Enunciado

Várias forças são aplicadas à montagem tubular indicada. Sabendo-se que os diâmetros, interno e externo, do tubo são iguais a 38 m m   e   45 m m , respectivamente, determinar:

  1. Os planos e as tensões principais no ponto H localizada no cume da superfície externa do tubo;
  2. A máxima tensão de cisalhamento no mesmo ponto.

Passo 1

Temos dois objetivos, primeiro precisamos determinar o estado plano de tensões que age no elemento no ponto H, e em seguida precisamos determinar a máxima tensão cisalhante que age nele, para isso precisamos fazer o seguinte:

  • Levar todas as forças com seus respectivos momentos fletores até o ponto H
  • Com todas as ações no ponto H descartar a parte da seção onde as forças estavam
  • Construir o estado plano de tensões no ponto H
  • Calcular a máxima tensão cisalhante.

Sabendo isso vamos ao nosso primeiro passo:

Passo 2

Vamos levar as forças até o ponto H com as suas respectivas ações ligadas, se fizermos um elemento unifilar do tubo teremos que:

Levando a carga de 220   k N , teremos que:

E levando a carga de 130   k N teremos que:

Perceba que as cargas de 130   k N , se anulam, sendo assim teremos que, juntando os mesmos esforços que estão na mesma direção e descartando todo o resto da estrutura que não afeta mais o ponto H, teremos que:

Agora que temos as ações que agem na estrutura, podemos para de olhar a seção como unifilar e podemos olhar ela como uma seção circular, sendo assim teremos que:

Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção H:

  • Sabemos que o momento de 44 kNm tem a tendência de cisalhar a seção com o ponto H.
  • Sabemos que o momento de 52 kNm tende a comprimir o ponto H
  • A força de 220 kN, também tende a cisalhar o nosso ponto H.
  • E o momento de 55 kNm está agindo na mesma seção do ponto H, e sabemos que a tensão na linha de atuação do momento é zero, ou seja, esse esforço não produz nenhuma tensão no nosso ponto H. O que isso significa? Significa que podemos descartar completamente esse esforço porque ele não afetará o ponto H:

Passo 3

Se já temos os esforços, podemos calcular as tensões que cada um deles produz:

Vamos começar pelas tensões normais:

  • σ x
  • Para a tensão normal, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

    σ x = - M y I

    Temos o nosso momento fletor:

    M = 52   k N m = 52000   k N m m

    A distância em y é o valor do raio externo, que é dado por:

    y = D e 2 = 45 2 = 22,5 m m

    E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

    I = π D e 4 - D i 4 4 = π 45 4 - 38 4 4 = 1582961   m m 4

    σ x = - 52000   .     22,5 1582961 = - 0,739 k N m m 2 = - 739   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma compressão na direção X, que podemos descrever como:

    Passo 4

    Se já temos os esforços, podemos calcular as tensões que cada um deles produz:

    Vamos para a tensão cisalhante:

  • Devido ao momento torsor
  • Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

    τ x y = T ρ J

    Temos o nosso momento fletor:

    M = 44   k N m = 44000   k N m m

    ρ   é o raio externo do nosso tubo:

    ρ = D e 2 = 45 2 = 22,5 m m

    E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

    I = π D e 4 - D i 4 2 = π 45 4 - 38 4 2 = 3165923   m m 4

    σ x = 44000   .     22,5 3165923 = 0,313 k N m m 2 = 313   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

  • Devido ao cortante

Para a tensão cisalhante devido ao cortante, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

τ x y = V S I B

Temos o nosso cortante:

V = 220   k N

B   é duas vezes a espessura do tubo:

B = 2 e = 2 45 - 38 2 = 7 m m

E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

I = π D e 4 - D i 4 4 = π 45 4 - 38 4 4 = 1582961   m m 4

E para o momento estático precisamos da seguinte equação:

Como precisamos do momento de inercia da espessura, podemos fazer o seguinte:

Assim o nosso momento estático será dado por:

S = A e y e - A i y i = π r e 2 2 4 r e 3 π - π r i 2 2 4 r i 3 π

S = 2 r e 3 3 - 2 r i 3 3 = 2 3 r e 3 - r i 3 = 2 3 22,5 3 - 19 3 = 3021   m m 3

τ x y = V S I B = 220 ⋅   3021   1582961 ⋅ 7 = 0 , 60 k N m m 2 = 60   M P a

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H contrária ao que definimos, sendo assim teremos que:

Sendo assim, se subtrairmos as tensões cisalhantes, o nosso elemento passara a ser o seguinte:

E assim fechamos o primeiro objetivo, mas o segundo objetivo é bem simples, que é determinar a máxima tensão cisalhante para este estado plano de tensões, nesse caos precisamos apenas fazer o seguinte:

τ x y ( m a x ) = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ x y ( m a x ) = 739 - 0 2 2 + 25 3 2 = 4 47 , 8   M P a

Resposta

  1. τ x y ( m a x ) = 447,8   M P a
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