Tensão Cisalhante Média

Teoria Completa

Nesse tópico, vamos falar sobre o segundo tipo de tensão, que é a tensão de cisalhamento ou cisalhante.

Introdução

Vamos dizer que você está construindo uma gangorra. Toda gangorra tem uma articulação no meio na forma de um pino:

Esse pino está sob a ação de cargas transversais, como mostra o seu diagrama de corpo livre:

Agora, qual é o valor máximo do peso P que podemos fazer nesse pino antes dele quebrar?

Para responder essa pergunta, temos que estudar as tensões no pino. (Lembra? A gente viu que as coisas quebram quando as tensões nela ultrapassam os limites do material.)

Mas não adianta calcular aqui a tensão normal média σ = N / A : As cargas nesse pino não vão gerar uma força normal N . Elas vão gerar outro tipo de força interna.

Esforço Cortante e Tensão Cisalhante

Qual é a força interna que vai aparecer nesse pino?

Lembra aí! Tem uma força interna que aparece para equilibrar a peça em situações como essa. É a força cisalhante interna V , mais conhecida como força cortante:

Agora vamos pensar...

Se uma força normal N gera uma tensão normal, então uma força cortante V deve gerar algum outro tipo de tensão.

É aí que entra a tensão cisalhante, representada pela letra grega “tau” ( τ ):

  • Ela ainda é definida como intensidade de força por unidade de área;
  • Mas enquanto a tensão normal só depende das forças normais (perpendiculares) à seção, a cisalhante só depende das forças paralelas;

Fórmula da Tensão Cisalhante Média

A tensão normal média σ em uma seção é calculada dividindo a força normal N (que é a resultante de todas as forças normais à seção) pela área A da seção.

Sendo a tensão cisalhante aquela que depende das forças paralelas, então a tensão cisalhante média τ em uma seção é dada por:

τ = V A

onde:

  • V é a força cortante (que é a resultante de todas as forças paralelas à seção);
  • e A é a área da seção.

Método para Resolução de Exercícios

Alguns exercícios vão dizer em qual seção devemos calcular τ . Nesse caso, devemos:

  • Secionar a peça no lugar indicado para encontrar o valor de V ;
  • Usar quaisquer dimensões fornecidas para calcular A ;
  • E finalmente aplicar a fórmula τ = V / A .

Mas muitos outros exercícios vão querer que você descubra a “tensão cisalhante na peça”.

Nesses exercícios, devemos buscar analisar a força cortante V , a área A e a tensão τ na seção da peça que é mais provável de cisalhar/de se cortar.

Distribuição da Tensão Cisalhante

A distribuição da tensão cisalhante τ o é uniforme. (Diferentemente da tensão normal σ que é aproximadamente uniforme.)

Por causa disso, calcular essa tensão cisalhante média τ = V / A só é realmente apropriado para avaliar a resistência de pequenas conexões como: pinos, parafusos e superfícies coladas.

Cisalhamento Simples e Duplo

Existem dois casos de cisalhamento que são muito comuns em conexões e são apelidados de cisalhamento simples e cisalhamento duplo.

Ao reconhecer um desses dois casos, você identifica o valor da força cortante V na peça sem ter que fazer uma análise de esforços internos.

Alguns professores não permitem o uso desse “atalho” nas provas, mas muitos permitem e ensinam isso em sala de aula.

Cisalhamento Simples

É quando temos apenas uma superfície em contato com outra. Geralmente é feito por parafusos, pinos ou algo mais ou menos assim:

Geralmente ele é representada no 2D na seguinte forma:

Se você fizer uma análise de esforços internos nessa conexão, vai encontrar que:

V = F

Ou seja, a força cortante V na peça é igual à força F transmitida.

Cisalhamento Duplo

É o que acontece quando uma conexão (um pino, um parafuso ) precisa transmitir uma força F de uma peça central para duas peças laterais. Algo mais ou menos assim:

Uma análise de esforços internos nessa conexão revela que:

V = F 2

Faz sentido, né? Teremos duas superfícies de contato, assim, a minha força vai metade pra cada lado do pino ou parafuso. No 2D, isso aí:

Ou seja, a força cortante V na peça é igual à metade da força F . (O pino da nossa gangorra é um exemplo de cisalhamento duplo!)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria.

O Dexter, mascote do Responde Aí, gosta de estudar resistência dos materiais enquanto pula de galho em galho na floresta.

Na figura abaixo, ele está se apoiando em um galho que possui uma seção transversal com área A = 4   c m 2 . Sabendo que o Dexter gera uma força cortante interna V = 200   N no galho, calcule a tensão cisalhante média τ nesse galho.

Forneça o resultado em k P a = k N / m 2 .

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Passo 1

O exercício quer saber a tensão de cisalhamento média no galho, então vamos nos lembrar de sua fórmula:

τ = V A

Já temos os valores da força cortante interna V no galho e da área A da seção transversal do galho:

V = 200   N

A = 4   c m 2

Então só precisamos aplicar a fórmula da tensão cisalhante média e prestar atenção nas unidades.

