Enunciado

Uma viga está sujeita ao carregamento variável mostrado. Calcule as reações de suporte em A e B

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é determinar os coeficientes da função de carregamento

Função de carga:

w = w 0 - k x 3

Podemos notar que existem dois coeficientes desconhecidos, então precisaremos escrever duas equações para determiná-los

Em x = 0, a intensidade é w = 200, então vamos colocar esses valores na função

200 = w 0 - k ⋅ 0 3   ⇒   w 0 = 20 0

Em x = 20, a intensidade é w = 100, então vamos colocar esses valores na função

100 = w 0 - k ⋅ 20 3

Substitua w 0 por 200

100 = 200 - k ⋅ 20 3 ⇒ k = 200 - 100 20 3 = 0.012 5

Como determinamos os coeficientes w 0 e k, podemos escrever a função de carregamento como:

w = 200 - 0.0125 x 3

Passo 2

Uma vez que a intensidade da carga é igual à área sob a curva, determinaremos o R resultante integrando a função parabólica ao longo do intervalo: [0≤x≤20]

R = ∫ 0 20   200 - 0.0125 x 3 d x

Integre o lado direito da equação em relação a dx

R = 200 x - 0.0125 x 4 4 0 20

Substitua x por 20

R = 200 ⋅ 20 - 0.0125 20 4 4 R = 3500 l b

Uma vez que a resultante atua no centróide da área, podemos calcular a distância do eixo W como:

x - = 1 R ∫ 0 20   x 200 - 0.0125 x 3 d x x - = 1 3500 ∫ 0 20   200 x - 0.0125 x 4 d x

Integrando o lado direito da reação com relação a dx

x - = 1 3500 200 x 2 2 - 0.0125 x 5 5 0 20

Substitua x por 20

x - = 1 3500 200 ⋅ 20 2 2 - 0.0125 20 5 5 x - = 9.143 f t

Agora vamos desenhar o diagrama de corpo livre da viga com a carga distribuída substituída pelo R resultante

Passo 3

Equacionando a soma das forças na direção x a zero, determinaremos a força de reação Ax

∑ F x = 0

A x = 0

Ao igualar o momento sobre ponto A a zero, podemos determinar a força de reação By

∑ M A = 0

9.143 ⋅ 3500 - 20 B y = 0

Podemos expressar By como

B y = 9.143 ⋅ 3500 20

B y = 1600 l b

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, determinaremos a força de reação Ay

∑ F y = 0

A y + B y - R = 0

Substitua R e By por seus valores

A y + 1600 - 3500 = 0 A y - 1900 = 0

A y = 1900 l b

Resposta

A y = 1900 l b B y = 1600 l b

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