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As três barras estão livres para girar em torno do eixo horizontal fixo x em O . Cada uma das barras A tem uma massa de 20   k g , um raio de giração em relação ao eixo x de 300   m m , e um centro de massa G 1 . A barra B de 8   k g com um raio de giração, em relação ao mesmo eixo, de 220   m m e um centro de massa G 2 é liberada a partir do repouso na posição horizontal (eixo y ) e se torna vinculada às barras A por uma trava em C na parte inferior de sua oscilação. Calcule o ângulo θ através do qual as três barras giram como uma unidade e encontre a perda   ∆ E de energia devida ao impacto.

Passo 1

O enunciado e a esquematização do problema assustam mas ele não é tão complicado de entender.

Podemos iniciar a solução aplicando a relação Trabalho-Energia para a barra B , ausente da aplicação de forças externas e forças elásticas.

U = ∆ T + ∆ V g = 0

Calculando separadamente as variações de energia, temos

∆ T = 1 2 I ω b 2 = 1 2 m k 2 × ω b 2 = 1 2 8 0,22 2 × ω b 2 = 0,1936 ω b 2

∆ V g = m g h = 8 9,81 - 0,18 - 0 = - 14,126   J

Daí, retomando a equação que relaciona trabalho e energia, temos

0,1936 ω b 2 - 14,126 = 0

∴ ω b = 8,54   r a d / s

Passo 2

Podemos agora aplicar a equação da conservação da quantidade de movimento angular nas configurações antes do impacto e após o impacto. Assim, temos

H 1 = H 2

m k 2 ω b = 2 × M r 2 + m k 2 ω

Inserindo os valores do problema

8 0,22 2 8,54 = 2 20 0,3 2 + 8 0,22 2 ω

Resolvendo para ω , obtemos

ω = 0,83   r a d / s

Que corresponde à velocidade angular obtida pelo conjunto formado pelas três barras após o impacto.

Passo 3

Se aplicarmos a relação Trabalho-Energia para o sistema após o impacto, considerando as configurações após impacto e repouso, obteremos

U = ∆ T + ∆ V g = 0

Novamente calculando separadamente as variações de energia, temos

∆ T = 0 - 1 2 I ω 2 = - 1 2 2 × 20 0,3 2 + 8   0,22 2 0,83 2 = - 1,372   J

∆ V g = m g h = 2 × 20 9,81 0,25 - 0,25 c o s θ + 8 9,81 0,18 - 0,18 c o s θ

Para a variação da energia potencial gravitacional, podemos simplificar a equação para

∆ V g = 112,2 1 - c o s θ

Retomando a equação que relaciona trabalho e energia, temos

- 1,372 + 112,2 1 - c o s θ = 0

∴ θ = 8,97 °

Passo 4

Por fim, a perda de energia ∆ E é dada por

∆ E = - ∆ V g

Substituindo valores, ficamos com

∆ E = 14,13 - 112,2 ( 1 - cos ⁡ 8,97 ° )

Portanto, a perda de energia é dada por

∆ E = 12,75   J

Resposta

θ = 8,97 °

∆ E = 12,75   J

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