Tensão Cisalhante Média e Esforço Cortante

Teoria Completa

Nesse tópico, vamos falar sobre o segundo tipo de tensão, que é a tensão de cisalhamento ou cisalhante.

Introdução

Vamos dizer que você está construindo uma gangorra. Toda gangorra tem uma articulação no meio na forma de um pino:

Esse pino está sob a ação de cargas transversais (que agem perpendicularmente ao eixo da peça), como mostra o seu diagrama de corpo livre:

Agora, qual é o valor máximo do peso P que podemos fazer nesse pino antes dele quebrar?

Para responder essa pergunta, temos que estudar as tensões no pino. (Lembra? A gente viu que as coisas quebram quando as tensões nela ultrapassam os limites do material.)

Mas não adianta calcular aqui a tensão normal média σ = N / A : As cargas nesse pino não vão gerar uma força normal N . Elas vão gerar outro tipo de força interna.

Esforço Cortante e Tensão Cisalhante

Qual é a força interna que vai aparecer nesse pino?

Lembra aí! Tem uma força interna que aparece para equilibrar a peça em situações como essa. É a força cisalhante interna V , mais conhecida como força cortante. Agora imagina que o peso da tábua vale 20   k N , cada reação vai ter 10   k N e vamos ter isso aqui:

Se a gente fizer uma seção no pino vamos ter o seguinte:

Logo, a cortante vai valer 10   k N !

Agora vamos pensar...

Se uma força normal N gera uma tensão normal, então uma força cortante V deve gerar algum outro tipo de tensão.

É aí que entra a tensão cisalhante, representada pela letra grega “tau” ( τ ):

  • Ela ainda é definida como intensidade de força por unidade de área;
  • Mas enquanto a tensão normal só depende das forças normais (perpendiculares) à seção, a cisalhante só depende das forças paralelas;

Podemos representar a tensão normal σ e a tensão cisalhante τ no nosso pino:

Fórmula da Tensão Cisalhante Média

A tensão normal média σ em uma seção é calculada dividindo a força normal N (que é a resultante de todas as forças normais à seção) pela área A da seção.

Sendo a tensão cisalhante aquela que depende das forças paralelas, então a tensão cisalhante média τ em uma seção é dada por:

τ = V A

onde:

  • V é a força cortante (que é a resultante de todas as forças paralelas à seção);
  • e A é a área da seção.

Alguns exercícios vão dizer em qual seção devemos calcular τ . Nesse caso, devemos:

  • Secionar a peça no lugar indicado para encontrar o valor de V ;
  • Usar quaisquer dimensões fornecidas para calcular A ;
  • E finalmente aplicar a fórmula τ = V / A .

Mas muitos outros exercícios vão querer que você descubra a “tensão cisalhante na peça”.

Nesses exercícios, devemos buscar analisar a força cortante V , a área A e a tensão τ na seção da peça que é mais provável de cisalhar/de se cortar.

Distribuição da Tensão Cisalhante

A distribuição da tensão cisalhante τ não é uniforme. (Diferentemente da tensão normal σ que é aproximadamente uniforme.)

Por causa disso, calcular essa tensão cisalhante média τ = V / A só é realmente apropriado para avaliar a resistência de pequenas conexões como: pinos, parafusos e superfícies coladas.

Vou mostrar um exemplo para vocês. Olha essa imagem que mostra a distribuição da tensão cisalhante ao longo de um perfil I :

Não dá para rolar uma aproximação né?

Cisalhamento Simples

Existem dois casos de cisalhamento que são muito comuns em conexões e são apelidados de cisalhamento simples e cisalhamento duplo.

Ao reconhecer um desses dois casos, você identifica o valor da força cortante V na peça sem ter que fazer uma análise de esforços internos.

Alguns professores não permitem o uso desse “atalho” nas provas, mas muitos permitem e ensinam isso em sala de aula.

Cisalhamento Simples é quando temos apenas uma superfície em contato com outra. Como uma prateleira presa à parede por um parafuso:

Geralmente é feito por parafusos, pinos e pode ser representado da seguinte maneira:

Geralmente ele é representada no 2D na seguinte forma:

Se você fizer uma análise de esforços internos no parafuso, levando em conta que uma força F é aplicada na prateleira:

Vai encontrar que:

V = F

Ou seja, a força cortante V na peça é igual à força F transmitida.

Cisalhamento Duplo

É o que acontece quando uma conexão (um pino, um parafuso ) precisa transmitir uma força F de uma peça central para duas peças laterais. Algo mais ou menos assim:

Uma análise de esforços internos nessa conexão revela que:

V = F 2

Faz sentido, né? Teremos duas superfícies de contato, assim, a minha força vai metade pra cada lado do pino ou parafuso. No 2D, isso aí:

Ou seja, a força cortante V na peça é igual à metade da força F . (O pino da nossa gangorra é um exemplo de cisalhamento duplo!)

