Enunciado

Uma força vertical de 18   k N é aplicada na extremidade A da barra AB, que é soldado a um tubo de alumínio extrudado de espessura uniforme de 6mm. Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no:

  1. Ponto H;
  2. Ponto K.

Passo 1

Temos dois objetivos, que são, determinar as tensões principais e a máxima tensão cisalhante nos pontos H e K para isso precisamos fazer o seguinte:

  • Levar todas as forças com seus respectivos momentos fletores até o ponto H e K
  • Com todas as ações no ponto H e k descartar a parte da seção onde as forças estavam
  • Construir o estado plano de tensões no ponto H e K
  • Calcular a máxima tensão cisalhante e as tensões principais nos pontos H e K.

Sabendo isso vamos ao nosso primeiro passo:

Passo 2

Vamos levar as forças até a seção com as suas respectivas ações ligadas, se fizermos um elemento unifilar teremos que:

Levando a carga de 18   k N até a seção, teremos que:

Assim a resultante é dada por:

Agora que temos as ações que agem na estrutura, podemos para de olhar a seção como unifilar e podemos olhar ela como uma seção retangular, sendo assim teremos que:

Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção H:

  • Como a carga de 18 k N está na vertical e o ponto H está no topo da seção, podemos considerar que o cortante não irá gerar tensão de cisalhamento no ponto H
  • O momento torsor de 1,8   k N m irá gerar uma tensão cisalhante no ponto H
  • O momento fletor 2,16   k N m vai gerar uma tensão normal no ponto H.
  • Assim as forças que geram algo no ponto H são:

    Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção K:

  • Como a carga de 18 k N está na vertical e o ponto K está na lateral, logo, terá tensão de cisalhamento na mesma.
  • O momento torsor de 1,8   k N m irá gerar uma tensão cisalhante no ponto K
  • O momento fletor 2,16   k N m não vai gerar uma tensão normal no ponto K, já que K está sobre a LN.

Assim as forças que geram algo no ponto K são:

Passo 3

Se já temos os esforços, podemos calcular as tensões que cada um deles produz em cada ponto:

  • Ponto H

Vamos começar pelas tensões normais:

  • σ x
  • Para a tensão normal, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

    σ x = - M y I

    Temos o nosso momento fletor:

    M = 2,16   k N m = - 2160   k N m m

    A distância em y é o valor de metade da altura da seção, que é dado por:

    y = 100 2 = 50   m m

    E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

    I = b h 3 12 - b - 2 e h - 2 e 3 12 = 50   .   100 3 12 - 38   .   88 3 12 = 2008672   m m 4

    σ x = - - 2160 .     50 2008672   = 0,0538 k N m m 2 = 53,8   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tração na direção X, que podemos descrever como:

    Vamos para a tensão cisalhante:

  • Devido ao momento torsor
  • Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções com parede fina é dada por:

    τ x y = T 2 t Ω

    Temos o nosso momento fletor:

    T = 1,8   k N m = 1800   k N m m

    t   é a espessura de 6mm:

    t = 6 m m

    E Ω é a área média da seção dada por:

    Ω = 50 - 6 100 - 6 = 4136   m m 2

    τ x y = 1800 2   . 6   . 4136 = 0,0363 k N m m 2 = 36,3   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

    Sabemos que a tensão máxima cisalhante é dada por:

    R = τ x y ( m a x ) = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 53,8 - 0 2 2 + 36,3 2 = 45,2   M P a

    Para as tensões principais precisamos da tensão média dada por:

    σ m e d = σ x + σ y 2 = 53,8 2 = 26,9

    Assim teremos que:

    σ 1 = σ m e d + R = 26,9 + 45,2 = 72,1   M P a

    σ 3 = σ m e d + R = 26,9 - 45,2 = - 18,3   M P a

    Passo 4

    Finalizado o ponto H podemos partir para o ponto K, que podemos perceber o seguinte, ele só possui ação do momento torsor e do cortante, com isso podemos calcular apenas as tensões cisalhantes que agem no ponto K, assim teremos que:

  • Ponto K
  • Devido ao momento torsor
  • Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções com parede fina é dada por:

    τ x y = T 2 t Ω

    Temos o nosso momento fletor:

    T = 1,8   k N m = 1800   k N m m

    t   é a espessura de 6mm:

    t = 6 m m

    E Ω é a área média da seção dada por:

    Ω = 50 - 6 100 - 6 = 4136   m m 2

    τ x y = 1800 2   . 6   . 4136 = 0,0363 k N m m 2 = 36,3   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto K, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

  • Devido ao cortante

Para a tensão cisalhante devido ao cortante, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

τ x y = V S I B

Temos o nosso cortante:

V = 18   k N

B   é duas vezes a espessura da seção:

B = 2 e = 6 = 12 m m

E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

I = b h 3 12 - b - 2 e h - 2 e 3 12 = 50   .   100 3 12 - 38   .   88 3 12 = 2008672   m m 4

Assim o nosso momento estático será dado por:

S = A e y e - A i y i = 50   .   50   .   25 - 44   .   38   . 22 = 25716   m m 3

τ x y = V S I B = 18   .     25716   2008672   .     12 = 0,0192 k N m m 2 = 19,2   M P a

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto K, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto K contrária ao que definimos, sendo assim teremos que:

Sendo assim, se subtrairmos as tensões cisalhantes, o nosso elemento passara a ser o seguinte:

Sabemos que a tensão máxima cisalhante é dada por:

R = τ x y ( m a x ) = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 0 - 0 2 2 + 17,1 2 = 17,1   M P a

Para as tensões principais precisamos da tensão média dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 0

Assim teremos que:

σ 1 = σ m e d + R = 0 + 17,1 = 17,1 M P a

σ 3 = σ m e d + R = 0 - 17,1 = - 17,1   M P a

Resposta

  1. τ x y ( m a x ) = 45,2   M P a

    σ 1 = 72,1   M P a

    σ 3 = - 18,3   M P a

τ x y ( m a x ) = 17,1   M P a

σ 1 = 17,1 M P a

σ 3 = - 17,1   M P a

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