Enunciado

O tambor e o eixo estão soldados e têm uma massa de 50   k g e centro de massa em G . O eixo está submetido a um torque de 120   N m e o tambor é impedido de girar pela corda firmemente enrolada em torno dele e presa ao ponto C . Calcule os módulos das forças suportadas pelos mancais A e B .

Passo 1

Vamos começar encontrando o ângulo que o cabo forma ao se prender ao ponto C . Precisaremos desse ângulo para fazer qualquer cálculo envolvendo a tração.

Começamos com o ângulo β que o segmento C G - forma com a placa:

β = arctan ⁡ 180 240 = 36,86 °

E pelo teorema de pitágoras podemos calcular o comprimento de C G - :

C G - = 240 2 + 180 2 = 300

E agora o ângulo α que o cabo forma com o segmento C G - pode ser calculado usando esse comprimento e o raio do cilindro:

α = arcsen ⁡ 150 300 = 30 °

E então o ângulo θ que o cabo forma com a placa é:

θ = α + β

θ = 30 ° + 36,86 ° = 66,86 °

Passo 2

Agora que conhecemos esse ângulo podemos começar a montar equações de equilíbrio. Primeiro precisamos definir alguns eixos e desenhar as forças:

Vamos começar pensando no momento em relação ao eixo z , porque nesse caso as forças em A e B , e o peso, terão momento nulo:

∑ M z = 0

∑ M z = 120 - 0,150 T = 0

T = 800   N

Passo 3

E agora vamos tentar reduzir esse problema a um caso bidimensional. Começamos pensando no plano x - z , essa é a vista “de cima” do sistema.

Nesse plano temos apenas as forças A x , B x , e uma componente de T dada pela seguinte expressão:

T x z = T cos ⁡ θ

Se calcularmos a equação de equilíbrio do momento em relação ao ponto B , o momento de B x será nulo, então:

∑ M B = 0

∑ M B = T cos ⁡ θ 0,100 + 0,200 + 0,200 - 0,140 - ( A x ) ( 0,200 + 0,200 + 0,200 + 0,100 )

A x = ( 800 ) ( cos ⁡ 66,86 ° ) ( 0,360 ) ( 0,700 )

A x = 161,7   N

Passo 4

Agora, continuando no mesmo plano, vamos fazer o equilíbrio das forças na direção do eixo x :

∑ F x = 0

∑ F x = A x + B x - T cos ⁡ θ = 0

161,7 + B x - 800 cos ⁡ 66,86 ° = 0

B x = 152,7   N

Passo 5

Em seguida vamos considerar outro plano, o y - z . Que corresponde à vista “de lado” do sistema, como se você estivesse em pé no lado positivo do eixo x . Isso é um pouco mais complicado de visualizar, então vamos desenhar:

E agora vamos usar uma equação de equilíbrio do momento em relação ao ponto B :

∑ M B = 0

∑ M B = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,1 A y - T sen ⁡ θ 0,1 + 0,2 + 0,2 - 0,14 - P 0,2 + 0,1

0,7   A y - 0,331 800 - ( 0,3 ) ( 50 ) ( 9,81 ) = 0

A y = 588,5   N

E por último podemos usar o equilíbrio das forças na direção y :

∑ F y = 0

∑ F y = P + T sen ⁡ θ - A y - B y

50 9,81 + 800 sen ⁡ 66,86 ° - 588,5 - B y = 0

B y = 637,6   N

Passo 6

E agora podemos calcular os módulos das duas forças:

A = A x 2 + A y 2 = 161,7 2 + 588,5 2 = 610   N

B = B x 2 + B y 2 = 152,7 2 + 6 37 , 6 2 = 656   N

Resposta

Os módulos das forças são A = 610   N e B = 656   N .

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