Então se o pino da nossa gangorra tiver uma área de 25   m m 2 e sofre cisalhamento duplo, qual a tensão cisalhante à qual o pino está submetido? Se τ m á x = 250   M P a esse pino irá romper?

Vamos lá! Olhando o probleminha de novo a gente tem:

Como vimos o cortante vale 10   k N , se o problema deu a área então podemos calcular a tensão cisalhante para cisalhamento duplo:

τ = V A

Mas é cisalhamento duplo! Então a força cortante de 10   k N tem que ser dividida por 2 obtendo:

V = 10 2 = 5   k N

Agora podemos substituir:

τ = 5000 25.10 - 6 = 200   M P a

Essa é a tensão de cisalhamento a qual o pino está submetido. Como o pino suporta uma tensão máxima de 250   M P a então não haverá rompimento.

Vale observar que se fosse cisalhamento simples a tensão seria de 400   M P a , ou seja, nesse caso haveria rompimento!

Show de bola? Vamos praticar então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria.

O Dexter, mascote do Responde Aí, gosta de estudar resistência dos materiais enquanto pula de galho em galho na floresta.

Na figura abaixo, ele está se apoiando em um galho que possui uma seção transversal com área A = 4   c m 2 . Sabendo que o Dexter gera uma força cortante interna V = 200   N no galho, calcule a tensão cisalhante média τ nesse galho.

Forneça o resultado em k P a = k N / m 2 .

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Passo 1

O exercício quer saber a tensão de cisalhamento média no galho, então vamos nos lembrar de sua fórmula:

τ = V A

Já temos os valores da força cortante interna V no galho e da área A da seção transversal do galho:

V = 200   N

A = 4   c m 2

Então só precisamos aplicar a fórmula da tensão cisalhante média e prestar atenção nas unidades.

Passo 2

Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média τ :

τ = V A

Substituindo os valores de V e A :

τ = 200   N 4   c m 2

τ = 50 N c m 2

Agora precisamos converter as unidades para k P a = k N / m 2 .

Vamos pensar... Podemos substituir N por 10 - 3   k N . E como um centímetro é 0,01   m = 10 - 2   m , podemos substituir c m 2 por 10 - 4   m 2 :

τ = 50 10 - 3   k N   10 - 4   m 2

τ = 50 10 k N m 2

Fazendo a multiplicação e substituindo k N / m 2 por k P a , chegamos à resposta:

Resposta

τ = 500   k P a

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 40-1.16.

Quando a força P alcançou 8   k N , o corpo de prova de madeira mostrado na figura falhou sobre cisalhamento ao longo da superfície indicada pela linha tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média ao longo daquela superfície no instante da falha.

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Passo 1

O exercício quer saber a tensão de cisalhamento média τ na superfície indicada pela linha tracejada, que é a superfície que estava resistindo ao cisalhamento antes da peça falhar.

Para encontrar a tensão de cisalhamento média, vamos nos lembrar de sua fórmula:

τ = V A

Da fórmula, temos que para encontrar o valor de τ na superfície indicada no instante da falha, devemos encontrar primeiro:

  • A força cortante interna resultante V nessa superfície no instante da falha;
  • A área A dessa superfície.

O esforço interno V no instante da falha é igual à força P = 8   k N , como mostra o Diagrama de Corpo Livre e a análise das condições de equilíbrio na imagem abaixo:

Já a área A é retangular e pode ser calculada a partir da espessura e = 15   m m do bloco de madeira e do comprimento l = 90   m m da superfície.

Passo 2

Começando pelo cálculo da área retangular A que se encontrava sob cisalhamento até a peça falhar:

A = e * l = ( 15   m m ) ( 90   m m )

A = 1350   m m 2

Passo 3

Como já identificamos o esforço interno V = 8   k N e a área A = 1350   m m 2 , podemos substituir esses valores na fórmula da tensão cisalhante média:

τ = V A

τ = 8   k N 1350   m m 2

Para que tenhamos um resultado em M P a = N / m m 2 , podemos reescrever a força de 8   k N como 8000   N :

τ = 8 000   N 1350   m m 2 = 8000 1350   M P a

Resposta

τ = 5,93   M P a

Exercício Resolvido #3

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 20-1.

Uma placa é fixada a uma base de madeira por meio de três parafusos de diâmetro 22   m m , conforme mostra a figura. Calcular a tensão média de cisalhamento nos parafusos para uma carga P = 120   k N .

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Passo 1

Temos uma situação de cisalhamento simples, em que três parafusos iguais de diâmetro d = 22   m m estão resistindo juntos à carga P = 120   k N .

