Tensão Admissível

O tirante está sendo tracionado por uma carga :

Nosso objetivo nesse exercício é calcular o diâmetro do tirante para que essa carga não gere uma tensão normal média maior que a tensão normal admissível :

Essa é a nossa condição de projeto.

Se calcularmos os valores de (em função do diâmetro do tirante) e de e substituirmos esses valores nessa expressão, poderemos isolar o diâmetro e descobrir o seu valor.

Para calcular a tensão normal média e a tensão normal admissível , vamos usar as suas fórmulas:

Do enunciado do exercício, sabemos que:

• O material do tirante falha por escoamento (se deforma irreversivelmente) quando a tensão normal no tirante atinge a tensão normal de falha ;
• E que deve ser usando um fator de segurança nesse projeto: .

Vamos começar calculando a tensão normal média :

Como o tirante está sob tração pura, a força normal interna vai ser igual à intensidade dessa tração.

Por outro lado, a área da seção transversal do tirante é calculada em função de seu diâmetro através da fórmula da área do círculo .

Substituindo esses valores na equação da tensão normal média, temos:

Como :

Agora, vamos calcular a tensão normal admissível :

Substituindo os valores e :

Aplicando a condição de projeto:

Substituindo os valores encontrados:

Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:

Espelhando a expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:

Calculando a expressão à direita, isso dá:

O que está acontecendo?

A componente vertical da força de vai ser transmitida até o apoio em , gerando uma força cortante nesse apoio.

Para calcular essa força cortante , vamos ter que calcular o valor da componente vertical da força de e fazer uma análise de esforços internos na seção entre o apoio e o pedaço principal da peça :

Essa força cortante vai gerar uma tensão cisalhante média no apoio. A área da seção resistente à essa tensão pode ser calculada usando a espessura e a dimensão do apoio.

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer que a gente encontre a tensão cisalhante média em função da dimensão do apoio, para que possamos aplicar a condição de projeto:

Substituído o valor de nessa expressão, vamos poder isolar e descobrir qual deve ser o seu valor mínimo, tendo em mente que o seu valor deve ser um múltiplo de .

Vamos começar então calculando o valor da componente vertical da força de ...

Se observarmos o triângulo de dimensões na figura do exercício:

E observarmos o triângulo formado pela decomposição da força de em uma componente horizontal e uma componente vertical :

Podemos fazer uma semelhança de triângulos para encontrar a componente vertical .

está para a dimensão assim como está para a dimensão :

Com isso, encontramos que:

O que significa que a componente vertical vai ser:

Com essa informação em mãos, agora podemos fazer a análise dos esforços internos no apoio:

Pelo equilíbrio de forças, temos que:

O que significa que:

O próximo passo é encontrar a tensão cisalhante média :

A área é a área da seção transversal do apoio onde avaliamos anteriormente os esforços internos:

Essa seção é retangular, de base e altura .

Isso significa que , de tal forma que:

encontrado, agora podemos aplicar a condição de projeto:

Substituindo o valor de :

Como queremos encontrar o valor de , devemos isolá-lo:

Espelhando a expressão (para que ela fique mais fácil de visualizar) e substituindo os valores de , e :

Antes de calcular isso, vamos tomar cuidado com as unidades!

Como , se reescrevermos a força de como , vamos estar trabalhando só com as unidades e , o que vai facilitar nossa vida:

Calculando a expressão da direita, isso dá:

Como deve ser dado em múltiplos de , então temos que o valor mínimo de de modo que a tensão cisalhante média não exceda é:

A figura do exercício nos confunde quando mostra a barra inclinada, mas isso não faz diferença! Se formos ler o enunciado, vemos que a única força nessa barra é a compressão.

Bom... O exercício quer saber qual é a força máxima de compressão que pode ser feita no tubo de forma a gerar uma tensão normal média que ainda satisfaz a condição:

Para resolver o exercício, precisamos encontrar (em função da força ) e . Substituindo esses dois valores na expressão acima, vamos poder isolar e descobrir qual é seu valor máximo.

