Enunciado

Uma viga com a seção transversal mostrada está submetida a um momento M 0 , que atua em um plano vertical. Determinar o maior valor permissível do momento fletor M 0 , se a máxima tensão na viga não exceder a 100   M P a . Dados: I y = I z = b 4 / 36 e I y z = b 4 / 72

Passo 1

Como a figura é simétrica, a gente vê que um dos eixos principais vai estar no eixo de simetria. E por ter a área da figura espalhada mais longe dele, sabemos que ele vai ser o eixo de maior momento de inércia v .

O ângulo entre o eixo z e o eixo de maior momento de inércia v é:

θ m = 45 °

Temos isso:

Bora achar o maior momento M 0 que essa viga aguenta!

Passo 2

Pelas fórmulinhas dos dados a gente pode calcular os momentos de inércia:

b = 0,09   m

I y = I z = 0,09 4 36 = 1,8225 ⋅ 10 - 6   m 4 ,     I y z = 0,09 4 72 = 9,1125 ⋅ 10 - 7   m 4

Como a gente já sabe θ m e sua orientação, só vamos usar as fórmulas do Círculo de Mohr para conseguir os momentos de inércia dos eixos principais:

d = I z - I y 2 = 0

R = d 2 + I y z 2 = 9,1125 ⋅ 10 - 7   m 4

I v = I m á x = I y + I z 2 + R = 2,73375 ⋅ 10 - 6   m 4

I u = I m í n = I y + I z 2 - R = 9,1125 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 3

Agora a gente tem que descobrir onde é a linha neutra. Isso porque a tensão máxima ocorre nos pontos mais distantes dela. A gente descobre isso pela fórmulinha:

t g   ϕ = I v I u   t g   θ m

Onde ϕ é o ângulo entre a linha neutra e o eixo v . Substituindo os nossos dados:

t g   ϕ = 2,73375 ⋅ 10 - 6 9,1125 ⋅ 10 - 7   t g   45 °

ϕ = 71,56 °

Nossa linha neutra está nessa posição:

Vemos que os pontos mais distantes da nossa linha neutra são A   e B . Eles terão as tensões máximas.

Passo 4

Vamos usar a relação de tensão nesses pontos, para descobrir o momento máximo em cada um. Ela vai ter essa carinha:

σ P = - M v U P I v + M u V P I u

Vamos projetar o nosso momento M 0 , que está na direção do eixo z , nos eixos principais:

M v = M 0 cos ⁡ θ m = M 0 cos ⁡ 45 ° ,     M u = M 0   s e n   θ m = M 0   s e n   45 °

E achar U B , V B , U A e V A . A gente sabe que o centroide do triângulo fica a um terço das bases, então:

U B = z B   s e n   θ m - y B cos ⁡ θ m = 0,03   s e n   45 ° - 0,03 cos ⁡ 45 ° = 0  

V B = z B   c o s   θ m + y B sen ⁡ θ m = 0,0 3   c o s   45 ° + 0,0 3 sen ⁡ 45 ° = 0,04242   m

U A = z A   s e n   θ m + y A cos ⁡ θ m = 0,03   s e n   45 ° + 0,06 cos ⁡ 45 ° = 0,06363   m  

V A = z A   c o s   θ m - y A sen ⁡ θ m = 0,03   c o s   45 ° - 0,0 6 sen ⁡ 45 ° = - 0,02121   m

Passo 5

O enunciado diz que:

σ m á x = 100   M P a = 100 ⋅ 10 6   M P a

Como no ponto A temos compressão:

σ m á x A = - 100   M P a = - 100 ⋅ 10 6   M P a

σ A = - M v U A I v + M u V A I u

- 100 ⋅ 10 6 = - ( M 0 cos ⁡ 45 ° ) ⋅ 0,06363 2,73375 ⋅ 10 - 6   + M 0   s e n   45 ° ⋅ ( - 0,02121 ) 9,1125 ⋅ 10 - 7

M 0 = 3,04   k N ⋅ m

Fazendo o mesmo para B , sendo que ele é um ponto de tração:

σ B = - M v U B I v + M u V B I u

100 ⋅ 10 6 = - ( M 0 cos ⁡ 45 ° ) ⋅ 0 2,73375 ⋅ 10 - 6   + M 0   s e n   45 ° ⋅ ( 0,04242 ) 9,1125 ⋅ 10 - 7

M 0 = 3,04   k N ⋅ m

Como os dois deram o mesmo momento, a gente diz que esse será nosso momento máximo. Ufa!

Resposta

M 0 = 3,04   k N ⋅ m

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