O exercício pede a tensão de cisalhamento média τ nos parafusos. que deve ser encontrada pela sua fórmula:

τ = V A

Nos resta encontrar então a força cisalhante interna V e a área da seção resistente à essa força A .

Passo 2

Podemos interpretar V como o esforço interno total, acumulado entre os três parafusos, e A como a seção resistente total, acumulada entre os três parafusos.

Se V é o esforço interno total, acumulado entre os três parafusos, ele deve resistir à toda a carga P , de tal forma que:

V = P

V = 120   k N

E quanto à área A ?

Bom, a área da seção transversal de um parafuso de diâmetro d é dada pela área de um círculo: π d 2 / 4 .

Então área A da seção resistente total, acumulada entre os três parafusos, será 3 vezes isso:

A = 3 π d 2 4

Substituindo d = 22   m m :

A = 3 π 22   m m 2 4

A = 1140,4   m m 2

Passo 3

Agora, podemos inserir os valores que encontramos para V e A na equação da tensão cisalhante média:

τ = V A

τ = 120   k N 1140,4   m m 2

Para conseguir um resultado em M P a = N / m m 2 , reescrevemos 120   k N como 120000   N :

τ = 120000   N 1140,4   m m 2 = 120000 1140,4   M P a

Resposta

τ = 105,2   M P a

Exercício Resolvido #4

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 26-1.35.

O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3   k N . Se o pino tiver diâmetro de 6   m m , determine a tensão média de cisalhamento no pino.

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Passo 1

Nesse exercício, o pino está sob a situação que chamamos de cisalhamento duplo.

Ele transmite entre as peças uma força total F = 3   k N , mas a força cortante interna V máxima a qual ele está submetido é metade dessa força:

V = F / 2 = 1,5   k N

Com esse valor de V e com a área A da seção transversal do pino (calculada a partir do diâmetro d = 6   m m ), conseguimos encontrar a tensão cisalhante média no pino:

τ = V A

E assim o exercício está resolvido.

Se for preciso, Diagramas de Corpo Livre do pino podem ser feitos para provar que V = F / 2 :

Do ponto A até o ponto B, temos F/2 para cima. Do ponto B até o ponto C, temos F/2 para baixo.

Passo 2

Vamos começar calculando a área A da seção transversal do pino.

É uma área circular e nos foi fornecido o diâmetro dela, então usamos a equação:

A = π d 2 4

Substituindo d = 6   m m :

A = π 6   m m 2 4

A = 28,3   m m 2

Passo 3

Como já temos V = 1,5   k N e A = 28,3   m m 2 , podemos aplicar a fórmula da tensão cisalhante média:

τ = V A = 1,5   k N 28,3   m m 2

Para ter resultados em M P a = N / m m 2 , reescrevemos a força de 1,5   k N como 1500   N :

τ = 1500 N   28,3   m m 2 = 1500 28,3   M P a

Resposta

τ = 53,0   M P a

Exercício Resolvido #5

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 40-1.15.

As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do projeto da junção, e sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve ser 6   m m , determine o comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento média na cola não exceda 700   k P a .

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Passo 1

As madeiras tentam cisalhar (cortar) a cola, gerando uma uma força cisalhante interna V na cola, e, consequentemente, uma tensão de cisalhamento média τ = V / A nela.

Quando τ excede 700   k P a , a cola falha e as madeiras se soltam.

Como reação ao esforço interno V que as madeiras geram na cola, a cola faz forças de mesma intensidade V nas madeiras. São essas forças que mantêm as madeiras juntas e em equilíbrio:

Como sempre, A é a seção resistente à força cisalhante.

Pensa aí! A seção da cola resistente à essas forças V é a área retangular na junção entre duas madeiras.

Essa área retangular A = b * h possui base b = 75   m m e altura h , como mostram a figura original do exercício e a figura acima, respectivamente.

Para resolver o exercício vamos ter que:

  • Calcular a força cisalhante interna V na cola;
  • Calcular a área da cola A = b * h resistente à essa força V . Essa área vai ser encontrada em função de h para evitar muitos cálculos;
  • Inserir esses valores na fórmula de tensão cisalhante média τ = V / A e aplicar a condição τ ≤ 700   k P a para encontrar o valor mínimo que h deve ter;
  • Usar a relação L = 2 h + 6   m m (retirada da figura acima) para finalmente encontrar o valor mínimo que L deve ter.

Passo 2

Para calcular a força cisalhante interna V , vamos observar o equilíbrio de uma madeira:

Todas as forças estão na vertical, então só precisamos fazer o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Como a força de 15   k N aponta para cima e as forças V apontam para baixo:

15   k N - V - V = 0

2 V = 15   k N

V = 7,5   k N

Vamos guardar esse valor!

