Enunciado

Substitua o carregamento por uma única força resultante. Especifique onde sua linha de ação intercepta uma linha vertical ao longo do membro A B , medindo a partir de A .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

A questão nos pede para substituirmos todo o carregamento do desenho por uma única força resultante F R , com uma direção θ , que passa por um ponto X a uma distância d acima do ponto A . Percebam que iremos substituir por apenas uma força, com nenhum momento!

Então, a questão nos pede para determinarmos quem é a força F , a direção θ e a distância d .

Portanto, temos que trabalhar com duas frentes. Primeiro vamos trabalhar com o somatório das forças. Lembrando, a força resultante é:

F R = ∑ F

Para nos auxiliar nesta etapa, vamos trabalhar com a notação vetorial, sendo a direção y vertical e positiva para cima, e x horizontal positiva para a direita.

Depois, para descobrirmos a distância d , vamos trabalhar com o somatório dos momentos. Portanto,

M R A = ∑ M A

Então, vamos aos cálculos!

Passo 2

Primeiramente, vamos determinar a força resultante.

Aqui vamos dividir em duas etapas: calcular a componente F R x e depois a componente F R y . Para calcularmos F R x , devemos analisar quais forças possuem componente horizontal.

Nesta questão temos as forças de 900   N e 400   N . Portanto,

F R x = 900 ⋅ 3 5 - 400 ⋅ 4 5

F R x = 220   N

Já para a componente vertical, temos:

F R y = - 400 + 600 - 900 ⋅ 4 5 + 400 ⋅ 3 5

F R y = - 280   N

Portanto, a força resultante é:

F R = F R x i → + F R y j →

F R = 220 i → - 280 j → ⟹ F R = 220 2 + - 280 2 = 356   N

Uma força de 356   N formando um ângulo θ = - arctan ⁡ 220 - 280 = 38,2 ° medido no sentido horário com a direção positiva do eixo x .

Passo 3

Para finalizarmos, temos que calcular o momento em relação ao ponto A . Para facilitar a nossa vida, como as forças estão inclinadas, em relação aos eixos coordenados, vamos trabalhar aqui com a forma vetorial.

Portanto, vamos calcular os momentos vetorialmente e depois fazer a soma deles. Começando pela força F 1 = 400   N (a inclinada aqui, a outra vertical a gente faz depois), temos:

M 1 = r 1 × F 1

M 1 = i → j → k → 0 1 0 - 320 240 0 = 320 k →   N ⋅ m

Lembrem-se que o vetor r 1 é o vetor distância da origem até o ponto de aplicação da força F 1 .

Já para a força F 2 = 900   N , temos:

M 2 = r 2 × F 2

M 2 = i → j → k → 0 2,5 0 540 - 720 0 = - 1350 k →   N ⋅ m

E para a força F 3 = 600   N ,

M 3 = r 3 × F 3

M 3 = i → j → k → - 0,5 3 0 0 600 0 = - 300 k →   N ⋅ m

E por fim, para F 4 = 400   N (agora sim a força vertical), temos:

M 4 = r 4 × F 4

M 4 = i → j → k → - 1,5 3 0 0 - 400 0 = 600 k →   N ⋅ m

Agora vamos calcular o momento M R devido a força resultante. Logo,

M R = r R × F R

M R = i → j → k → 0 d 0 220 - 280 0 = - 220 d   k →   N ⋅ m

Portanto, o momento resultante é:

M R O = ∑ M

- 220 d   k → = 320 k → + - 1350 k → + - 300 k → + 600 k →

d = - 730 - 220 = 3,32   m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

Uma força de 356   N formando um ângulo θ = 38,2 ° medido no sentido horário com a direção positiva do eixo x . A distância d é 3,32   m a acima do ponto A .

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