Enunciado

0 vento exerce uma força uniformemente distribuída de 0,6   k N / m 2 na superfície do painel

esquematizado na próxima figura. Reduza essa força à base da coluna de suporte desse painel

Passo 1

Vamos começar encontrando a força resultante. Para facilitar os cálculos, primeiro dividimos o painel em tiras de comprimento 2.8 m e altura d y , de modo que podemos tratar essas tiras como linhas.. Teremos uma força 0,6   k N / m 2 atuando em cada pequena seção de comprimento d x . Então, a força resultante em cada tira será

R x = ∫ - 1,4 m 1,4 m 0,6   k N / m 2   d x = 0,6   k N / m 2   x | 1,4 m - 1,4 m = 0,6   k N / m 2   ( 1,4 m - ( - 1,4 m ) )

R x = 0,6   k N / m 2 ⋅   2,8 m = 1,68   k N / m

Para encontrar o ponto onde a força resultante deve ser aplicada, precisamos da integral

∫ - 1,4 m 1,4 m p x   d x = ∫ - 1,4 m 1,4 m 0,6   k N / m 2 x   d x = 0,6   k N / m 2 x 2 2 | 1,4 m - 1,4 m

∫ - 1,4 m 1,4 m p x   d x = 0,6   k N / m 2   ( ( 1,4 m ) 2 - ( - 1,4 m ) 2 ) 2 = 0

Logo, a força resultante deve ser aplicada no ponto x = ∫ - 1,4 m 1,4 m p   x d x ∫ - 1,4 m 1,4 m p   d x = 0 , que corresponde ao centro da tira. O mesmo raciocínio é válido para todas as tiras. Então, a força atuando no painel é equivalente a uma força de módulo 1,68   k N / m atuando na linha central do painel.

Passo 2

Temos novamente o problema de uma força uniformemente distribuída numa linha, mas agora em y . Utilizando o mesmo raciocínio, encontramos

R y = ∫ 4 m 5,2 m   1,68   k N / m   d y = 1,68   k N / m   ( 5,2 m - 4 m ) = 1,68   k N / m ⋅ 1,2 m = ≈ 2,02   k N

∫ 4 m 5,2 m p y   d y = 1,68   k N / m   ( ( 5,2 m ) 2 - ( 4 m ) 2 ) 2 = 1,68   k N / m   ( 27,04 m 2 - 16 m 2 ) 2

∫ 4 m 5,2 m p y   d y = 1,68   k N / m ⋅ 5,52   m 2 ≈ 9,3   k N     m

⇒ y = ∫ 4 m 5,2 m p y   d y ∫ 4 m 5,2 m p   d y = 9,3   k N   m 2,02   k N = 4,60   m

Então, a força 0,6   k N / m 2 aplicada uniformemente ao painel é equivalente a ter uma força de módulo 2,0   2 k N atuando no ponto ( 0 ,   4,60 m ) , que é justamente o ponto central do painel. A força resultante atua na mesma direção que a força uniformemente distribuída, ou seja, “entrando” no painel.

Passo 3

Para reduzir essa força resultante à base da coluna de suporte do painel, basta transladar a força resultante 2,02   k N até a base da coluna. Devido a essa translação, temos que acrescentar um momento de módulo igual a multiplicação da força pela distância de translação. A força resultante estava atuando no ponto ( 0 ,   4,60 m ) e é transladada para o ponto ( 0,0 ) , o que significa que a distância de translação é d = 4,60 m . Logo, o momento induzido pela translação da força resultante tem módulo M = d ⋅ F = 2,02   k N   ⋅ 4,60 m = 9,30   k N m .

Resposta

F R = 2,02   k N ,

M = 9,30   k N m

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