Passo 3

Próximo passo é calcular a área A da seção resistente de cola ao esforço interno V .

Como a área é retangular:

A = b * h

Substituindo b = 75   m m :

A = 75   m m h

Passo 4

V e A calculados, hora da fórmula da tensão cisalhante média

τ = V A

Substituindo os valores encontrados para V e A :

τ = 7,5   k N 75   m m h

Lembra aí! Queremos saber qual o valor mínimo de h tal que τ ≤ 700   k P a . Então vamos aplicar essa condição:

7,5   k N 75   m m h = τ ≤ 700   k P a

7,5   k N 75   m m h ≤ 700   k P a

Isolando h :

7,5   k N 75   m m 700   k P a ≤ h

Passo 5

Pausa para observar as unidades dessa última equação:

k N m m * k P a

(Se quiser, pode fazer essa pausa em uma folha de rascunho!)

Lembra aí! Pascal ( P a ) é o mesmo que newtons por metro quadrado ( N / m 2 ).

Então podemos substituir k P a por k N / m 2 :

k N m m * k P a = k N m m k N m 2

Cortando k N com k N :

k N m m * k P a = 1 m m 1 m 2

Arrumando as unidades:

k N m m * k P a =   m 2 m m

Substituindo m por 10 3   m m :

k N m m * k P a = 10 3   m m 2 m m

  k N m m * k P a = 10 6   m m 2 m m

k N m m * k P a = 10 6   m m

Passo 6

Voltando para a nossa equação:

7,5   k N 75   m m 700   k P a ≤ h

Como k N / m m * k P a = 10 6   m m :

7,5 ( 75 ) ( 700 ) 10 6   m m ≤ h

Calculando:

143   m m ≤ h

Ou seja, o valor mínimo de h é 143   m m .

Passo 7

Agora só falta aplicar a relação L = 2 h + 6   m m , como mostra a figura:

Aplicando essa relação e substituindo o valor mínimo de h ( h = 143   m m ), encontramos o valor mínimo de L :

L = 2 h + 6   m m

L = 2 143   m m + 6   m m

Resposta

L = 292   m m

Exercício Resolvido #6

James M. Gere, Mecânica dos materiais, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, pp. 41-1.6-6-(b).

Um parafuso para finalidades especiais de diâmetro d = 12   m m passa através de um furo em uma placa de aço (veja a figura). A cabeça hexagonal do parafuso está direcionada contra a placa de aço. O raio do círculo circunscrito pelo hexágono é r = 10   m m (o que significa que cada lado do hexágono tem comprimento 10   m m ). A espessura t da cabeça do parafuso é de 6   m m e a força de tração P no parafuso é de 9,0   k N .

Determine a tensão de cisalhamento média τ m é d na cabeça do parafuso.

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Passo 1

O exercício quer saber a tensão de cisalhamento média τ m é d na cabeça do parafuso:

τ m é d = V A

Precisamos então identificar:

  • qual à a força cisalhante interna V na cabeça do parafuso;
  • e qual é a área da seção A resistente à essa força.

Para tanto, vamos visualizar um diagrama de corpo livre da cabeça de um parafuso que está sendo tracionado por uma força P :

O que está acontecendo: a placa de aço exerce uma força em volta de toda a cabeça do parafuso, de intensidade total P , para o segurar o parafuso no seu lugar.

A linha tracejada indica uma superfície cilíndrica de diâmetro d = 12   m m e altura t = 6   m m que é a seção resistente ao cisalhamento:

A figura abaixo mostra os esforços internos nessa seção:

Na prática, você não precisa fazer todos esses desenhos. O que precisamos é saber interpretar o exercício para chegar às conclusões que:

  • Para garantir o equilíbrio desse pedaço da cabeça do parafuso mostrado na última imagem, V deve ser igual à P = 9,0   k N ;
  • A área da seção resistente A é como a área da face lateral de um cilindro de diâmetro d = 12   m m e altura t = 6   m m .

A dimensão r = 10   m m fornecida pelo enunciado para os lados da cabeça hexagonal do parafuso não será utilizada pela gente nesse exercício: ela não é necessária para encontrar A , V ou τ m é d .

Passo 2

Vamos começar então calculando a área A .

Pensa aí... A área da face lateral de um cilindro é como o perímetro da base do cilindro vezes a altura do cilindro.

O perímetro de um círculo é 2 π R . Se t é a altura do cilindro, a área A fica assim:

A = 2 π R ( t )

Nós não temos o raio R da base do cilíndro, mas temos o diâmetro d = 12   m m . Como R = d / 2 :

A = 2 π d 2 ( t )

A = ( π d ) ( t )