Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar a localização e a intensidade o máximo momento fletor na viga e a máxima tensão normal devido à flexão.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se). Vamos representar A x e A y as componentes das reações em A e B y a componente da reação em B.

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta A x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = A y - 60 - 60 - ( 4 0 × 4,5 ) + B y = 0

A y + B y = 300   k N

Agora vamos calcular o momento no ponto A:

∑ M A = 0

∑ M A = 60 × 1,8 + 60 × 3,6 + 40 × 4,5 × 4 , 5 2 - B y × 4 , 5 = 0

B y = 162   k N

Logo substituindo na equação anterior:

A y = 300 - 162 = 138   k N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 4 0

Perceba que o carregamento dessa viga é constante!

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x     d x

V x = - ∫ 4 0     d x

V x = - 4 0 x + C

Agora a gente tem que achar a constante C , que vai ser igual às forças pontuais aplicadas. No caso temos a reação em A e a força pontual em C e D.

C = 138 - 60 × x - 1 , 8 0 - 60 × x - 3,6 0

V x = - 40 x + 138 - 60 × x - 1,8 0 - 60 × x - 3,6 0

Reorganizando:

V x = 138 - 40 x - 60 × x - 1,8 0 - 60 × x - 3,6 0

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x d x

M x = ∫ 138 - 40 x - 60 × x - 1,8 0 - 60 × x - 3,6 0   d x

M x = 138 x - 2 0 x 2 - 60 × x - 1,8 1 - 60 × x - 3,6 1 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro que não existe em nenhum ponto logo:

C = 0

M x = 138 x - 20 x 2 - 60 × x - 1,8 1 - 60 × x - 3,6 1

Resposta

a)

V x = 138 - 40 x - 60 × x - 1,8 0 - 60 × x - 3,6 0

M x = 138 x - 20 x 2 - 60 × x - 1,8 1 - 60 × x - 3,6 1

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