Enunciado

O virabrequim está sujeito a um torque M = 75 N ⋅ m . Determine a força compressiva vertical F   aplicada ao pistão para o equilíbrio quando θ = 60 ° .

Passo 1

Fala ai galerinha bonita, tudo beleza?

Nesse exercício aqui a gente quer encontrar qual a força P necessária para manter o virabrequim em equilíbrio dado um ângulo θ = 60 ° e um momento binário M = 75   N /m .

Iradoso, então podemos usar os conceitos de trabalho virtual pra ajudar a gente nessa tarefa. Vamos ter que:

δ U = 0

P δ y C - M δ θ = 0

Pra isso vamos precisar encontrar a distância y C e distância virtual δ y C que P atua:

Bora lá encontrar esse danadinho!

Passo 2

Como conhecemos dois lados e um ângulo, podemos usar a lei dos cossenos, de modo que:

125 2 = y C 2 + 75 2 - 2 75 y C cos ⁡ ( 90 ° - θ )  

E como cos ⁡ 90 ° - θ = sen ⁡ θ , vamos ter que:

y C 2 - 2 75 y C sen ⁡ θ + 75 2 - 125 2 = 0

y C 2 - 150 y C sen ⁡ θ - 10000 = 0

Iradoso, agora se a gente derivar isso implicitamente, vamos obter:

2 y C δ y C - 150 δ y C sen ⁡ θ - 150 y C cos ⁡ θ δ θ = 0

Isolando δ y C :

δ y C 2 y C - 150 sen ⁡ θ = 150 y C cos ⁡ θ δ θ

δ y C = 150 y C cos ⁡ θ 2 y C - 150 sen ⁡ θ δ θ

Passo 3

Show de bola, então se a gente substituir na nossa equação do trabalho virtual, vamos obter que:

P δ y C - M δ θ = 0

P 150 y C cos ⁡ θ 2 y C - 150 sen ⁡ θ δ θ - M δ θ = 0

De modo que:

P 150 y C cos ⁡ θ 2 y C - 150 sen ⁡ θ - M = 0

P = M 2 y C - 150 sen ⁡ θ 150 y C cos ⁡ θ

Então em θ = 60 ° , se a gente aplicar na equação que conseguimos a partir da lei dos cossenos:

y C 2 - 150 y C sen ⁡ θ - 10000 = 0

y C 2 - 150 y C sen ⁡ 60 ° - 10000 = 0

y C 2 - 75 3 y C - 10000 = 0

Vamos obter uma equação do segundo grau, cujo a única raiz positiva vai ser:

y C = 184,2   mm

E como temos M = 75   N/m , passando para mm pra não ter unidade diferente nos cálculos, teremos M = 75   000   N/mm , de modo que P será:

P = 75   000 2 184,2 - 150 sen ⁡ 60 ° 150 184,2 cos ⁡ 60 °

P = 1295   N

Resposta

P = 1295   N

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