Enunciado

Para a viga de altura variável mostrada na figura, determine (a) a seção transversal na qual ocorre a tensão normal máxima e (b) a maior força concentrada P que pode ser aplicada, sabendo que σ a d m = 165   M P a .

Passo 1

Eaee galera, beleza? Pra resolver esse exercício, vamos primeiro determinar as reações nos apoios A e B, depois disso vamos escrever uma expressão para o momento na viga. Feito isso, o próximo passo é escrever a equação para o módulo da seção, que irá variar com x, já que a altura é variável. Depois teremos todas as informações para poder escrever a tensão normal. Com a equação da tensão, iremos deriva-la e igualar ela a zero para encontrar o ponto de tensão máxima, depois disso poderemos encontrar a maior força concentrada P que pode ser aplicada. Então vamos lá!

Passo 2

Tá legal, nesse caso, como o carregamento é simétrico, temos que as reações nos apoios A e B são iguais a metade da força localizada P, ou seja:

A y = B y = P 2

Agora, para encontrar a equação do momento na viga, vamos desenhar uma seção de comprimento x < 0,762   m , onde teremos:

Agora, para esse DCL, vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, para encontrar uma expressão para o momento M, então teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

- A y x + M = 0 → M = P x 2

Passo 3

Agora nós vamos escrever a expressão para a altura da seção da viga, que será dada por:

h = 0,1016 + 0,2032 - 0,1016 0,762 x → h = 0,1016 + 0,133 x

Agora, lembrando que o módulo de resistência W para uma seção transversal retangular é dado por:

W = b h 2 6

Substituindo a expressão que encontramos para a altura da viga, teremos:

W = b 0,1016 + 0,133 x 2 6

Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:

W = M σ → σ = M W

Então, substituindo as expressões encontradas para M e W, teremos:

σ = P x 2 b 0,1016 + 0,133 x 2 6 → σ = 3 P x b 0,1016 + 0,133 x 2

Passo 4

Agora nós vamos derivar a expressão encontrada para a tensão e igualar ela a zero para encontrar o ponto de tensão máxima, então lembrando da regra do produto e da divisão para a derivada, teremos:

d σ d x = 3 P b . 0,1016 + 0,133 x 2 - 2 0,133 0,1016 + 0,133 x x 0,1016 + 0,133 x 4

d σ d x = 3 P b . 0,1016 + 0,133 x - 0,266 x 0,1016 + 0,133 x 4

Agora, igualando essa expressão a zero e isolando x, teremos:

3 P b . 0,1016 + 0,133 x - 0,266 x 0,1016 + 0,133 x 4 = 0

0,1016 + 0,133 x - 0,266 x = 0

x = 0,763   m

Belezaa! Bora pra letra (b) agora.

Passo 5

Para resolver a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a tensão em função da posição x, onde temos:

σ = 3 P x b 0,1016 + 0,133 x 2

Isolando P dessa equação e substituindo os valores conhecidos, junto com a tensão admissível, teremos:

P = σ b 0,1016 + 0,133 x 2 3 x = 165.10 6 0,01905 0,1016 + 0,133 0,763 2 3 0,763

P = 56,6   k N . m

Resposta

a :   x = 0,763 m

b :   P = 56,6   k N . m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que a tensão normal admissível para o aço utilizado é 160M P a , escolha a viga com seção em perfil de mesa larga mais econômica que suporta o carregamento dado.
Sabendo que a tensão normal admissível para o aço utilizado é 160M P a , escolha a viga com seção em perfil de mesa larga mais econômica que suporta o carregamento dado.
Uma força uniformemente distribuída de 66k N / m dever ser suportada sobre o vão de 6m mostrado na figura. Sabendo que a tensão normal admissível para o aço utilizado é de 140M P a , determine ( a ) o
Para a viga de altura variável mostrada na figura, determine ( a ) a seção transversal na qual ocorre a tensão normal máxima e ( b ) a maior força distribuída w que pode ser aplicada, sabendo que σ a
Considerando que os eixos dianteiro e traseiro permanceçam na mesma relação do caminhão do problema 5.96 , determine qual caminhão mais pesado poderia passar com segurança sobre a ponte projetada no p