no desenho. Ele é bem fino, tem espessura d y . O raio dele vale r . Qual vai ser o volume desse disco? Como ele é fininho, vamos chamar esse volume de d V . Aí concorda que

d V = π r 2 d y

E como r = 0,5 ⋅ e - 0,08 y 2 :

d V = π 0,5 ⋅ e - 0,08 y 2 2 d y

d V = 0,25 π   e - 0,16 y 2 d y

Passo 3

Até aí, tudo bem? Agora pensa comigo. O pedestal tem altura 3   m . Então a gente pode dizer que:

0 ≤ y ≤ 3

E aí a gente pode usar esse intervalo e montar uma integral com a expressão do passo anterior!

Integrando ambos os lados dela e colocando os extremos de integração, vamos obter

V = ∫ 0 3 0,25 π   e - 0,16 y 2 d y = π ⋅ 0,5 2 ⋅ ∫ 0 3 e - 0,16 y 2 d y

Essa integral não tem resposta analítica. Se resolve utilizando as funções especiais e nesse caso vamos ter a função gama incompleta: Γ 1 4 , - 4 x 4 625 , cujo valor é tabelado. Ou a gente pode usar métodos numéricos para calcular ou uma calculadora/software, belezinha?

Dessa forma, vamos encontrar como resultado para esse volume o seguinte valor:

V = 1,584 m 3

Passo 4

Como foi dada a densidade do material no enunciado e temos o volume podemos encontrar o valor do peso que será dado por

w = ρ ⋅ g ⋅ V ≈ 38,835 k N

Agora, ficou simples resolvermos o problema pois nossa tensão normal média será dada por

σ m e d = N A 0

σ m e d = W A 0

σ m e d = 38,835 k N 0,7854 m 2 ≈ 49,5   k P a

Pronto, acabou o problema. Uhul!

Resposta

σ m e d = 49 ,   5   k P a

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