Tensão Admissível e Fator de Segurança

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que fomos contratados para projetar um fone de ouvido que não quebra o tempo todo...

Descobrimos que quando as pessoas usam fones de ouvido, elas tracionam o cabo deles com forças de até 100   N .

Então temos que projetar o cabo principal do fone de ouvido para aguentar essa carga:

Vamos pensar... Têm duas formas que esse cabo pode falhar nessas condições:

  • A tensão normal média σ no cabo pode ultrapassar a tensão normal de falha do material σ f a l h a , fazendo o cabo se romper ou se deformar irreversivelmente;
  • A tensão cisalhante média τ na cola que segura o cabo em seu lugar pode ultrapassar a tensão cisalhante de falha da cola τ f a l h a , fazendo a cola se soltar;

Então sabemos que para que o cabo não falhe, é necessário que:

σ ≤ σ f a l h a   &   τ ≤ τ f a l h a

Mas tem um problema: Não adianta só projetar o cabo para não falhar em condições de uso.

Se fizermos só isso, qualquer forcinha a mais que 100   N vai danificar o cabo já que quando a força é de 100   N as tensões nos materiais já estão próximas das tensões de falha.

Queremos projetar um cabo que nunca quebra. Um cabo que resiste forças muito maiores que 100   N . Um cabo que não tem risco de falhar em condições de uso.

Então como fazemos isso? Como projetamos peças para ficarem longe das tensões de falha?

Fator de Segurança

A resposta está em dividir as tensões de falha σ f a l h a e τ f a l h a por fatores (ou coeficientes) de segurança F S , maiores ou iguais a 1 :

σ ≤ σ f a l h a F S σ     &     τ ≤ τ f a l h a F S τ

Por exemplo:

Se usarmos no nosso cabo um fator de segurança para tensão normal F S σ = 4 , as cargas esperadas de até 100   N vão gerar tensões que só atingem ¼ da tensão de falha σ f a l h a .

Para atingir esse fator se segurança, precisamos:

  • Adquirir um material com uma tensão de falha σ f a l h a 4 vezes maior;
  • Ou dimensionar a peça para ter uma área de seção A 4 vezes maior.

Fazer uma dessas mudanças custa dinheiro, mas é como um investimento em segurança: cargas imprevistas até 4 vezes maiores podem ser aplicadas sem fazer o cabo falhar.

Tensão Admissível e Método de Resolução de Exercícios

Quando fazemos essa divisão das tensões de falha pelos fatores de segurança, chamamos os resultados de tensões admissíveis σ a d m e τ a d m :

σ f a l h a F S σ = σ a d m     &     τ f a l h a F S τ = τ a d m

De tal forma que o projeto de peças é feito com as expressões:

σ ≤ σ a d m     &     τ ≤ τ a d m

Tendo tudo isso em mente, exercícios com tensão admissível ou fator de segurança vão sempre envolver os três passos à seguir:

  • Calcular o valor das tensões admissíveis σ a d m e τ a d m ;
  • Encontrar os valores máximos na peça das tensões normal σ ou cisalhante τ ;
  • E, finalmente, aplicar as condições σ ≤ σ a d m e τ ≤ τ a d m .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 1 - Prof Rubens Hesse - IFSC - Joinville - Resistência dos Materiais - Exemplo 1

Calcular o diâmetro de um tirante que sustente, com segurança, a carga descrita no esquema abaixo. O material do tirante tem limite de escoamento a tração de 600   N / m m 2 .

Vamos utilizar 2 como coeficiente de segurança.

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Passo 1

O tirante está sendo tracionado por uma carga F :

F = 10.000   N

Nosso objetivo nesse exercício é calcular o diâmetro do tirante para que essa carga F não gere uma tensão normal média σ maior que a tensão normal admissível σ a d m :

σ ≤ σ a d m

Essa é a nossa condição de projeto.

Se calcularmos os valores de σ (em função do diâmetro d do tirante) e de σ a d m e substituirmos esses valores nessa expressão, poderemos isolar o diâmetro d e descobrir o seu valor.