Passo 2

Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média τ :

τ = V A

Substituindo os valores de V e A :

τ = 200   N 4   c m 2

τ = 50 N c m 2

Agora precisamos converter as unidades para k P a = k N / m 2 .

Vamos pensar... Podemos substituir N por 10 - 3   k N . E como um centímetro é 0,01   m = 10 - 2   m , podemos substituir c m 2 por 10 - 4   m 2 :

τ = 50 10 - 3   k N   10 - 4   m 2

τ = 50 10 k N m 2

Fazendo a multiplicação e substituindo k N / m 2 por k P a , chegamos à resposta:

Resposta

τ = 500   k P a

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 40-1.16.

Quando a força P alcançou 8   k N , o corpo de prova de madeira mostrado na figura falhou sobre cisalhamento ao longo da superfície indicada pela linha tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média ao longo daquela superfície no instante da falha.

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Passo 1

O exercício quer saber a tensão de cisalhamento média τ na superfície indicada pela linha tracejada, que é a superfície que estava resistindo ao cisalhamento antes da peça falhar.

Para encontrar a tensão de cisalhamento média, vamos nos lembrar de sua fórmula:

τ = V A

Da fórmula, temos que para encontrar o valor de τ na superfície indicada no instante da falha, devemos encontrar primeiro:

  • A força cortante interna resultante V nessa superfície no instante da falha;
  • A área A dessa superfície.

O esforço interno V no instante da falha é igual à força P = 8   k N , como mostra o Diagrama de Corpo Livre e a análise das condições de equilíbrio na imagem abaixo:

Já a área A é retangular e pode ser calculada a partir da espessura e = 15   m m do bloco de madeira e do comprimento l = 90   m m da superfície.

Passo 2

Começando pelo cálculo da área retangular A que se encontrava sob cisalhamento até a peça falhar:

A = e * l = ( 15   m m ) ( 90   m m )

A = 1350   m m 2

Passo 3

Como já identificamos o esforço interno V = 8   k N e a área A = 1350   m m 2 , podemos substituir esses valores na fórmula da tensão cisalhante média:

τ = V A

τ = 8   k N 1350   m m 2

Para que tenhamos um resultado em M P a = N / m m 2 , podemos reescrever a força de 8   k N como 8000   N :

τ = 8 000   N 1350   m m 2 = 8000 1350   M P a

Resposta

τ = 5,93   M P a

Exercício Resolvido #3

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 20-1.

Uma placa é fixada a uma base de madeira por meio de três parafusos de diâmetro 22   m m , conforme mostra a figura. Calcular a tensão média de cisalhamento nos parafusos para uma carga P = 120   k N .

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Passo 1

Temos uma situação de cisalhamento simples, em que três parafusos iguais de diâmetro d = 22   m m estão resistindo juntos à carga P = 120   k N .

O exercício pede a tensão de cisalhamento média τ nos parafusos. que deve ser encontrada pela sua fórmula:

τ = V A

Nos resta encontrar então a força cisalhante interna V e a área da seção resistente à essa força A .

Passo 2

Podemos interpretar V como o esforço interno total, acumulado entre os três parafusos, e A como a seção resistente total, acumulada entre os três parafusos.

Se V é o esforço interno total, acumulado entre os três parafusos, ele deve resistir à toda a carga P , de tal forma que:

V = P

V = 120   k N

E quanto à área A ?

Bom, a área da seção transversal de um parafuso de diâmetro d é dada pela área de um círculo: π d 2 / 4 .

Então área A da seção resistente total, acumulada entre os três parafusos, será 3 vezes isso:

A = 3 π d 2 4

Substituindo d = 22   m m :

A = 3 π 22   m m 2 4

A = 1140,4   m m 2

Passo 3

Agora, podemos inserir os valores que encontramos para V e A na equação da tensão cisalhante média:

τ = V A

τ = 120   k N 1140,4   m m 2

Para conseguir um resultado em M P a = N / m m 2 , reescrevemos 120   k N como 120000   N :

τ = 120000   N 1140,4   m m 2 = 120000 1140,4   M P a

Resposta

τ = 105,2   M P a

Exercício Resolvido #4

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 26-1.35.

O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3   k N . Se o pino tiver diâmetro de 6   m m , determine a tensão média de cisalhamento no pino.

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Passo 1

Nesse exercício, o pino está sob a situação que chamamos de cisalhamento duplo.

Ele transmite entre as peças uma força total F = 3   k N , mas a força cortante interna V máxima a qual ele está submetido é metade dessa força:

V = F / 2 = 1,5   k N

Com esse valor de V e com a área A da seção transversal do pino (calculada a partir do diâmetro d = 6   m m ), conseguimos encontrar a tensão cisalhante média no pino:

τ = V A

E assim o exercício está resolvido.

Se for preciso, Diagramas de Corpo Livre do pino podem ser feitos para provar que V = F / 2 :

Do ponto A até o ponto B, temos F/2 para cima. Do ponto B até o ponto C, temos F/2 para baixo.

Passo 2

Vamos começar calculando a área A da seção transversal do pino.

É uma área circular e nos foi fornecido o diâmetro dela, então usamos a equação:

A = π d 2 4

Substituindo d = 6   m m :

A = π 6   m m 2 4