Enunciado

O seguidor de mola A encosta na parte circular do came até que o lóbulo do came levante o êmbolo. A força necessária para levantar o êmbolo é proporcional ao seu movimento vertical h desde sua posição mais baixa. Para fins de projeto, determine o ângulo para o qual o momento da força de contato no came sobre o rolamento O é máximo. Na visão ampliada do contato, despreze a pequena distância entre o ponto de contato real B e a extremidade C do lóbulo.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza?

Note que a posição mais baixa do lóbulo é 40   m m mais alta que o ponto O . Isso significa que a altura que descreve o momento vertical h pode ser definida como:

h = 80 sen ⁡ θ - 40

Segundo o enunciado, a força necessária para levantar o êmbolo é proporcional a essa altura h , portanto:

F = K * h

F = K ( 80 sen ⁡ θ - 40 )

Onde K é uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

Show, feito isso, podemos partir para calcular o momento M O dado por essa força em torno de O . Uma vez que a força no came aponta para baixo, precisamos descobrir apenas a componente horizontal d do vetor posição (do ponto de aplicação da força até o ponto O ).

M O = F * d

Onde d = 80 cos ⁡ θ , então:

M O = K ( 80 sen ⁡ θ - 40 ) ( 80 cos ⁡ θ )

M O = 6400 K sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 3200 K cos ⁡ θ

Passo 3

Assim, temos que o nosso momento está em função do ângulo θ e para obtermos o momento máximo, basta igualar a sua derivada a zero.

d M d θ = 0

d d θ ( 6400 K sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 3200 K cos ⁡ θ ) = 0

6400 K cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - 3200 K sen ⁡ θ = 0

3200 K ( 2 cos 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ ) = 0

2 cos 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

Utilizando a relação trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Temos:

2 - 2 sen 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

2 - 4 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

- 4 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ + 2 = 0

Fazendo a substituição:

t = sen ⁡ θ

Obtemos a equação de segundo grau:

- 4 t 2 + t + 2 = 0

Cujas soluções são dadas por:

t = 1 ± 33 8

Voltando para o nosso sen ⁡ θ :

sen ⁡ θ = 1 ± 33 8

∴ θ 1 = 57,5 °     e     θ 2 = - 36,4 °  

Uma vez que θ ∈ [ 0,90 ° ] :

θ = 57,5 °

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

θ = 57,5 °

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