Para calcular a tensão normal média σ e a tensão normal admissível σ a d m , vamos usar as suas fórmulas:

σ = N A     &     σ a d m = σ f a l h a F S

Do enunciado do exercício, sabemos que:

  • O material do tirante falha por escoamento (se deforma irreversivelmente) quando a tensão normal no tirante atinge a tensão normal de falha σ f a l h a = 600   N / m m 2 ;
  • E que deve ser usando um fator de segurança 2 nesse projeto: F S = 2 .

Passo 2

Vamos começar calculando a tensão normal média σ :

σ = N A

Como o tirante está sob tração pura, a força normal interna N vai ser igual à intensidade F dessa tração.

Por outro lado, a área A da seção transversal do tirante é calculada em função de seu diâmetro d através da fórmula da área do círculo A = π d 2 / 4 .

Substituindo esses valores na equação da tensão normal média, temos:

σ = F π d 2 4 = 4 F π d 2

Como F = 10.000   N :

σ = 4 10.000   N π d 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão normal admissível σ a d m :

σ a d m = σ f a l h a F S

Substituindo os valores σ f a l h a = 600   N / m m 2 e F S = 2 :

σ a d m = 600   N / m m 2 2 = 300   N / m m 2

Passo 4

Aplicando a condição de projeto:

σ ≤ σ a d m

Substituindo os valores encontrados:

4 10.000   N π d 2 ≤ 300   N / m m 2

Queremos encontrar d , então devemos isolá-lo:

4 10.000   N π 300   N / m m 2 ≤ d 2

Espelhando a expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:

d ≥ 4 10.000   N π 300   N / m m 2

Calculando a expressão à direita, isso dá:

d ≥ 6,51   m m

Resposta

d = 6,51   m m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 38,39-1.80.

O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4   k N . Se A e B forem feitos de madeira e tiverem 10   m m de espessura, determine, com aproximação de 5   m m , a menor dimensão h do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda τ a d m = 2,1   M P a .

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Passo 1

O que está acontecendo?

A componente vertical da força de 4   k N vai ser transmitida até o apoio em A , gerando uma força cortante V nesse apoio.

Para calcular essa força cortante V , vamos ter que calcular o valor da componente vertical da força de 4   k N e fazer uma análise de esforços internos na seção entre o apoio e o pedaço principal da peça A :

Essa força cortante V vai gerar uma tensão cisalhante média τ = V / A no apoio. A área A da seção resistente à essa tensão pode ser calculada usando a espessura e = 10   m m e a dimensão h do apoio.

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer que a gente encontre a tensão cisalhante média τ em função da dimensão h do apoio, para que possamos aplicar a condição de projeto:

τ ≤ τ a d m = 2,1   M P a

Substituído o valor de τ nessa expressão, vamos poder isolar h e descobrir qual deve ser o seu valor mínimo, tendo em mente que o seu valor deve ser um múltiplo de 5   m m .

Passo 2

Vamos começar então calculando o valor da componente vertical da força de 4   k N ...

Se observarmos o triângulo de dimensões na figura do exercício:

E observarmos o triângulo formado pela decomposição da força de 4   k N em uma componente horizontal x e uma componente vertical y :

Podemos fazer uma semelhança de triângulos para encontrar a componente vertical y .

4   k N está para a dimensão 13 assim como y está para a dimensão 5 :

Com isso, encontramos que:

4   k N 5 = ( y ) ( 13 )

O que significa que a componente vertical vai ser:

y = 5 13 ( 4   k N )

Com essa informação em mãos, agora podemos fazer a análise dos esforços internos no apoio:

Pelo equilíbrio de forças, temos que:

∑ F = V - 5 13 4   k N = 0

O que significa que:

V = 5 13 4   k N

Passo 3

O próximo passo é encontrar a tensão cisalhante média τ :

τ = V A

A área A é a área da seção transversal do apoio onde avaliamos anteriormente os esforços internos:

Essa seção é retangular, de base e e altura h .

Isso significa que A = e * h , de tal forma que:

τ = V e * h

Passo 4

τ encontrado, agora podemos aplicar a condição de projeto:

τ ≤ τ a d m

Substituindo o valor de τ :

V e * h ≤ τ a d m

Como queremos encontrar o valor de h , devemos isolá-lo:

V e * τ a d m ≤ h

Espelhando a expressão (para que ela fique mais fácil de visualizar) e substituindo os valores de V , e e τ a d m :

h ≥ 5 13 4   k N 10   m m 2,1   M P a

Antes de calcular isso, vamos tomar cuidado com as unidades!

