Enunciado

A treliça espacial de Prob. 4/63 é modificado conforme mostrado em que seus suportes e carregamento são alterados. Determine as forças nas barras AC e BD e compare com os resultados do Prob. 4/63.

Passo 1

Podemos ver que existem cinco forças desconhecidas agindo no ponto D e quatro no ponto C, portanto, devemos primeiro determinar as forças de reação em C e D e, em seguida, a força no membro CD do diagrama de corpo livre

Ao igualar a soma dos momentos sobre o eixo x, podemos determinar a força de reação Cz

∑ M x = 0

5 a ⋅ C z Z - 2.5 a ⋅ L = 0 C z = 2.5 a ⋅ L 5 a C z = 0.5 L

Ao igualar a soma dos momentos sobre o eixo z, podemos determinar a força de reação Dx

∑ M z = 0 - 5 a ⋅ D x + 4 a ⋅ L = 0 D x = 4 a ⋅ L 5 a D x = 0.8 L

uma vez que conhecemos a força de reação em C, analisando a junta C, podemos determinar a força no membro CD

Vamos supor que todos os membros estejam em tensão

Uma vez que as forças CD, CB e C_Z são paralelas aos eixos x, y e z respectivamente, podemos escrevê-los como

C D → = C D ( 1 i → + 0 j → + 0 k → ) C B → = B C ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) C z → = ( 0 i → + 0 j → + 0.5 L k → )

Passo 2

Podemos escrever o vetor de força CA como um produto de sua magnitude CA e um vetor unitário de direção de força n → C A

C A → = ( A C ) n → C A

Podemos ver no esboço que as coordenadas dos pontos C e A são

C ( 0 , - 5 a , 0 ) A ( 2 a , - 2.5 a , - 6 a )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n C → A como

n → C A = C A → C A ¯

= X A - X C i → + Y A - Y C j → + Z A - Z C k → X A - X C 2 + Y A - Y C 2 + Z A - Z C 2 = ( 2 - 0 ) i → + ( - 2.5 + 5 ) j → + ( - 6 - 0 ) k → ( 2 - 0 ) 2 + ( - 2.5 + 5 ) 2 + ( - 6 - 0 ) 2 = 2 i → + 2.5 j → - 6 k → 46.25 = 0.2941 i → + 0.3676 j → - 0.8823 k →

Por fim, a expressão para o vetor de força é F → C A

C A → = ( 0.2941 i → + 0.3676 j → - 0.8823 k → ) A C

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

C A → + C B → + C D → + C → Z = 0 A C ( 0.2941 i → + 0.3676 j → - 0.8823 k → ) + B C ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) + C D ( 1 i → + 0 j → + 0 k → ) + ( 0 i → + 0 j → + 0.5 L k → ) = 0 ( 0.2941 A C + 1 C D ) i → + ( 0.3676 A C + 1 B C ) j → + ( - 0.8823 A C + 0.5 L ) k → = 0

Agora temos 3 equações do equilíbrio

∑ F X = 0

0.2941 A C + 1 C D = 0 (1)

∑ F Y = 0

0.3676 A C + 1 B C = 0 (2)

∑ F Z = 0

- 0.8823 A C + 0.5 L = 0 (3)

Passo 3

Da equação (3), podemos determinar a força no membro AC

- 0.8823 A C + 0.5 L = 0                                                                                   ( 3 ) A C = 0.5 L 0.8823

A C = 0.567 L ( T )

Substituindo AC pelo seu valor na equação (1), podemos determinar a força no membro CD

0.2941 ⋅ 0.567 L + 1 C D = 0                                                                 ( 1 ) C D = - 0.2941 ⋅ 0.567 L C D = - 0.167 L

Agora que determinamos as forças CD e Dx, podemos analisar a junta D

Observe que o membro faz com o ângulo do eixo x de

α = t a n - 1 ⁡ 5 a 4 a = 51.34 ∘

vamos supor que todos os membros estejam em tensão

Podemos notar que o vetor DA é o único com componente z, portanto, ao igualar a soma das forças na direção z a zero fica claro que a força AD é igual a zero

∑ F Z = 0

A D ⋅ n Z = 0 A D = 0

Passo 4

Agora, ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força no membro BD

∑ F x = 0

- B D c o s ⁡ 51.34 ∘ - C D - D x = 0 B D = - C D - D x cos ⁡ 51.34 ∘

Substitua CD e Dx por seus valores

B D = - ( - 0.167 L ) - 0.8 L c o s ⁡ 51.34 ∘ B D = - 1.013 L

Como obtivemos resultado negativo, isso significa que o membro BD está em compressão

B D = 1.013 L ( C )

Em comparação com os resultados do Prob. 4/63, podemos concluir que os membros são mais estressados ​​quando a força é adicionada à junta D.

Resposta

A C = 0.567 L ( T ) B D = 1.013 L ( C )

Em comparação com os resultados do Prob. 4/63, podemos concluir que os membros são mais estressados ​​quando a força é adicionada à junta D

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