Enunciado

Resolver o Prob. 162, assumindo que 25   k W é absorvido em cada engrenagem.

Passo 1

Fala aí, pessoal!! O problema pede o menor diâmetro que o eixo A B pode ter, para suportar as tensões cisalhantes exercicidas sobre ele.

Para descobrir esse diâmetro a gente utiliza uma equaçãozinha que relaciona os seguintes termos:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Onde J é o momento polar de inércia, c é o raio, M o momento fletor e T a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível τ a d m .

Então percebam que nós temos de encontrar os momentos fletores atuantes no eixo assim como o torque (ou torção) exercido. O problema vai ser resumir basicamente nisso =D.

Então partiu?

Passo 2

Para achar os momentos fletores e as torções vamos fazer um diagrama de forças aplicadas ao eixo:

Agora vamos achar o torque. Vejam que o problema nos fornece uma rotação 720   r p m e uma potência 50   k W , vamos utilizar esses dados para calcular o torque. Vamos fazer isso dividindo a potência transmitida pela velocidade angular:

T = P 2 π f

E vamos calcular a frequência:

f = v a l o r   e m   r p m 60

f = 720 60 = 12   H z

Então o torque que cada engranagem está submetida, de forma a absorver a potência de 25   k W deve ser igual a:

T E = T F = 25 × 10 3 2 π ( 12 )

T E = T F = 331,6   N . m

Pessoal, além disso a gente tem que assumir que as engrenagens C e D , por estarem em contato com as engrenagens E e F , respectivamente, vão possuir o mesmo torque!! Dessa forma:

T C = T D = 331,6   N . m

Passo 3

Galera, se a gente achou os torques podes facilmente achar as forças. Se lembra que:

T = F × r

Então vamos ter:

T C = F C × r C

331,6 = F C × 0,0 9 0

F C = 3,68   k N

Como a engrenagem D possui o mesmo raio e está submetida ao mesmo torque então terá a mesma força:

F D = 3,68   k N

Show de bola, achamos essas duas forças!! Agora a gente pode substituir elas num novo diagrama da seguinte forma:

Ih, caraca!!! Agora ficou bem mais tranquilo de ver o problema né? Repara como a gente colocou as forças F D e F E atuando diretamente sobre o eixo, a gente pode deslocar essa força (que antes atuava no dente da engrenagem) para o eixo porque aplicamos também o respectivo torque da força!!!

Passo 4

Então a gente já tem os torques falta achar os momentos!!! Mas antes a gente precisa descobrir ainda quais são as forças atuantes em A e em B . Que tal substituir os valores que já calculamos no diagrama acima?

Show of pelotas!!

Agora a gente acha as forças restantes com as equações da estática:

∑ F y = 0

∑ F z = 0

∑ M y = 0

∑ M z = 0

Para as forças em y :

∑ F y = R A y - 3,68 + R B y = 0

R A y + R B y = 3,68

Para as forças em z :

∑ F z = 0

∑ F z = - R A z + 3,68 - R B z = 0

R A z + R B z = 3,68

Para os momentos em y :

∑ M y = - 3,68 × 0 , 350 + R B z × 0,500 = 0

R B z = 2,58   k N

Para os momentos em z :

∑ M z = - 3,68 × 0 , 150 + R B y × 0 , 500 = 0

R B y = 1,1   k N

Com esses valores a gente pode achar as resultantes em A também:

R A y + R B y = 3,68

R A z + R B z = 3,68

R A y + 1,1 = 3,68

R A z + 2,58 = 3,68

R A y = 2,58   k N

R A z = 1,1   k N

Só pra ficar organizadinho:

R B z = 2,58   k N

R B y = 1,1   k N

R A y = 2,58   k N

R A z = 1,1   k N

Passo 5

Parece que essa questão não acaba nunca né pelo amor.....

Mas já ta acabando eu juro!! Agora a gente só vai achar os bentidos momentos fletores. Para isso vamos olhar novamente nosso diagrama com os valores atualizados:

O que aconteceu com as torções?

Ficaram de fora porque não influenciam o momento fletor!

Agora vamos calcular o momento fletor nos pontos C e D que são os pontos críticos do problema:

Para C :

M y = 2,58 . 10 3 × 0 , 150 = 387   N . m

M z = 1,1 . 10 3 × 0 , 150 = 165   N . m

Para D :

M y = 1,1 . 10 3 × 0 , 150 = 16 5   N . m

M z = 2,58 × 0,150 = 387   N . m

Ufaaaa!!! Estamos prontos para o último passo galeraaaa!!!!

Passo 6

Agora a gente finalmente vai utilizar a nossa equação:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Perceba que temos momento em duas direções então vamos ter:

J c = M z 2 + M y 2 + T 2 τ a d m

Beleza, agora qual ponto utilizar? O ponto C ou D ? A gente vai utilizar os dois e ver qual tem o termo M z 2 + M y 2 + T 2 mais elevado. Mas nesse caso específico os valores dos momentos são iguais, são estão trocados. Então o que vai influenciar mais será o valor da torção. Vamos calcular a torção para cada termo:

Analisando a figura a gente pode ver que o torque realizado pelo motor é igual à soma dos torques das engrenagens:

T M = 331,6 + 331,6 = 663,2   N . m

Dessa forma o local onde se encontra o maior torque é na seção A C do eixo. Como os momentos em C e D são iguais mas o torque de C é maior então vamos utilizar o ponto C :

Só para observar que nesse ponto o torque é igual ao torque do motor 663,2   N . m .

obs: Galera na real o ponto C não será o ponto crítico o ponto crítico é o imediatamente antes ao ponto C . Mas isso não faz muito diferença agora, embora seja legal saber disso =D

J c = M z 2 + M y 2 + T 2 τ a d m

J c = 165 2 + 387 2 + 663,2 2 50 × 10 6

J c = 1,57 × 10 - 5

Agora vamos achar o termo J / c :

J = π d 4 32

c = d 2

Assim:

J c = π d 3 16

Substituindo:

π d 3 16 = 1,57 × 10 - 5

d = 43,1   m m

Resposta

d = 43,1   m m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As tiras A e B devem ser colocadas com a utilização das duas tiras C e D . Determine a espessura exigida t para C e D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente. A largura das tiras A e B é 1,5
Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for σ a a d m=2,8M P a , determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas de
O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído w=12k N / m . Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso de 10m m de diâmetro em A e a tensão de tração média na hast
A viga composta de madeira está interligada por um parafuso em B . Considerando que os acoplamentos em A ,B ,CeD exerçam somente forças verticais na viga, determine o diâmetro exigido para o parafuso
A barra é mantida em equilíbrio por pinos em AeB . Observe que o apoio em A tem uma única orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoioB tem orelha dupla, o que envolve cisalhamento du