Tensão Admissível e Fator de Segurança

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que fomos contratados para projetar um fone de ouvido que não quebra o tempo todo...

Descobrimos que quando as pessoas usam fones de ouvido, elas tracionam o cabo deles com forças de até 100   N .

Então temos que projetar o cabo principal do fone de ouvido para aguentar essa carga:

Vamos pensar... Têm duas formas que esse cabo pode falhar nessas condições:

  • A tensão normal média σ no cabo pode ultrapassar a tensão normal de falha do material σ f a l h a , fazendo o cabo se romper ou se deformar irreversivelmente;
  • A tensão cisalhante média τ na cola que segura o cabo em seu lugar pode ultrapassar a tensão cisalhante de falha da cola τ f a l h a , fazendo a cola se soltar;

Então sabemos que para que o cabo não falhe, é necessário que:

σ ≤ σ f a l h a   &   τ ≤ τ f a l h a

Mas tem um problema: Não adianta só projetar o cabo para não falhar em condições de uso.

Se fizermos só isso, qualquer forcinha a mais que 100   N vai danificar o cabo já que quando a força é de 100   N as tensões nos materiais já estão próximas das tensões de falha.

Queremos projetar um cabo que nunca quebra. Um cabo que resiste forças muito maiores que 100   N . Um cabo que não tem risco de falhar em condições de uso.

Então como fazemos isso? Como projetamos peças para ficarem longe das tensões de falha?

Fator de Segurança

A resposta está em dividir as tensões de falha σ f a l h a e τ f a l h a por fatores (ou coeficientes) de segurança F S , maiores ou iguais a 1 :

σ ≤ σ f a l h a F S σ     &     τ ≤ τ f a l h a F S τ

Por exemplo:

Se usarmos no nosso cabo um fator de segurança para tensão normal F S σ = 4 , as cargas esperadas de até 100   N vão gerar tensões que só atingem ¼ da tensão de falha σ f a l h a .

Para atingir esse fator se segurança, precisamos:

  • Adquirir um material com uma tensão de falha σ f a l h a 4 vezes maior;
  • Ou dimensionar a peça para ter uma área de seção A 4 vezes maior.

Fazer uma dessas mudanças custa dinheiro, mas é como um investimento em segurança: cargas imprevistas até 4 vezes maiores podem ser aplicadas sem fazer o cabo falhar.

Tensão Admissível e Método de Resolução de Exercícios

Quando fazemos essa divisão das tensões de falha pelos fatores de segurança, chamamos os resultados de tensões admissíveis σ a d m e τ a d m :

σ f a l h a F S σ = σ a d m     &     τ f a l h a F S τ = τ a d m

De tal forma que o projeto de peças é feito com as expressões:

σ ≤ σ a d m     &     τ ≤ τ a d m

Tendo tudo isso em mente, exercícios com tensão admissível ou fator de segurança vão sempre envolver os três passos à seguir:

  • Calcular o valor das tensões admissíveis σ a d m e τ a d m ;
  • Encontrar os valores máximos na peça das tensões normal σ ou cisalhante τ ;
  • E, finalmente, aplicar as condições σ ≤ σ a d m e τ ≤ τ a d m .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 1 - Prof Rubens Hesse - IFSC - Joinville - Resistência dos Materiais - Exemplo 1

Calcular o diâmetro de um tirante que sustente, com segurança, a carga descrita no esquema abaixo. O material do tirante tem limite de escoamento a tração de 600   N / m m 2 .

Vamos utilizar 2 como coeficiente de segurança.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O tirante está sendo tracionado por uma carga F :

F = 10.000   N

Nosso objetivo nesse exercício é calcular o diâmetro do tirante para que essa carga F não gere uma tensão normal média σ maior que a tensão normal admissível σ a d m :

σ ≤ σ a d m

Essa é a nossa condição de projeto.

Se calcularmos os valores de σ (em função do diâmetro d do tirante) e de σ a d m e substituirmos esses valores nessa expressão, poderemos isolar o diâmetro d e descobrir o seu valor.

Para calcular a tensão normal média σ e a tensão normal admissível σ a d m , vamos usar as suas fórmulas:

σ = N A     &     σ a d m = σ f a l h a F S

Do enunciado do exercício, sabemos que:

  • O material do tirante falha por escoamento (se deforma irreversivelmente) quando a tensão normal no tirante atinge a tensão normal de falha σ f a l h a = 600   N / m m 2 ;
  • E que deve ser usando um fator de segurança 2 nesse projeto: F S = 2 .