Para encontrar a tensão normal média , vamos usar sua fórmula:

Como o tubo está sob compressão por uma força , então a força normal interna vai ser igual à .

A área da seção transversal do tubo, por sua vez, vai ser um pouco mais difícil de calcular. Ela vai ser a diferença entre a área de dois círculos, um de diâmetro e outro de diâmetro .

Do enunciado temos que e . Se chamarmos o diâmetro do círculo menor de , podemos já deixa-lo calculado:

Já para encontrar a tensão normal admissível , vamos calculá-la para os dois tipos de falha usando a fórmula:

A tensão admissível do projeto como um todo vai ser a menor tensão admissível entre os dois tipos de falha.

Isso porque se a gente garantir que a tensão não ultrapassa a menor tensão admissível, estamos garantindo também que ela não vai ultrapassar a maior tensão admissível.

Do enunciado, temos que:

• Para a falha por escoamento (deformação irreversível), e ;
• E para a falha por tensão última (ruptura), e .

Então vamos começar encontrando a tensão normal admissível .

Para a falha por escoamento/deformação irreversível, temos:

Substituindo os valores do enunciado:

E para a falha por tensão última/ruptura temos:

Substituindo os valores do enunciado:

Como é menor, essa vai ser a nossa tensão normal admissível:

Agora vamos encontrar a tensão normal média :

Como o tubo está só sob compressão por uma força de intensidade , então a força normal interna é igual à .

Quanto à área , ela é a diferença entre as áreas de dois círculos de diâmetro e :

Tirando em evidência:

Substituindo os valores encontrados na fórmula da tensão normal média:

Finalmente, aplicamos a condição de projeto:

Substituindo a expressão encontrada para no passo anterior:

Isolando :

Substituindo os valores , e :

Se calcularmos a expressão da direita e lembrarmos que , isso dá:

Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em para a resposta:

O que está acontecendo?

Cada parafuso precisa transmitir metade da força total de .

Como eles estão sob cisalhamento duplo, então a força cortante interna neles vai ser igual a metade da força que eles precisam transmitir.

Isso significa que, no final das contas, a força cortante interna em cada parafuso é da força total de :

Fazer um desenho da análise de esforços internos nesses parafusos não é muito comum, mas se for preciso, pode ser feito assim:

Essa força cortante é responsável por gerar uma tensão cisalhante média nos parafusos.

O que é que o exercício quer?

O exercício quer saber qual o diâmetro dos parafusos para que essa força cortante em cada um deles não gere uma tensão cisalhante média acima de uma certa tensão admissível:

Sendo que essa tensão admissível é obtida dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura por cisalhamento ) pelo fator de segurança .

Podemos calcular dessa forma, e calcular em função do diâmetro dos parafusos.

Ao substituir esses valores na condição de projeto , vamos poder isolar o diâmetro e encontrar o seu valor mínimo.

Vamos começar definindo as tensões cisalhante média e cisalhante admissível.

A tensão cisalhante média em um parafuso é dada pela sua fórmula:

Podemos expressar a área da seção transversal de um parafuso como a área de um círculo em função de seu diâmetro: . Assim temos:

Já a tensão cisalhante admissível vai ser dada pela fórmula:

Aplicando a condição de projeto:

Substituindo as expressões encontradas:

Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:

Espelhando essa expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:

Substituindo os valores , e :

Como , podemos reescrever a força de como para que o resultado final saia mais facilmente em :

Calculando a expressão da direita, isso dá:

Assim, o diâmetro exigido é:

O que está acontecendo?

As hastes e estão suportando a viga , garantindo o seu equilíbrio.

Para saber a intensidade das forças de tração feitas pela viga nas hastes, e , precisamos fazer um diagrama de corpo livre da viga (como o da figura abaixo) e aplicar as equações de equilíbrio nela.

Essas forças de tração e vão gerar forças internas normais e nas hastes.

As forças normais, por sua vez, vão gerar uma tensão normal média em cada haste.

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer saber quais são os diâmetros mínimos das hastes para que as trações e não gerem tensões normais médias nelas acima da tensão normal admissível :

Como sempre, a tensão admissível é calculada dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura