Enunciado

A resistência aerodinâmica ao movimento de um carro é aproximadamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. A resistência adicional ao atrito é constante, de modo que a aceleração do carro quando em ponto morto pode ser escrita a = - C 1 - C 2 v ² , onde C 1 e C 2 são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial v 0 quando o motor é desengrenado, derive uma expressão para a distância D necessária para o carro mover-se em ponto morto até parar.

Passo 1

Vamos organizar as informações do enunciado. A primeira coisa que temos é a aceleração do carro:

a = - C 1 - C 2 v 2

A segundo informação é que o carro percorre uma distância D até parar, e nosso objetivo é calcular essa distância:

s = D         ⇒         v = 0

Para aproveitarmos essa informação vamos precisar de uma relação entre a posição e a velocidade.

Passo 2

Beleza, primeiro vamos lembrar da definição da aceleração, e então fazer alguns truques algébricos:

a = d v d t = d v d s d s d t = v d v d s

Assim ficamos com uma equação diferencial:

a   d s = v   d v

Substituindo a expressão para a aceleração do carro:

- C 1 - C 2 v 2 d s = v   d v

E separando as variáveis:

d s = v - C 1 - C 2 v 2 d v = - v C 1 + C 2 v 2 d v

Passo 3

Agora vamos integrar dos dois lados, lembrando que a s vai de s = 0 até s = D enquanto v vai de v = v 0 até v = 0 :

∫ 0 D d s = ∫ v 0 0 - v C 1 + C 2 v 2 d v

Podemos sumir com aquele sinal de menos se trocarmos os limites de integração na direita:

D = ∫ 0 v 0 v C 1 + C 2 v 2 d v

Essa é uma integral clássica de logaritmo:

D = 1 2 C 2 ln ⁡ ( C 1 + C 2 v 2 ) v 0 0

D = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1  

Resolvido!

Resposta

A distância necessária é D = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1   .

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