Enunciado

Se o rolete em A e o pino em B podem suportar uma carga de até 4   k N e 8   k N , respectivamente, determine a intensidade máxima da carga distribuída w , medida em k N / m , de modo que não haja ruptura dos suportes.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Como esta questão utiliza a mesma geometria da questão 5.22 , vamos utilizar as relações lá desenvolvidas para o cálculo das reações aqui nesta nossa questão!

Relembrando, as relações foram:

Q ⋅ 2 - F A ⋅ cos ⁡ 60 ° ⋅ 3 ⋅ sen ⁡ 30 ° - F A ⋅ sen ⁡ 60 ° ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 4 = 0 B x + F A ⋅ cos ⁡ 60 ° = 0 B y - Q + F A ⋅ sen ⁡ 60 ° = 0

Percebam que as reações no pino B são funções da reação no rolete F A . E que a força no rolete é função apenas do carregamento Q .

A questão nos afirmou que os valores máximos nas reações dos apoios são:

F A , m á x = 4   k N

B m á x = B x 2 + B y 2 = 8   k N

Então, temos duas possibilidades: a reação em F A é máxima, e a reação no apoio B será menor que 8   k N ; ou a reação no apoio B é máxima, e a reação F A é menor que 4   k N .

Sendo assim, vamos testar qual hipótese está correta!

Passo 2

Vamos começar com a primeira hipótese, que F A = F A , m á x = 4   k N . Desta forma, a força devido ao carregamento é:

Q 1 ⋅ 2 - F A ⋅ cos ⁡ 60 ° ⋅ 3 ⋅ sen ⁡ 30 ° - F A ⋅ sen ⁡ 60 ° ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 4 = 0

Q 1 = 4 ⋅ 3 4 + sen ⁡ 60 ° ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 4 2

Q 1 = 12,9   k N

E com isto, as reações no pino B são:

B x + F A ⋅ cos ⁡ 60 ° = 0 ⟹ B x = - 2   k N

B y - Q + F A ⋅ sen ⁡ 60 ° = 0 ⟹ B y = 10,9   k N

E então, a intensidade da força no pino B , temos:

B R = B x 2 + B y 2 = - 2 2 + 10,9 2 = 11,1   k N

E como B > B m á x , acabamos de verificar que a nossa primeira hipótese está errada!

Passo 3

Como a nossa primeira hipótese está errada, é bastante provável que a nossa segunda esteja correta. As contas serão um pouco mais trabalhosas, mas nada impossível!!!

Então, vamos confirmar ela agora! Neste caso, temos B R = 8   k N . Logo,

B R = B x 2 + B y 2 = - F A ⋅ cos ⁡ 60 ° 2 + Q 2 - F A ⋅ sen ⁡ 60 ° 2 = 8   k N

- F A ⋅ cos ⁡ 60 ° 2 + Q 2 - F A ⋅ sen ⁡ 60 ° 2 = 64

Só que nós sabemos que:

Q 2 = F A ⋅ 3 4 + sen ⁡ 60 ° ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 4 2 = 3,232 ⋅ F A

Portanto,

- F A ⋅ cos ⁡ 60 ° 2 + 3,232 ⋅ F A - F A ⋅ sen ⁡ 60 ° 2 = 64

0,25 F A 2 + 5,598 F A 2 = 64

F A = 3,31   k N

E conseguimos um valor de F A < F m á x = 4   k N . Portanto, a nossa segunda hipótese está válida!

Seguindo com as contas, obtemos Q 2 = 10,7   k N . Mas como queremos determinar o carregamento distribuído w , temos:

Q 2 = 4 w

w = 10,7 4 = 2,67   k N / m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

w = 2,67   k N / m

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