Teoria Completa
Introdução
Vamos dizer que fomos contratados para projetar um fone de ouvido que não quebra o tempo todo...
Descobrimos que quando as pessoas usam fones de ouvido, elas tracionam o cabo deles com forças de até .
Então temos que projetar o cabo principal do fone de ouvido para aguentar essa carga:
Vamos pensar... Têm duas formas que esse cabo pode falhar nessas condições:
- A tensão normal média no cabo pode ultrapassar a tensão normal de falha do material , fazendo o cabo se romper ou se deformar irreversivelmente;
- A tensão cisalhante média na cola que segura o cabo em seu lugar pode ultrapassar a tensão cisalhante de falha da cola , fazendo a cola se soltar;
Então sabemos que para que o cabo não falhe, é necessário que:
Mas tem um problema: Não adianta só projetar o cabo para não falhar em condições de uso.
Se fizermos só isso, qualquer forcinha a mais que vai danificar o cabo já que quando a força é de as tensões nos materiais já estão próximas das tensões de falha.
Queremos projetar um cabo que nunca quebra. Um cabo que resiste forças muito maiores que . Um cabo que não tem risco de falhar em condições de uso.
Então como fazemos isso? Como projetamos peças para ficarem longe das tensões de falha?
Fator de Segurança
A resposta está em dividir as tensões de falha e por fatores (ou coeficientes) de segurança , maiores ou iguais a :
Por exemplo:
Se usarmos no nosso cabo um fator de segurança para tensão normal , as cargas esperadas de até vão gerar tensões que só atingem da tensão de falha .
Para atingir esse fator se segurança, precisamos:
- Adquirir um material com uma tensão de falha 4 vezes maior;
- Ou dimensionar a peça para ter uma área de seção 4 vezes maior.
Fazer uma dessas mudanças custa dinheiro, mas é como um investimento em segurança: cargas imprevistas até vezes maiores podem ser aplicadas sem fazer o cabo falhar.
Tensão Admissível e Método de Resolução de Exercícios
Quando fazemos essa divisão das tensões de falha pelos fatores de segurança, chamamos os resultados de tensões admissíveis e :
De tal forma que o projeto de peças é feito com as expressões:
Tendo tudo isso em mente, exercícios com tensão admissível ou fator de segurança vão sempre envolver os três passos à seguir:
- Calcular o valor das tensões admissíveis e ;
- Encontrar os valores máximos na peça das tensões normal ou cisalhante ;
- E, finalmente, aplicar as condições e .
Exercício Resolvido #1
Calcular o diâmetro de um tirante que sustente, com segurança, a carga descrita no esquema abaixo. O material do tirante tem limite de escoamento a tração de .
Vamos utilizar como coeficiente de segurança.
Passo 1
O tirante está sendo tracionado por uma carga :
Nosso objetivo nesse exercício é calcular o diâmetro do tirante para que essa carga não gere uma tensão normal média maior que a tensão normal admissível :
Essa é a nossa condição de projeto.
Se calcularmos os valores de (em função do diâmetro do tirante) e de e substituirmos esses valores nessa expressão, poderemos isolar o diâmetro e descobrir o seu valor.
Para calcular a tensão normal média e a tensão normal admissível , vamos usar as suas fórmulas:
Do enunciado do exercício, sabemos que:
- O material do tirante falha por escoamento (se deforma irreversivelmente) quando a tensão normal no tirante atinge a tensão normal de falha ;
- E que deve ser usando um fator de segurança nesse projeto: .
Passo 2
Vamos começar calculando a tensão normal média :
Como o tirante está sob tração pura, a força normal interna vai ser igual à intensidade dessa tração.
Por outro lado, a área da seção transversal do tirante é calculada em função de seu diâmetro através da fórmula da área do círculo .
Substituindo esses valores na equação da tensão normal média, temos:
Como :
Passo 3
Agora, vamos calcular a tensão normal admissível :
Substituindo os valores e :
Passo 4
Aplicando a condição de projeto:
Substituindo os valores encontrados:
Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:
Espelhando a expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:
Calculando a expressão à direita, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #2
O elemento está sujeito a uma força de compressão de . Se e forem feitos de madeira e tiverem de espessura, determine, com aproximação de , a menor dimensão do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda .
Passo 1
O que está acontecendo?
A componente vertical da força de vai ser transmitida até o apoio em , gerando uma força cortante nesse apoio.
Para calcular essa força cortante , vamos ter que calcular o valor da componente vertical da força de e fazer uma análise de esforços internos na seção entre o apoio e o pedaço principal da peça :
Essa força cortante vai gerar uma tensão cisalhante média no apoio. A área da seção resistente à essa tensão pode ser calculada usando a espessura e a dimensão do apoio.
E o que é que o exercício quer?
O exercício quer que a gente encontre a tensão cisalhante média em função da dimensão do apoio, para que possamos aplicar a condição de projeto:
Substituído o valor de nessa expressão, vamos poder isolar e descobrir qual deve ser o seu valor mínimo, tendo em mente que o seu valor deve ser um múltiplo de .
Passo 2
Vamos começar então calculando o valor da componente vertical da força de ...
Se observarmos o triângulo de dimensões na figura do exercício:
E observarmos o triângulo formado pela decomposição da força de em uma componente horizontal e uma componente vertical :
Podemos fazer uma semelhança de triângulos para encontrar a componente vertical .
está para a dimensão assim como está para a dimensão :
Com isso, encontramos que:
O que significa que a componente vertical vai ser:
Com essa informação em mãos, agora podemos fazer a análise dos esforços internos no apoio:
Pelo equilíbrio de forças, temos que:
O que significa que:
Passo 3
O próximo passo é encontrar a tensão cisalhante média :
A área é a área da seção transversal do apoio onde avaliamos anteriormente os esforços internos:
Essa seção é retangular, de base e altura .
