Enunciado

Três forças atuam sobre o suporte. Determine a intensidade e a direção θ de F 2 de modo que a força resultante seja direcionada ao longo do eixo u positivo e tenha uma intensidade de 250   N .

Passo 1

Fala, querido!

O exercício pede para que a gente calcule a intensidade de F 2 e o ângulo θ .

Repara que esse ângulo é contado do eixo u . Só para facilitar nosso raciocínio, vamos achar primeiro ϕ , que vai ser o ângulo entre F 2 e o eixo x , ok?

ϕ = θ + 25 °

Para achar o que ele pede precisaremos decompor as forças nos eixos x e y e trabalhar com os vetores decompostos.

Ele nos dá a informação que de que a resultante é 250   N   e tem direção de u positivo. Repara que esse eixo tem orientação de 25 ° no sentido horário em relação a x. A gente pode descobrir as componentes dessa resultante nos eixos x e y com essa informação.

Nossa força resultante está assim:

Daí a gente pode achar os valores das componentes dela nos eixos x e y:

F R x = F R ⋅ cos ⁡ 25 ° = 250 ⋅ cos ⁡ 25 ° = 226,60   N

F R y = - F R ⋅ sin ⁡ 25 ° = - 250 ⋅ sin ⁡ 25 ° = - 105,65   N

Percebe que essa última é negativa porque a força está apontando para o sentido negativo de y.

Aí vem o pulo do gato: a gente pode achar expressões para R x e R y em função de F 2 e ϕ , calculando a componente de cada força nos eixos e somando. Comparando com esses valores aí de cima, achamos o que a questão pede!

Bora lá!

Passo 2

Vamos determinar a intensidade das forças no eixo x. Repara que para F 2 , o eixo y é oposto ao ângulo que da sua orientação. Por isso a gente coloca cosseno no x e seno no y. E repara que ela aponta para o lado positivo do eixo x , aí sua componente fica positiva:

F 2 x = F 2 ⋅ cos ⁡ θ + 25 ° = F 2 cos ⁡ ϕ

Já para F 1 , vemos que ela já está na direção de x , então a componente em x vai ser o próprio valor da força:

F 1 x = F 1 = 400   N

Para calcular F 3 x , você tem que reparar no triângulo da figura

A gente vai multiplicar F 3 pelo cosseno de θ , já que esse ângulo tá coladinho com o eixo x. E aí vamos lembrar que cos ⁡ α = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o n e t u s a = 5 13

F 3 x = 260 ⋅ 5 13 N

Repara que ela aponta para o sentido positivo de x.

Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo x

F R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x = 400 + F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 260 ⋅ 5 13 = ( F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 500 )   N

Passo 3

Agora a gente usa a mesma estratégia para calcular determinar as forças no eixo y

Repara que F 2 aponta para a parte negativa de y. E que o seu ângulo de orientação está colado no eixo x. Vamos usar seno aqui e deixar ela negativa:

F 2 y = - F 2 ⋅ sin ⁡ ϕ

F 1 é normal ao eixo y , por isso

F 1 y = 0  

Vamos usar uma estratégia parecida com F 3 x para calcular F 3 y , mas agora usando seno, e lembrando sin ⁡ α = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 12 13

F 3 y = 260 ⋅ 12 13   N

F 3 y está no sentido positivo do eixo y, e por isso o sinal positivo

Agora vamos calcular a intensidade da força resultante no eixo y

F R y = F 1 y + F 2 y + F 3 y = 0 - F 2 ⋅ sin ⁡ ϕ + 260 ⋅ 12 13 = ( - F 2 ⋅ sin ⁡ Φ + 240 )   N

Passo 4

Repara que agora poderemos determinar a intensidade de F 2 . Isso porque temos duas expressões para R x e R y . Podemos igualar e fazer um sisteminha!

F R x = F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 500 F R x = 226,60     N F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 500 = 226,60 F 2 ⋅ cos ⁡ Φ = 226,60 - 500 = - 273,4

Seguindo o mesmo raciocínio

F R y = - F 2 ⋅ sin ⁡ Φ + 240 F R y = - 105,65   N - F 2 ⋅ sin ⁡ Φ + 240 = - 105,65 F 2 ⋅ sin ⁡ Φ = 240 + 105,65 = 345,65

Agora podemos elevar as duas equações ao quadrado e soma-las para sumir com ϕ e descobrir o valor de F 2

F 2 2 ⋅ cos 2 ⁡ Φ + F 2 2 ⋅ sin 2 ⁡ Φ = 273,4 2 + 345,65 2 F 2 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ Φ + sin 2 ⁡ Φ ) = 273,4 2 + 345,65 2

Lembrando da relação trigonométrica cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1 , portanto:

F 2 2 × 1 = 273,4 2 + 345,65 2 F 2 = 273,4 2 + 345,65 2 = 440,7   N

Passo 5

Agora que sabemos a intensidade de F 2 podemos calcular o ângulo Φ .

Aqui você pode escolher entre F R x   e   F R y , eu vou usar F R x .

F 2 ⋅ cos ⁡ Φ + 500 = 226,60 Φ = c o s - 1 226,60 - 500 440,7 = 128,34 °

Maaasss vamos precisar conferir com o F R y :

F R y = - 440,7 ⋅ sin ⁡ 128,34 ° + 240

F R y = - 105,7   N  

Que é praticamente o - 105,65   N mesmo (devem ter eerros de arredondamento).

Passo 6

Mas você pode estar se perguntando por que precisa conferir???

Se liga só na figura:

Quando a gente pega um vetor e decompõe ele no eixo y:

P y = P sin ⁡ θ

Ok... sem nenhum problemas.

AGOOOORA se a gente faz o contrário:

P sin ⁡ θ = P

A gente ta afirmando que ele está do lado direito, massss:

P sin ⁡ γ = P

E concorda que γ não é igual a θ , no caso:

θ + γ = 180 °

γ = 180 - θ

A gente tem que ter uns cuidadinhos chatos, beleza?

Mas continuando a questão...

Passo 7

E lembrando que a gente quer θ :

ϕ = θ + 25 °

128,34 ° = θ + 25 °

θ = 103,34 °

Resposta

F 2 = 440,7   N θ = 103,34 °

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