Enunciado

Solucione o Problema 13.105 se overset(¨)(theta) = 2 r a d // s^2 quando overset(˙)(theta) = 5 r a d // s e theta = 60 ° .

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa da partícula: m = 80 g = 0,08 k g

Rigidez da corda: k = 30 N/m

Comprimento não deformado da corda: l_0 = 0,25 m

Velocidade angular: overset(˙)(theta) = 5 rad/s

Aceleração angular: overset(¨)(theta) = 2 r a d // s^2

Trajetória circular na horizontal.

A questão pede para determinarmos a força que o braço exerce sobre a partícula quando theta = 60 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde F é a força exercida pelo braço, N é a força normal e F_s é a força exercida pela corda sobre a partícula.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um circulo de raio 0,4 m, a direção de N será a mesma do raio deste círculo.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais.

Em r :

r = (0,8 sen theta) m

overset(˙)(r) = (d r)/(d t) = 0,8 overset(˙)(theta) cos theta m // s

overset(¨)(r) = (d^2 r)/(d t^2) = - 0,8 overset(˙)(theta)^2 sen theta + 0,8 overset(¨)(theta) cos theta m // s^2

Para theta = 60 ° :

overset(˙)(theta) = 5 r a d // s

overset(¨)(theta) = 2 r a d // s^2

r = 0,693 m

overset(˙)(r) = 2 m // s

overset(¨)(r) = (d^2 r)/(d t^2) = - 16,52 m // s^2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e theta são dadas por

a_r = overset(¨)(r) - r overset(˙)(theta)^2

a_theta = r overset(¨)(theta) + 2 overset(˙)(r) overset(˙)(theta)

Logo,

a_r = - 16,52 - 0,693 ( 5^2 ) = - 33,85 m // s^2

a_theta = 0,693 (0) + 2 ( 2 ) ( 5 ) = 21,386 m // s^2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada à partícula.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde beta e alpha são os ângulos de base.

beta = alpha

Através da imagem fornecida pelo enunciado, vemos que

beta = 90 ° - theta

Portanto, para theta = 60 ° , temos que beta = 30 ° = alpha .

Passo 5

A força elástica exercida é dada por

F_s = k Delta l

O comprimento final da corda l é igual ao valor de r quando theta = 60 ° . Portanto, temos que

F_s = k Delta l = k (r - l_0)

F_s = 30 (0,693 - 0,25)

F_s = 13,29 N

Passo 6

Aplicaremos as Equações do Movimento.

No eixo r :

sum F_r = m a_r

- F_s + N cos alpha = m a_r

N = (0,08 (- 33,85) + 13,29)/(cos 30 °)

N = 12,2 N

No eixo theta :

sum F_theta = m a_theta

F - N sen alpha = m a_theta

F = 0,08 (21,386) + 12,2 sen 30 °

F = 7,82 N

Resposta

F = 7,82 N

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