Enunciado

Resolva os Problemas 7.5 e 7.9 usando o círculo de Mohr

Passo 1

Beleza! Através do estado de tensões que foi dado no enunciado, conseguimos esboçar o círculo de Mohr para esse estado. A partir do círculo, podemos encontrar a inclinação dos planos principais e suas tensões.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar escrevendo as tensões que temos para o nosso elemento diferencial, onde teremos:

σ x = - 60   M P a

σ y = - 40   M P a

τ x y = 35   M P a

Agora, calculando a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

σ m e d = - 60 + - 40 2 → σ m e d = - 50   M P a

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : σ x ,   - τ x y = - 60 ,   - 35   M P a

Y : σ y ,   τ x y = - 40 ,   35   M P a

C : σ m e d ,   0 = - 50 ,   0   M P a

Agora, sabemos que uma das direções principais será dada pela seguinte equação:

t g   2 θ P = 2 τ x y σ x - σ y = 2 35 60 - - 40 → θ P = - 37,03 °

Agora, sabemos que a outra direção principal fica a 90° de rotação no elemento diferencial, ou seja, a 180° de rotação no círculo de Mohr, então a outra direção principal será:

θ P 2 = - 37,03 ° + 90 ° → θ P 2 = 52,97 °

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (b) do exercício 7.5. Nesse caso, vamos calcular o raio do círculo através da fórmula que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = - 60 - - 40 2 2 + 35 2 → R = 36,4   M P a

Com isso podemos encontrar as tensões principais, que são dadas através de:

σ m a x = σ m e d + R = - 50 + 36,4 → σ m a x = - 13,6   M P a

σ m i n = σ m e d - R = - 50 - 36,4 → σ m i n = - 86,4   M P a

Beleza!! Fechamos o exercício 7.5. Vamos agora resolver o 7.9.

Passo 4

Agora podemos encontrar a inclinação dos planos de cisalhamento máximo pedido na letra (a), lembrando que eles estão sempre a 45° de inclinação com relação ao plano principal, teremos:

θ D = θ P + 45 °

θ E = θ P 2 + 45 °

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

θ D = - 37,03 ° + 45 ° → θ D = 7,97 °

θ E = 52,97 ° + 45 ° → θ E = 97,97 °

Agora, para a letra (b) do exercício 7.9, nós sabemos que a tensão máxima de cisalhamento será o próprio raio do círculo de Mohr, ou seja:

τ m a x = R → τ m a x = 36,4   M P a

E, sabemos que nesse ponto, estamos no centro do círculo, então a nossa tensão normal correspondente é igual a tensão média, então teremos:

σ m a x = σ m e d → σ m a x = - 50   M P a

Resposta

7.5   a :   θ P = - 37,03 ° ;   θ P 2 = 52,97 °

7.5   b :   σ m a x = - 13,6   M P a ;   σ m i n = - 86,4   M P a

7.9   a :   θ D = 7,97 ° ;   θ E = 97,97 °

7.9   b :   σ m a x = - 50   M P a

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61. Resolva o Problema 9.11 usando o círculo de Mohr.
Para o estado de tensões mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) σ z = + 4k s i , (b) σ z = - 4k s i , (c) σ z = 0 .
Para o estado de tensão mostrado na figura, determine o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é (a) 60 MPa, (b) 78 MPa.
O estado plano de tensões mostrado ocorre em um componente de máquina feito de aço com σ E = 206,9M P a . Utilizando o critério da máxima energia de distorção, determine se o escoamento ocorrerá quand