Enunciado

As extremidades da barra uniforme de massa m deslizam livremente nas ranhuras vertical e horizontal, como mostrado. Se a barra está em equilíbrio estático quando θ = 0 , determine a frequência natural ω n das pequenas oscilações. Que condição deve ser imposta sobre a constante de mola k a fim de que ocorram oscilações?

Passo 1

Bom pessoal, é importante analisar o centro de massa do sistema, que no caso é o centro da barra. Para descobrir a velocidade do centro de massa G, podemos usar o conceito de centro instantâneo de velocidade nula. Veja o diagrama:

Como A só pode se movimentar dentro da ranhura vertical, sua velocidade deve também deve estar nessa direção. A mesma coisa vale para o ponto B. Desta forma, podemos traçar perpendiculares aos vetores velocidades e encontrar o centro instantâneo C. A partir de C, traçamos uma reta até o centro de massa G e enfim podemos traçar sua velocidade v G perpendicular a esta reta. Podemos então escrever na forma da equação:

v G = θ ˙ × r G C = θ ˙ l 2 ( c o s θ   i - s e n θ   j )  

v G = θ ˙ l 2

Agora vamos para a parte de energia.

Como sabemos, em um movimento harmônico simples, a energia é um balanço entre a energia cinética e a energia potencial, como mostra a equação:

E = T + V

Como o sistema é conservativo, a energia total E é uma constante. Além disso, nós temos que quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula, e vice versa. Veja só:

Q u a n d o   T → m a x ,   e n t ã o   V = 0   e   E = T

Q u a n d o   V → m a x ,   e n t ã o   T = 0   e   E = V

Como o exercício não diz nada quando θ = 0 , podemos considerar que neste instante as molas estão em seu comprimento natural. Portanto, a energia potencial elástica será nula:

θ = 0   → V = 0

Agora, vamos voltar para a equação do movimento harmônico e escrever de uma maneira mais completa de acordo com a questão.

E = T + V

Onde a energia cinética é composta pela energia cinética rotacional 1 2 I θ ˙ 2 e pela energia cinética de translação 1 2 m v G 2 .

Agora, a energia potencial neste caso é composta pela gravitacional e pela elástica das molas. Quando o ângulo θ aumentar, o centro de massa da barra vai descer o equivalente à l 2 1 - c o s θ , como pode ser visto pelo diagrama abaixo. Já a energia potencial elástica, basta somar as deflexões das duas molas. A equação fica então:

V = 2 1 2 k x 2 -   m g l 2 1 - c o s θ

Para verificar se a equação está correta, teste se θ = 0   → V = 0 . Hehe

OBS: O sinal da energia potencial gravitacional está negativo porque o centro de massa G está descendo, ou seja, está havendo perda deste tipo de energia em relação ao referencial ( θ = 0 ) .

Beleza!! Agora vamos substituir os valores:

E = 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m v G 2 + 2 1 2 k x 2 -   m g l 2 1 - c o s θ

E = 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m θ ˙ l 2 2 + 2 1 2 k x 2 -   m g l 2 1 - c o s θ

E = 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m θ ˙ 2 l 2 4 + 2 1 2 k x 2 -   m g l 2 1 - c o s θ

E = 1 2 I θ ˙ 2 + 1 8 m l 2 θ 2 ˙   + k x 2 -   m g l 2 1 - c o s θ

Para uma barra, I = 1 1 2 m l 2 . Temos ainda que x = l s e n θ . Logo:

E = 1 2 1 12 m l 2 θ ˙ 2 + 1 8 m l 2 θ 2 ˙   + k l s e n θ 2 -   m g l 2 1 - c o s θ

E = 1 24 m l 2 θ ˙ 2 + 1 8 m l 2 θ 2 ˙   + k l 2 s e n 2 θ -   m g l 2 1 - c o s θ

E = 1 6 m l 2 θ 2 ˙   + k l 2 s e n 2 θ -   m g l 2 1 - c o s θ

Como d E d t = 0 (Não esquecer a regra da cadeira):

1 3 m l 2 θ ˙ θ ¨   + 2 k l 2 θ ˙ s e n θ c o s θ -   m g l 2 θ ˙ s e n θ = 0

1 3 m l 2 θ ˙ θ ¨   + 2 k l 2 θ ˙ s e n θ c o s θ -   m g l 2 θ ˙ s e n θ = 0

1 3 m l θ ¨   + 2 k l s e n θ c o s θ - 1 2 m g s e n θ = 0

Para ângulos muito pequenos, vale a aproximação:

s e n θ = θ

c o s θ = 1

Portanto, substituindo e simplificando:

1 3 m l θ ¨   + θ 2 k l - 1 2 m g = 0

Arrumando a equação para o termo a segunda ficar com o coeficiente unitário, temos:

θ ¨ + 6 k m - 3 g 2 l θ = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = 6 k m - 3 g 2 l

A raiz deve dar um valor positivo para haver movimento harmônico simples. Então podemos estabelecer uma condição para k:

6 k m - 3 g 2 l > 0

k > m g 4 l

Resposta

ω n = 6 k m - 3 g 2 l

k > m g 4 l

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