Enunciado

Se a resultante das três forças é F r = - 4,5 k   k N , determine a intensidade da força em cada corrente.

Passo 1

Cara, para achar a intensidade da força em cada corrente a gente vai precisar achar a resultante dessas forças em função de suas intensidades F a , F b e F c , e igualar a resultante que o enunciado deu.

Para achar uma expressão para a força resultante, a gente vai precisar escrever nossas forças como vetores e depois somar cada componente separadamente.

E para escrever nossas forças como vetores, a gente precisa encontrar vetores unitários no sentido delas, e multiplicá-los pelo módulo da força. Basicamente usar a fórmulinha:

F → = F   u → u →

Como o vetor precisa ser unitário, ali a gente divide o vetor no sentido da força pelo seu módulo. Vamos fazer isso para as nossas forcinhas!

Vamos primeiro achar as coordenadas dos pontos do nosso sistema. Para D :

D = 0,0 ,   2.1

Agora para achar as outras a gente precisa usar trigonometria. A ,   B e C tem coordenada z = 0 . Então o que a gente precisa focar é achar x e y . Vamos desenhar esse plano:

Daí a gente tira

C = 1,0 , 0

A = - 1 cos ⁡ 60 ° , 1     s e n   60 ° , 0

B = - 1 cos ⁡ 60 ° ,   - 1   s e n   6 0 ° , 0

Passo 2

Feito isso, a gente pode achar os vetores unitários nas direções das forças. Como? Para a força F a , que tem o sentido que sai de D e vai para A , a gente pode achar o vetor fazendo o ponto final menos o inicial, assim:

u → a = A - D = - 1 cos ⁡ 60 ° , 1     s e n   60 ° , 0 - 0,0 , 2.1 = - cos ⁡ 60 ° i + s e n   60 ° j - 2,1 k

Aí para achar o vetor normal, a gente divide esse cara pelo módulo dele:

u a → = - cos ⁡ 60 ° i + s e n   60 ° j - 2,1 k - c o s   6 0 ° 2 + s e n 30 ° 2 + - 2,1 2 ≈ - 0.21 5 i + 0.372   j - 0.90 3 k

Fazemos o mesmo para as outras forças. F B sai de D e vai para B :

u → b = B - D = - 1 cos ⁡ 60 ° ,   - 1   s e n   6 0 ° , 0 - 0,0 , 2.1 = - cos ⁡ 60 ° i - s e n   60 ° j - 2,1 k

u b → = - cos ⁡ 60 ° i - s e n   60 ° j - 2,1 k - c o s 6 0 ° 2 + - s e n   6 0 ° 2 + - 2,1 2 ≈ - 0.21 5 i - 0.372   j - 0.90 3 k

E F C sai de D e vai para C :

u → c = C - D = 1,0 , 0 - 0,0 , 2.1 = 1 i - 2,1 k

u c → = 1 i - 2,1 k 1 2 + 0 2 + - 2,1 2 ≈ 0 , 4 30 i - 0 , 90 3 k

Passo 3

Então os vetores de força F a ,   F b   e   F c são

F a → = F a ⋅ u a → = F a ⋅ - 0.21 5 i + 0.372   j - 0.90 3 k =

= - 0.21 5 F a i + 0.372   F a j - 0.90 3 F a k

F b → = F b ⋅ - 0.21 5 i - 0.372   j - 0.90 3 k = - 0.21 5 F b i - 0.372 F b   j - 0.90 3 F b k

F c → = F c ⋅ 0.4 30 i - 0.90 3 k = 0 , 430 F c   i - 0,9 03 F c   k

Passo 4

Sendo assim, nossa F r → será dada por

F r → = F a → + F b → + F c → = - 4500 k

- 0.21 5 F a i + 0.372   F a j - 0.90 3 F a k - 0.21 5 F b i - 0.372 F b   j - 0.90 3 F b k

0,430 F c   i - 0,903 F c   k = - 4500 k

Comparando o lado esquerdo com o lado direito em termos das componentes i , j   e   k vamos ter o seguinte sistema

- 0.21 5 F a - 0.21 5 F b + 0 , 430 F c = 0

0.372   F a - 0.372   F b = 0

- 0.90 3 F a - 0.90 3 F b - 0,903 F c = - 4500

Resolvendo esse sistema, encontramos

F a = F b = F c = 1661   N = 1,6   k N

Resposta

F a = F b =   F c ≈ 1,6   k N

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