Enunciado

A treliça mostrada na figura consiste em seis elementos e é sustentada por uma pequena haste de conexão em A, duas pequenas hastes de conexão em B e por uma rótula em D. Determine a força em cada um dos elementos para o carregamento dado.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício desenhando o diagrama de corpo livre da treliça:

Devido a simetria da treliça e do carregamento, que se encontra na ponta da treliça e sobre o eixo central, sabemos que:

D x = B x

D y = B y

Então, vamos começar aplicando o somatório de momento com relação ao eixo z :

- A x 3 - 1800 7,2 = 0 → A x = 4320   N

Agora, aplicando o somatório de forças na direção x :

∑ F x = 0

B x + D x + A = 0

Como sabemos que B x = D x , podemos substituir esse valor na equação anterior, obtendo:

2 B x + 4320 = 0 → B x = 2160   N

E, agora fazendo o somatório de forças na direção y :

∑ F y = 0

B y + D y - 1800 = 0 → 2 B y = 1800 → B y = 900   N

Passo 2

Agora vamos analisar o nó C:

Nesse caso, devemos calcular as direções das três forças desconhecidas. Podemos escrever as forças em função de seu módulo e de suas componentes direcionais da seguinte forma:

F C A = F A C C A - C A

Onde F A C é o módulo da força, C A - é o segmento de reta ligando os dois pontos e C A é o módulo desse comprimento, então, com os valores obtidos da figura do enunciado, temos:

C A - = - 24 i → + 10 j →

E, seu módulo será:

C A = 24 2 + 10 2 → C A = 26

Fazendo o mesmo procedimento para C B - e C D - :

C B - = - 24 i → + 7 k →

E, seu módulo será:

C B = 24 2 + 7 2 → C B = 25

E, para C D - :

C D - = - 24 i → - 7 k →

E, seu módulo será:

C D = 24 2 + 7 2 → C D = 25

Então, reescrevendo as forças, temos:

F C A = F A C 26 - 24 i → + 10 j →

F C B = F C B 25 - 24 i → + 7 k →

F C D = F C D 25 - 24 i → - 7 k →

Passo 3

Agora podemos aplicar o somatório de forças para o nó, de forma que:

∑ F → = 0

F → C A + F → C B + F C D - 1800 j → = 0

Então, abrindo as equações em suas componentes:

- 24 26 F A C - 24 25 F B C - 24 25 F C D = 0

10 26 F A C - 1800 = 0

7 25 F B C - 7 25 F C D = 0

Então, da segunda equação, temos:

F A C = 4680   N   ( T )

Da terceira equação:

F B C = F C D

Substituindo esses dois últimos resultados na primeira equação, temos:

- 24 26 4680 - 24 25 F C D - 24 25 F C D = 0 → F C D = - 2250   N → F C D = 2250   N   ( C )

E, substituindo esse valor na terceira equação:

F B C = 2250   N   ( C )

Passo 4

Agora vamos analisar o nó B:

Agora vamos calcular as forças novamente pelo mesmo método, então para F B C :

F B C = ( 2250 ) 25 - 24 i → + 7 k → = ( 2250 ) 25 - 2160 i → + 630 k →

Para F B A :

F B A = F A B 12,21 10 j → - 7 k →

E, para F B D :

F B D = - F B D k →

Então, aplicando o somatório de forças para o nó B:

F → B C + F → B D + F B A + 2160 i → + 900 j → = 0

Separando em componentes:

10 12,21 F A B + 900 = 0 → F A B = - 1098,9   N → F A B = 1098,9   N   ( C )

- 7 12,21 - 1098,9 - F B D + 630 = 0 → F B D = 1260   N   T

E, devido a simetria em x :

F A D = F A B → F A D = 1098,9   N   ( C )

Resposta

F A D = 1098,9   N   ( C )

F B D = 1260   N   T

F A B = 1098,9   N   ( C )

F B C = 2250   N   ( C )

F C D = 2250   N   ( C )

F A C = 4680   N   ( T )

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Determine a força em cada membro da treliça e diga se os membros estão sob tração ou compressão. Faça P 1 = P 2 = 4k N .