Isso significa que , de tal forma que:
Passo 4
encontrado, agora podemos aplicar a condição de projeto:
Substituindo o valor de :
Como queremos encontrar o valor de , devemos isolá-lo:
Espelhando a expressão (para que ela fique mais fácil de visualizar) e substituindo os valores de , e :
Antes de calcular isso, vamos tomar cuidado com as unidades!
Como , se reescrevermos a força de como , vamos estar trabalhando só com as unidades e , o que vai facilitar nossa vida:
Calculando a expressão da direita, isso dá:
Como deve ser dado em múltiplos de , então temos que o valor mínimo de de modo que a tensão cisalhante média não exceda é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Um tubo de alumínio servindo de braço na fuselagem de um pequeno avião (veja a figura) é dimensionado para resistir uma força de compressão. O diâmetro externo do tubo é e a espessura da parede é . A tensão de escoamento para o alumínio é e a tensão última é .
Calcule a força de compressão admissível se os fatores de segurança em relação à tensão de escoamento e à tensão última são e , respectivamente.
Dica do Expert: A “tensão de escoamento” e a “tensão última” se referem a dois tipos de falha diferentes (deformação irreversível e ruptura, respectivamente) causados por tensão normal.
Vai importar para o cálculo de o tipo de falha que tiver a menor tensão normal admissível .
Passo 1
A figura do exercício nos confunde quando mostra a barra inclinada, mas isso não faz diferença! Se formos ler o enunciado, vemos que a única força nessa barra é a compressão.
Bom... O exercício quer saber qual é a força máxima de compressão que pode ser feita no tubo de forma a gerar uma tensão normal média que ainda satisfaz a condição:
Para resolver o exercício, precisamos encontrar (em função da força ) e . Substituindo esses dois valores na expressão acima, vamos poder isolar e descobrir qual é seu valor máximo.
Para encontrar a tensão normal média , vamos usar sua fórmula:
Como o tubo está sob compressão por uma força , então a força normal interna vai ser igual à .
A área da seção transversal do tubo, por sua vez, vai ser um pouco mais difícil de calcular. Ela vai ser a diferença entre a área de dois círculos, um de diâmetro e outro de diâmetro .
Do enunciado temos que e . Se chamarmos o diâmetro do círculo menor de , podemos já deixa-lo calculado:
Já para encontrar a tensão normal admissível , vamos calculá-la para os dois tipos de falha usando a fórmula:
A tensão admissível do projeto como um todo vai ser a menor tensão admissível entre os dois tipos de falha.
Isso porque se a gente garantir que a tensão não ultrapassa a menor tensão admissível, estamos garantindo também que ela não vai ultrapassar a maior tensão admissível.
Do enunciado, temos que:
- Para a falha por escoamento (deformação irreversível), e ;
- E para a falha por tensão última (ruptura), e .
Passo 2
Então vamos começar encontrando a tensão normal admissível .
Para a falha por escoamento/deformação irreversível, temos:
Substituindo os valores do enunciado:
E para a falha por tensão última/ruptura temos:
Substituindo os valores do enunciado:
Como é menor, essa vai ser a nossa tensão normal admissível:
Passo 3
Agora vamos encontrar a tensão normal média :
Como o tubo está só sob compressão por uma força de intensidade , então a força normal interna é igual à .
Quanto à área , ela é a diferença entre as áreas de dois círculos de diâmetro e :
Tirando em evidência:
Substituindo os valores encontrados na fórmula da tensão normal média:
Passo 4
Finalmente, aplicamos a condição de projeto:
Substituindo a expressão encontrada para no passo anterior:
Isolando :
Substituindo os valores , e :
Se calcularmos a expressão da direita e lembrarmos que , isso dá:
Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em para a resposta:
Resposta
Exercício Resolvido #4
A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for . Use um fator de segurança para cisalhamento .
Passo 1
O que está acontecendo?
Cada parafuso precisa transmitir metade da força total de .
Como eles estão sob cisalhamento duplo, então a força cortante interna neles vai ser igual a metade da força que eles precisam transmitir.
Isso significa que, no final das contas, a força cortante interna em cada parafuso é da força total de :
Fazer um desenho da análise de esforços internos nesses parafusos não é muito comum, mas se for preciso, pode ser feito assim:
Essa força cortante é responsável por gerar uma tensão cisalhante média nos parafusos.
O que é que o exercício quer?
O exercício quer saber qual o diâmetro dos parafusos para que essa força cortante em cada um deles não gere uma tensão cisalhante média acima de uma certa tensão admissível:
Sendo que essa tensão admissível é obtida dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura por cisalhamento ) pelo fator de segurança .
Podemos calcular dessa forma, e calcular em função do diâmetro dos parafusos.
Ao substituir esses valores na condição de projeto , vamos poder isolar o diâmetro e encontrar o seu valor mínimo.
Passo 2
Vamos começar definindo as tensões cisalhante média e cisalhante admissível.
A tensão cisalhante média em um parafuso é dada pela sua fórmula:
Podemos expressar a área da seção transversal de um parafuso como a área de um círculo em função de seu diâmetro: . Assim temos:
Já a tensão cisalhante admissível vai ser dada pela fórmula:
Passo 3
Aplicando a condição de projeto:
Substituindo as expressões encontradas:
Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:
Espelhando essa expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:
Substituindo os valores , e :
Como , podemos reescrever a força de como para que o resultado final saia mais facilmente em :
Calculando a expressão da direita, isso dá:
Assim, o diâmetro exigido é:
Resposta
Exercício Resolvido #5
As hastes e são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é . Usando um fator de segurança para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em e .