Enunciado

A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com tensão de flexão admissível σ a d m =   6,5 MPa e tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 500   k P a . Determine as dimensões da viga se ela tiver de ser retangular e apresentar relação altura/largura de 1,25.

Passo 1

Fala aí galera. Queremos dimensionar essa viga. Para isso, precisamos achar onde os esforços nela são máximos.

O primeiro passo deste problema é determinar as reações de apoio. Percebe que nossa estrutura e o carregamento s]ao simétricos.

A carga externa nela é

P = 8 2 + 4 + 2 = 64   k N

Por simetria, sabemos que as reações serão iguais e serão metade da carga externa. Então nossas reações são:

R 1 = R 2 = 32 k N

Passo 2

Vamos fazer os diagramas para determinarmos os esforços máximos atuantes. A gente pode usar o método gráfico da “viagem do cortante” para achar o diagrama do cortante.

Como fuciona? A gente vai começar do zero, descer A 1 até o ponto onde x = 2 m , mas através de uma reta inclinada (por causa do carregamento distribuído).

Em x = 2 , a gente sobe(sentido da força) reto o valor de 32 k N (a força nesse ponto). Depois dessa a gente desce o valor da área A 2 , até o ponto onde x = 6   m . Usamos uma reta inclinada novamente.

Nesse ponto a gente sobe 36   k N de novo. E volta a descer o valor de A 3 através de uma reta inclinada até o ponto onde x = 8   m . Esse é o diagrama de cortante:

Vemos que o cortante máximo é

V m á x = 16 k N

Passo 3

Para o diagrama dos momentos, nós calculamos o momento nos pontos críticos(extremidades e apoios). E ligamos esses pontos que achar por parábolas porque temos um carregamento distribuído.

Para saber a concavidade da parábola, vemos se a reta do cortante é crescente. Se for, a concavidade é para cima. Se não, a concavidade é para baixo.

Como aqui a gente usa a convenção de colocar o positivo do diagrama de momento na parte de baixo, para verificar essa questão da concavidade, cê olha para ele de cabeça para baixo haha Mas se você coloca a parte positiva em cima mesmo, fica tranquilo de ver.

O diagrama de momento fica:

Pelo diagrama, podemos ver que o momento máximo é

M m á x = 16 k N m

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da flexão:

S r e q = M m á x σ a d m = 0,00246154

Mas temos também que:

S r e q = I c

Substituindo isso ali em cima:

I c = M m á x σ a d m = 0,00246154

Logo

I c = 0,00246154

Passo 5

Vamos considerar uma viga de largura b e altura 1,25 b , porque o enunciado diz que a razão entre altura e largura é 1,25 .

c é a metade da altura da seção, onde ocorre o momento máximo em relação a seção:

c = 1,25 b 2

E I é o momento de inércia da seção retangular:

I = 1,25 b 3   ( b ) 12

Substituindo o momento de inércia e o valor de c na nossa equação do passo anterior:

I c = 0,00246154

1,25 b 3   b 12 1,25 b 2 = 0,00246154

E como a gente quer as dimensões da seção da viga, a gente pode isolar b :

1,25 2 b 3 6 = 0,00246154

b = 211 m m

A altura da seção é 1,25b, logo:

h = 1,25 b = 264 m m

Passo 6

Vamos agora verificar se a tensão não ultrapassa a admissível para o cisalhamento. Vamos usar:

τ = V Q I t

I é o momento de inércia:

I = 1,25 b 3   ( b ) 12

t = b é a largura da seção, V é o cortante máximo e Q é o momento estático da metade da nossa seção, isso porque o cisalhamento máximo na seção ocorre na metade dela. Aí Q é dado pelo produto entre metade da área da seção e um quarto da altura da seção:

Q = A s e ç ã o 2 h 4 = b 1,25 b 2 1,25 b 4

Q = 1,25 2 b 3 8

Calculando cada uma dessas coisinhas sabendo que b = 211   m m = 0,211   m e substituindo na fórmulinha, a gente acha:

τ = V Q I t

τ = 16 10 3 1,25 2 b 3 8 1,25 b 3   b 12 b

τ = 24 10 3 1,25 b 2 = 24 10 3 1,25 0,211 2

τ = 4 31,2 k P a

Logo, está ok, porque essa tensão é menor que a admissível de cisalhamento τ a d m = 500   k P a .

Resposta

b = 211 m m

h = 264 m m

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