Enunciado

Resolver o Prob. 161, assumindo que toda a potência de 25   h p é absorvida pela engrenagem G .

Passo 1

Fala aí, pessoal!! O problema pede o menor diâmetro que o eixo A B pode ter, para suportar as tensões cisalhantes exercicidas sobre ele.

Para descobrir esse diâmetro a gente utiliza uma equaçãozinha que relaciona os seguintes termos:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Onde J é o momento polar de inércia, c é o raio, M o momento fletor e T a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível τ a d m .

Então percebam que nós temos de encontrar os momentos fletores atuantes no eixo assim como o torque (ou torção) exercido. O problema vai ser resumir basicamente nisso =D.

Então partiu?

Passo 2

Para achar os momentos fletores e as torções vamos fazer um diagrama de corpo livre do nosso eixo:

obs: Como toda a potência é absorvida pela engrenagem G então nenhuma potência é absorvida peça engrenagem F , consequentemente não há forças atuantes em C .

Sabendo disso vamos achar o torque. Vejam que o problema nos fornece uma rotação 450   r p m e uma potência 25   h p , vamos utilizar esses dados para calcular o torque. Vamos fazer isso dividindo a potência transmitida pela velocidade angular:

T = P 2 π f

Vamos converter h p para W :

1 h p = 745,7   w a t t s

25   h p = 18,6425   k W

E vamos calcular a frequência:

f = v a l o r   e m   r p m 60

f = 450 60 = 7,5   H z

Então o torque que a engranagem G está submetida, de forma a absorver toda a potência de 25   h p deve ser igual a:

T G = 18,6425 × 10 3 2 π ( 7,5 )

T G = 395,61   N . m

Pessoal, além disso a gente tem que assumir que as engrenagens G e E , por estarem em contato uma com a outra vão possuir o mesmo torque!! Dessa forma:

T E = 395,61   N . m

Passo 3

Galera, se a gente achou o torque em E a gente pode facilmente achar a força em E também. Se lembra que:

T = F × r

Então vamos ter:

T E = F E × r E

395,61 = F E × 0,060

F E = 6,59   k N

Aí aqui vai mais uma observação! As forças em A e em B são forças de apoio, logo, não geram torque. Sendo assim, apenas a força em D gera torque também. Agora presta atenção! Se a gente pegar a seção D E da barra o torque de um lado tem que ser igual ao torque do outro, correto? Por isso vamos ter que:

T D = T E = 395,61   N . m

Assim, podemos calcular também a força em D :

T D = F D × r D

395,61 = F D × 0,096

F D = 4,12   k N

Show de bola, achamos essas duas forças!! Agora a gente pode substituir elas num novo diagrama da seguinte forma:

Ih, caraca!!! Agora ficou bem mais tranquilo de ver o problema né? Repara como a gente colocou as forças F D e F E atuanto diretamente sobre o eixo, a gente pode deslocar essa força (que antes atuava no dente da engrenagem) para o eixo porque aplicamos também o respectivo torque da força!!!

Passo 4

Então a gente já tem os torques falta achar os momentos!!! Mas antes a gente precisa descobrir ainda quais são as forças atuantes em A e em B . Que tal substituir os valores que já calculamos no diagrama acima?

Show of pelotas!!

Agora a gente acha as forças restantes com as equações da estática:

∑ F y = 0

∑ F z = 0

∑ M y = 0

∑ M z = 0

Para as forças em y :

∑ F y = R A y - 6,59 + R B y = 0

R A y + R B y = 6,59

Para as forças em z :

∑ F z = 0

∑ F z = - R A z + 4,12 - R B z = 0

R A z + R B z = 4,12

Para os momentos em y :

∑ M y = - 4,12 × 0,380 + R B z × 0,760 = 0

R B z = 2,06   k N

Para os momentos em z :

∑ M z = - 6,59 × 0 , 610 + R B y × 0,760 = 0

R B y = 5,29   k N

Com esses valores a gente pode achar as resultantes em A também:

R A y + R B y = 6,59

R A z + R B z = 4,12

R A y + 5,29 = 6,59

R A z + 2,06 = 4,12

R A y = 1,3   k N

R A z = 2,06

Só pra ficar organizadinho:

R B z = 2,06   k N

R B y = 5,29   k N

R A y = 1,3   k N

R A z = 2,06   k N

Passo 5

Parece que essa questão não acaba nunca né pelo amor.....

Mas já ta acabando eu juro!! Agora a gente só vai achar os bentidos momentos fletores. Para isso vamos olhar novamente nosso diagrama com os valores atualizados:

O que aconteceu com as torções?

Ficaram de fora porque não influenciam o momento fletor!

Pessoal, aqui vai uma dica, como só existe torção na seção D E do nosso eixo, os pontos críticos serão D e E assim a gente só precisa calcular o momento fletor nesses dois pontos.

Para D :

M y = 1,3.10 3 × 0,380 = 494   N . m

M z = 2,06.10 3 × 0,380 = 782,8   N . m

Para E :

M y = 5,29 . 10 3 × 0 , 150 = 793,5   N . m

M z = 2,06 × 0,150 = 309   N . m

Ufaaaa!!! Estamos prontos para o último passo galeraaaa!!!!

Passo 6

Agora a gente finalmente vai utilizar a nossa equação:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Perceba que temos momento em duas direções então vamos ter:

J c = M z 2 + M y 2 + T 2 τ a d m

Beleza, agora qual ponto utilizar? O ponto E ou D ? A gente vai utilizar os dois e ver qual tem o termo M z 2 + M y 2 + T 2 mais elevado.

Para D :

M z 2 + M y 2 + T 2 = 782,8 2 + 494 2 + 395,61 2 = 1006,64

Para E :

M z 2 + M y 2 + T 2 = 309 2 + 793,5 2 + 395,61 2 = 938,95

Logo vamos utilizar o ponto D e obter:

J c = M z 2 + M y 2 + T 2 τ a d m

J c = 1006,64 55 × 10 6

J c = 1,83 × 10 - 5

Agora vamos achar o termo J / c :

J = π d 4 32

c = d 2

Assim:

J c = π d 3 16

Substituindo:

π d 3 16 = 1,83 × 10 - 5

d = 45,34   m m

Resposta

d = 45,34   m m

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