Enunciado

Resolva o Problema 7.20 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através dos dados que foram dados no enunciado, vamos desenhar o elemento diferencial de tensões para o estado fornecido, escrevendo em função da força P e da área da seção. Com o elemento diferencial, vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensões e encontrar o ponto para a rotação beta = 25 ° . Feito isso, conseguimos encontrar as expressões para a tensão de cisalhamento e normal nesse ponto, depois disso fica fácil! É só substituir os valores conhecidos nas expressões que encontrarmos. Então vamos lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar desenhando o elemento diferencial para o estado dado, onde só temos tensão em x, então teremos:

Sabemos que a tensão é dada pela força sobre a área, então, para esse elemento diferencial, temos:

sigma_x = (P)/(A)

sigma_y = 0

tau_x y = 0

Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = ((P)/(A) + 0)/(2) -> sigma_m e d = (P)/(2 A)

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = ((P)/(A) , 0)

Y : (sigma_y , tau_x y) = (0 , 0)

C : (sigma_m e d , 0) = ((P)/(2 A) , 0)

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, podemos encontrar seu raio subtraindo a tensão Y da tensão X e dividindo esse valor por 2, ou seja:

R = (sigma_x - sigma_y)/(2) = ((P)/(A) - 0)/(2) -> R = (P)/(2 A)

Agora precisamos rotacionar o elemento diferencial em 25° para podermos encontrar o estado de tensão na direção da junta colada. Sendo assim, rotacionando o elemento em 25°, ou seja, percorrendo 50° no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:

Agora precisamos encontrar as expressões para os valores da tensão normal e de cisalhamento nesse novo ponto Y’. Vamos lá! Começando pela tensão de cisalhamento pedida na letra (a), através de trigonometria, temos:

tau_y^' = R s e n (2 beta) = (P)/(2 A) s e n (2 beta)

Opa! Precisamos do valor da área da seção para calcular essa tensão, então, calculando a área, temos:

A = b h = (0,12) (0,08) -> A = 9,6.10^(- 3) m^2

Beleza! Agora é só substituir os valores conhecidos na equação para a tensão de cisalhamento, onde teremos:

tau_y^' = (10.10^3)/(2 (9,6.10^(- 3))) s e n (50 °) -> tau_y^' = 399 k P a

A letra (a) já ficou pra trás, bora pra (b) agora!

Passo 4

Para a letra (b), precisamos da expressão para a tensão normal no ponto Y’, então, através do círculo de Mohr, temos:

sigma_y^' = sigma_m e d - R c o s (2 beta) = (P)/(2 A) - (P)/(2 A) cos (2 beta)

sigma_y^' = (P)/(2 A) [1 - cos (2 beta)]

Agora é só substituir os valores conhecidos, lembrando que P e beta foram dados no enunciado e a área é a mesma usada no passo 3, então teremos:

sigma_y^' = (10.10^3)/(2 (9,6.10^(- 3))) [1 - cos (50 °)] -> sigma_y^' = 186 k P a

Feshoow! Tá aí a tensão pedida na letra (b).

Resposta

(a) : tau_y^' = 399 k P a

(b) : sigma_y^' = 186 k P a

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