Como M P a = N / m m 2 , se reescrevermos a força de 4   k N como 4000   N , vamos estar trabalhando só com as unidades N e m m , o que vai facilitar nossa vida:

h ≥ 5 13 4000   N 10   m m 2,1   N / m m 2

Calculando a expressão da direita, isso dá:

h ≥ 73,3   m m

Como h deve ser dado em múltiplos de 5 , então temos que o valor mínimo de h de modo que a tensão cisalhante média não exceda τ a d m = 2,1   M P a é:

Resposta

h = 75   m m

Exercício Resolvido #3

James M. Gere, Mecânica dos materiais, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, pp. 44-1.7-4.

Um tubo de alumínio servindo de braço na fuselagem de um pequeno avião (veja a figura) é dimensionado para resistir uma força de compressão. O diâmetro externo do tubo é d = 25   m m e a espessura da parede é t = 2,5   m m . A tensão de escoamento para o alumínio é σ y = 270   M P a e a tensão última é σ U = 310   M P a .

Calcule a força de compressão admissível P a d m se os fatores de segurança em relação à tensão de escoamento e à tensão última são 4 e 5 , respectivamente.

Dica do Expert: A “tensão de escoamento” e a “tensão última” se referem a dois tipos de falha diferentes (deformação irreversível e ruptura, respectivamente) causados por tensão normal.

Vai importar para o cálculo de P a d m o tipo de falha que tiver a menor tensão normal admissível σ a d m .

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Passo 1

A figura do exercício nos confunde quando mostra a barra inclinada, mas isso não faz diferença! Se formos ler o enunciado, vemos que a única força nessa barra é a compressão.

Bom... O exercício quer saber qual é a força máxima de compressão P a d m que pode ser feita no tubo de forma a gerar uma tensão normal média σ que ainda satisfaz a condição:

σ ≤ σ a d m

Para resolver o exercício, precisamos encontrar σ (em função da força P a d m ) e σ a d m . Substituindo esses dois valores na expressão acima, vamos poder isolar P a d m e descobrir qual é seu valor máximo.

Para encontrar a tensão normal média σ , vamos usar sua fórmula:

σ = N A

Como o tubo está sob compressão por uma força P a d m , então a força normal interna N vai ser igual à P a d m .

A área A da seção transversal do tubo, por sua vez, vai ser um pouco mais difícil de calcular. Ela vai ser a diferença entre a área de dois círculos, um de diâmetro d e outro de diâmetro d - 2 t .

Do enunciado temos que d = 25   m m e t = 2,5   m m . Se chamarmos o diâmetro do círculo menor de d ' , podemos já deixa-lo calculado:

d ' = d - 2 t = 20   m m

Já para encontrar a tensão normal admissível σ a d m , vamos calculá-la para os dois tipos de falha usando a fórmula:

σ a d m = σ f a l h a F S

A tensão admissível σ a d m do projeto como um todo vai ser a menor tensão admissível entre os dois tipos de falha.

Isso porque se a gente garantir que a tensão σ não ultrapassa a menor tensão admissível, estamos garantindo também que ela não vai ultrapassar a maior tensão admissível.

Do enunciado, temos que:

  • Para a falha por escoamento (deformação irreversível), σ f a l h a y = 270   M P a e F S y = 4 ;
  • E para a falha por tensão última (ruptura), σ f a l h a U = 310   M P a e F S U = 5 .

Passo 2

Então vamos começar encontrando a tensão normal admissível σ a d m .

Para a falha por escoamento/deformação irreversível, temos:

σ a d m y = σ f a l h a y F S y

Substituindo os valores do enunciado:

σ a d m y = 270   M P a 4 = 67,5   M P a

E para a falha por tensão última/ruptura temos:

σ a d m U = σ f a l h a U F S U

Substituindo os valores do enunciado:

σ a d m U = 310   M P a 5 = 62   M P a

Como σ a d m U é menor, essa vai ser a nossa tensão normal admissível:

σ a d m = 62   M P a

Passo 3

Agora vamos encontrar a tensão normal média σ :

σ = N A

Como o tubo está só sob compressão por uma força de intensidade P a d m , então a força normal interna N é igual à P a d m .

