Enunciado

Uma partícula se movendo ao longo do sentido positivo de x com uma velocidade inicial de 12   m / s é submetida a uma força retardadora que lhe dá uma aceleração negativa a qual varia linearmente com o tempo para os primeiros 4 segundos como mostrado na figura. Para os próximos 5 segundos a força é constante e a aceleração também permanece constante. Faça um gráfico da velocidade da partícula durante os 9 segundos e especifique o seu valor em t = 4   s . Encontre também a distância ∆ x percorrida pela partícula desde sua posição t = 0 até o ponto em que esta inverte sua direção.

Passo 1

A primeira coisa a fazer é escrever uma equação para a aceleração em função do tempo. A ideia é fazer isso só olhando o gráfico.

Entre t = 0 e t = 4 , o gráfico é uma reta, e por isso tem uma equação desse tipo:

a = A t + B

Como o gráfico cruza o eixo y no ponto ( 0,0 ) , sabemos que B = 0 , e para calcular a inclinação A é só fazer:

A = Δ Y Δ X = - 3 - 0 ( 4 - 0 ) = - 3 4

E então:

a = - 3 4 t

E entre t = 4 e t = 9 , a ( t ) é simplesmente uma função constante em a = - 3   m / s 2 , então temos:

a = - ( 3 / 4 ) t           ;           0 ≤ t ≤ 4 - 3             ;             4 ≤ t ≤ 9

Passo 2

Para encontrar a equação da posição em função do tempo precisamos integrar essa função duas vezes;

a = d v d t

d v = a   d t

∫ d v = ∫ a   d t

Fazendo isso na equação acima, vamos achar o seguinte:

v = - 3 8 ( t - t 0 ) 2 + v 0         ;           0 ≤ t ≤ 4 - 3 ( t - t 1 ) + v 1           ;             4 ≤ t ≤ 9

Mas tome cuidado: v 0 = 12   m / s , mas v 1 é a velocidade “inicial” do segundo trecho do gráfico, ou seja:

v 1 = - 3 8 4 2 + 12 = 6   m / s

Além disso t 0 = 0 , mas t 1 = 4 :

v = - 3 8 ( t ) 2 + 12         ;           0 ≤ t ≤ 4 - 3 ( t - 4 ) + 6           ;             4 ≤ t ≤ 9

E assim já podemos fazer o gráfico:

Passo 3

E agora integrando mais uma vez para encontrar a posição:

∫ d s = ∫ v   d t

Δ s = - 3 24 t 3 + 12 t           ;           0 ≤ t ≤ 4 - 3 2 t - 4 2 + 6 ( t - 4 )           ;             4 ≤ t ≤ 9

Olhando o gráfico de cima, dá pra perceber que a partícula inverte sua posição quando t = 6 . E usando a equação que encontramos para o Δ s podemos calcular que, nos primeiros quatro segundos:

Δ s = - 3 24 t 3 + 12 t = 40   m

E nos próximos dois segundos:

Δ s = - 3 2 6 - 4 2 + 6 6 - 4 = 6   m

Ou seja, o deslocamento total é:

Δ S = 40 + 6 = 46   m

Resposta

A distância percorrida é 46   m .

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