Passo 2

Vamos começar calculando a tensão normal média σ :

σ = N A

Como o tirante está sob tração pura, a força normal interna N vai ser igual à intensidade F dessa tração.

Por outro lado, a área A da seção transversal do tirante é calculada em função de seu diâmetro d através da fórmula da área do círculo A = π d 2 / 4 .

Substituindo esses valores na equação da tensão normal média, temos:

σ = F π d 2 4 = 4 F π d 2

Como F = 10.000   N :

σ = 4 10.000   N π d 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão normal admissível σ a d m :

σ a d m = σ f a l h a F S

Substituindo os valores σ f a l h a = 600   N / m m 2 e F S = 2 :

σ a d m = 600   N / m m 2 2 = 300   N / m m 2

Passo 4

Aplicando a condição de projeto:

σ ≤ σ a d m

Substituindo os valores encontrados:

4 10.000   N π d 2 ≤ 300   N / m m 2

Queremos encontrar d , então devemos isolá-lo:

4 10.000   N π 300   N / m m 2 ≤ d 2

Espelhando a expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:

d ≥ 4 10.000   N π 300   N / m m 2

Calculando a expressão à direita, isso dá:

d ≥ 6,51   m m

Resposta

d = 6,51   m m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 38,39-1.80.

O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4   k N . Se A e B forem feitos de madeira e tiverem 10   m m de espessura, determine, com aproximação de 5   m m , a menor dimensão h do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda τ a d m = 2,1   M P a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A componente vertical da força de 4   k N vai ser transmitida até o apoio em A , gerando uma força cortante V nesse apoio.

Para calcular essa força cortante V , vamos ter que calcular o valor da componente vertical da força de 4   k N e fazer uma análise de esforços internos na seção entre o apoio e o pedaço principal da peça A :

Essa força cortante V vai gerar uma tensão cisalhante média τ = V / A no apoio. A área A da seção resistente à essa tensão pode ser calculada usando a espessura e = 10   m m e a dimensão h do apoio.

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer que a gente encontre a tensão cisalhante média τ em função da dimensão h do apoio, para que possamos aplicar a condição de projeto:

τ ≤ τ a d m = 2,1   M P a

Substituído o valor de τ nessa expressão, vamos poder isolar h e descobrir qual deve ser o seu valor mínimo, tendo em mente que o seu valor deve ser um múltiplo de 5   m m .

Passo 2

Vamos começar então calculando o valor da componente vertical da força de 4   k N ...

Se observarmos o triângulo de dimensões na figura do exercício:

E observarmos o triângulo formado pela decomposição da força de 4   k N em uma componente horizontal x e uma componente vertical y :

Podemos fazer uma semelhança de triângulos para encontrar a componente vertical y .

4   k N está para a dimensão 13 assim como y está para a dimensão 5 :

Com isso, encontramos que:

4   k N 5 = ( y ) ( 13 )

O que significa que a componente vertical vai ser:

y = 5 13 ( 4   k N )

Com essa informação em mãos, agora podemos fazer a análise dos esforços internos no apoio:

Pelo equilíbrio de forças, temos que:

∑ F = V - 5 13 4   k N = 0

O que significa que:

V = 5 13 4   k N

Passo 3

O próximo passo é encontrar a tensão cisalhante média τ :

τ = V A

A área A é a área da seção transversal do apoio onde avaliamos anteriormente os esforços internos:

Essa seção é retangular, de base e e altura h .

Isso significa que A = e * h , de tal forma que:

τ = V e * h

Passo 4

τ encontrado, agora podemos aplicar a condição de projeto:

τ ≤ τ a d m

Substituindo o valor de τ :

V e * h ≤ τ a d m

Como queremos encontrar o valor de h , devemos isolá-lo:

V e * τ a d m ≤ h

Espelhando a expressão (para que ela fique mais fácil de visualizar) e substituindo os valores de V , e e τ a d m :

h ≥ 5 13 4   k N 10   m m 2,1   M P a

Antes de calcular isso, vamos tomar cuidado com as unidades!

Como M P a = N / m m 2 , se reescrevermos a força de 4   k N como 4000   N