Enunciado

A seção transversal monstrada representa um corpo de revolução, em torno do eixo z , de uma peça fabricada em ferro fundido. Calcule sua massa m .

Passo 1

Vamos calcular o volume do corpo de revolução através da seguinte relação:

V = 2 π r - A

Onde A é a área da região que é revolucionada (apenas de um lado) e  r - é a distância do centroide da área até o eixo de revolução, no caso o eixo z . Então multiplicamos o volume pela densidade do ferro fundido e achamos a massa.

Passo 2

Para calcular r - , primeiro separamos nossa área em duas regiões:

A primeira região tem área:

A 1 = 100 × 30 2 = 1500   m m 2

A distância do centroide para a base de um triângulo é um terço da altura relativa a essa base. Pegando a base vertical do triângulo, a altura relativa a essa base é 30 mm. A distância do centroide até essa base vertical é então de 10 mm (da direita para a esquerda). Então:

r - 1 = 20 + 30 - 10 = 40   m m

Então o volume da primeira região pode ser calculado:

V 1 = 2 π r - 1 A 1 = 2 π × 40 × 1500 = 120000 π   m m 3 = 120 π   c m 3

Passo 3

A segunda região tem área:

A 2 = 30 × 100 = 3000   m m 2

E as coordenada r - 2 do centroide é:

r - 1 = 50 + 15 = 65   m m

Então obtemos seu volume:

V 1 = 2 π r - 1 A 1 = 2 π × 65 × 3000 = 390000 π   m m 3 = 390 π   c m 3

Passo 4

Temos então nosso volume total:

V = V 1 + V 2 = 120 π + 390 π = 510 π   c m 3 ≈ 1602   c m 3

A densidade do ferro é de 7,21   g / c m 3 , então:

m = ρ g = 7,21 × 1602 = 11550   g = 11,55   k g

Resposta

m = 11,55   k g

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