Quanto à área A , ela é a diferença entre as áreas de dois círculos de diâmetro d e d ' :

A = π d 2 4 - π d ' 2 4

Tirando π / 4 em evidência:

A =   π 4 d 2 - d ' 2

Substituindo os valores encontrados na fórmula da tensão normal média:

σ = P a d m π 4 d 2 - d ' 2

Passo 4

Finalmente, aplicamos a condição de projeto:

σ ≤ σ a d m

Substituindo a expressão encontrada para σ no passo anterior:

P a d m π 4 d 2 - d ' 2 ≤ σ a d m

Isolando P a d m :

P a d m ≤ σ a d m * π 4 d 2 - d ' 2

Substituindo os valores σ a d m = 62   M P a , d = 25   m m e d ' = 20   m m :

P a d m ≤ 62   M P a π 4 25   m m 2 - 20   m m 2

Se calcularmos a expressão da direita e lembrarmos que M P a = N / m m 2 , isso dá:

P a d m ≤ 10956   N

Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em k N para a resposta:

Resposta

P a d m = 11,0   k N

Exercício Resolvido #4

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 39-1.81.

A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for τ r u p = 350   M P a . Use um fator de segurança para cisalhamento F S = 2,5 .

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Passo 1

O que está acontecendo?

Cada parafuso precisa transmitir metade da força total de 80   k N .

Como eles estão sob cisalhamento duplo, então a força cortante interna V neles vai ser igual a metade da força que eles precisam transmitir.

Isso significa que, no final das contas, a força cortante interna em cada parafuso é ¼ da força total de 80   k N :

V = 1 4 80   k N = 20   k N

Fazer um desenho da análise de esforços internos nesses parafusos não é muito comum, mas se for preciso, pode ser feito assim:

Essa força cortante V é responsável por gerar uma tensão cisalhante média τ = V / A nos parafusos.

O que é que o exercício quer?

O exercício quer saber qual o diâmetro dos parafusos para que essa força cortante V = 20   k N em cada um deles não gere uma tensão cisalhante média τ acima de uma certa tensão admissível:

τ ≤ τ a d m

Sendo que essa tensão admissível τ a d m é obtida dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura por cisalhamento τ r u p = 350   M P a ) pelo fator de segurança F S = 2,5 .

Podemos calcular τ a d m dessa forma, e calcular τ em função do diâmetro d dos parafusos.

Ao substituir esses valores na condição de projeto τ ≤ τ a d m , vamos poder isolar o diâmetro d e encontrar o seu valor mínimo.

Passo 2

Vamos começar definindo as tensões cisalhante média e cisalhante admissível.

A tensão cisalhante média τ em um parafuso é dada pela sua fórmula:

τ = V A

Podemos expressar a área A da seção transversal de um parafuso como a área de um círculo em função de seu diâmetro: π d 2 / 4 . Assim temos:

τ = V π d 2 4 = 4 V π d 2

Já a tensão cisalhante admissível τ a d m vai ser dada pela fórmula:

τ a d m = τ r u p F S

Passo 3

Aplicando a condição de projeto:

τ ≤ τ a d m

Substituindo as expressões encontradas:

4 V π d 2 ≤ τ r u p F S

Queremos encontrar d , então devemos isolá-lo:

4 V * F S π * τ r u p ≤ d 2

Espelhando essa expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:

d ≥ 4 V * F S π * τ r u p

Substituindo os valores V = 1 / 4 80   k N = 20   k N , F S = 2,5 e τ r u p = 350   M P a :

d ≥ 4 20   k N * 2,5 π ( 350   M P a )

Como M P a = N / m m 2 , podemos reescrever a força de 20   k N como 20000   N para que o resultado final saia mais facilmente em m m :

d ≥ 4 20000   N * 2,5 π ( 350   M P a )

Calculando a expressão da direita, isso dá:

d ≥ 13,49   m m

Assim, o diâmetro d exigido é:

Resposta

d = 13,49   m m

Exercício Resolvido #5

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 39-1.82.

As hastes A B e C D são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σ r u p = 510   M P a . Usando um fator de segurança F S = 1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C .