Enunciado

Um sistema de escapamento para uma caminhonete é mostrado na figura. Os pesos W h , W m e W t do tubo de entrada, abafador e escapameneto são 10 , 100 e 50   N , respectivamente, e atuam nos pontos indicados. Se o suporte no ponto A está ajustado de modo a exercer uma força trativa de 50   N , determine as forças necessárias nos suportes nos pontos B , C e D de modo que o sistema força binário no ponto O seja zero. Por que um sistema força-momento nulo em O é desejável?

Passo 1

Nossa primeira exigência é que a força resultante seja nula:

R → = 0

R → é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre o sistema de escapamento:

R → = W → h + F → A + W → m + F → B + W → t + F → C + F → D

Escrevendo cada uma dessas forças em forma vetorial, encontramos o seguinte:

W → h = - 10   j ^   N

F → A = 50   j ^   N

W → m = - 100   j ^   N

F → B = F B   j ^

W → t = - 50   j ^   N

F → C = F C - sen ⁡ 30 °   i ^ + cos ⁡ 30 °   j ^

F → D = F D sen ⁡ 30 °   i ^ + cos ⁡ 30 °   j ^

E então:

R → = - F C sen ⁡ 30 ° + F D sen ⁡ 30 ° i ^ + - 10 + 50 - 100 + F B - 50 + F C + F D cos ⁡ 30 ° j ^

R → = 1 2 F D - F C i ^ + - 110 + F B + F C + F D cos ⁡ 30 °   j ^

Já vimos que essa força resultante tem que ser zero, mas isso só pode acontecer se as duas componentes forem nulas:

1 2 F D - F C = 0         ⇒           F D = F C = F

Onde F é uma variável que inventamos para se referir ao valor dessas duas forças.

E a outra componente não ajuda muito por enquanto, então vamos em frente.

Passo 2

Agora vamos fazer uma coisa parecida com o passo anterior, mas para o momento total em relação ao ponto O . Nesse caso, só precisamos considerer as componentes verticais das forças:

M O = ∑ i F i   d i = 0

E os sinais negativos aparecem nas forças que favorecem a rotação no sentido horário (nesse caso, as que vêm de “cima para baixo”).

M O = - W h 0,5 + F A 0,7 - W m 1,35 + F B 2 - W t 2,5 + ( 2 F ) ( cos ⁡ 30 ° ) ( 2,9 )

Cuidado com esse último termo da soma, ele vem da soma das componentes das duas forças ( F C e F D ) que têm o mesmo módulo F .

Agora vamos substituir os valores:

0 = - 105 + F B 2 - 125 + 5,02 F

F B = 230 - 5,02 3 ( F ) 2 = 115 - 2,51   F

Passo 3

Agora sim, vamos olhar para a outra componente da força que calculamos no passo 1 :

- 110 + F B + F C + F D cos ⁡ 30 ° = 0

E podemos substituir a relação que acabamos de encontrar para F B , lembrando de substituir também F C = F D = F :

- 110 + 115 - 2,51   F + F + F cos ⁡ 30 ° = 0

2 cos ⁡ 30 ° - 2,51 F = - 5

F = 6,42   N

E esse é o módulo das forças F C e F D , que pode ser usado para calcular F B também:

F B = 115 - 2,51   F

F B = 115 - ( 2,51 ) ( 6,42 )

F B = 98,9   N

Pronto!

Agora só falta explicar uma coisa: porque é desejável ter um sistema força-binário nulo em O ? Como se trata de um suporte, isso é interessante porque evita que seja necessário haver alguma força de sustentação exercida em O .

Resposta

F B = 98,9 e F C = F D = 6,42   N . O equilíbrio das forças e torques dispensa o exercício de uma força de suporte no ponto O .

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