Tensão Normal Média

Teoria Completa

Introdução

Se lembra daqueles filmes e desenhos americanos em que as crianças tinham casas da árvore?

Não sei você, mas eu ainda sonho de vez em quando em ter uma...

Vamos dizer que você vai construir, em uma das árvores da sua faculdade, uma casa da árvore.

Quanto peso você pode apoiar no tronco da árvore até que ele quebre?

Métodos da Estática (Revisão)

Uma ideia para tentar responder essa pergunta é aplicar os métodos da estática.

Você deve ter visto um pouco disso ou em Estática (duhhh...), ou em Mecânica, ou como uma revisão na sua própria disciplina atual de Resistência dos Materiais (ResMat, MecMat ou MecSol).

Lembra aí! A partir do que vimos nessas matérias, a gente pode:

  • Fazer um DCL ou Diagrama de Corpo Livre do tronco;
  • Aplicar Equilíbrio de Forças e de Momentos nesse DCL para achar o valor de forças desconhecidas;
  • E fazer uma Análise de Esforços Internos para descobrir o valor das forças que agem dentro da madeira do tronco (como a força normal ou a força cortante.)

Então a gente pode usar os métodos da Estática/Mecânica para encontrar as forças internas numa peça ou estrutura.

No nosso caso da casa da árvore:

Vamos dizer que a resultante de todos os pesos no tronco (peso da árvore, peso da casa, etc.) é uma força P = 10   k N bem no centro do tronco.

Nesse caso, as únicas forças internas no tronco vão ser forças normais de compressão com intensidade de 10   k N :

Mas saber a intensidade dessa força de compressão não é o suficiente para conseguirmos descobrir se o tronco da árvore vai quebrar ou não.

Afinal, quando é que o tronco quebra?

A resistência do tronco a uma força não depende só da intensidade dessa força.

Na verdade, a resistência de um material a uma força depende de três fatores:

  • da intensidade da força;
  • da área da seção transversal do tronco; (Quanto maior a área, menor é a concentração de força em uma única fibra da madeira.)
  • e das propriedades mecânicas do tronco. (A madeira possui uma fibra forte ou fraca?)

Vamos ilustrar como isso funciona em um material?

Vamos dizer que você está dormindo após uma noite longa de estudos e sonha que você virou uma fibra de madeira em um tronco sob compressão:

Você e os seus vizinhos de seção transversal precisam trabalhar juntos para resistir à força de 10   k N .

Você quer fazer a sua parte. Então importa muito para você saber o quanto dessa força você vai ter que aguentar.

Isso significa que você precisa saber quanto que é a intensidade da força dividida pela área da seção em que você está.

Só assim você vai poder calcular o quanto de força você vai ter que aguentar, dependendo do seu tamanho.

Se essa intensidade da força dividida pela área da seção for grande o suficiente, ela vai superar o seu limite de resistência (a sua propriedade mecânica).

Nesse caso, você e seus vizinhos vão se deformar irreversivelmente. O tronco pode se deformar bastante vindo até a quebrar, ou seja, ele falha!

Conceito de Tensão

Essa intensidade da força dividida pela área da seção (ou só “intensidade de força por unidade de área”) é o que chamamos de tensão e representamos com a letra grega σ (sigma).

Usando nosso exemplo do tronco, se dissermos que ele possui uma seção transversal com 200   c m 2 de área, podemos visualizar a tensão em uma seção aleatória do tronco assim:

Tensão Normal

A tensão desse exemplo do tronco é o que chamamos de uma tensão normal.

Ela é chamada assim não porque ela é comum, mas sim porque ela só depende das forças normais (perpendiculares) à superfície.

Queremos poder estudar as tensões normais em qualquer estrutura. Então vamos aplicar agora o que vimos nesse exemplo do tronco em um caso geral:

Carregamento Axial e a Tensão Normal

Assim como esse tronco, várias barras e hastes no mundo só recebem cargas axiais: forças de tração ou compressão que agem na direção do comprimento da peça.

Agora lembra aí! Da estática, sabemos:

  • Que essas cargas axiais vão gerar uma força interna normal N ao longo dessas peças;
  • E que podemos calcular N fazendo uma análise de esforços internos.

E a partir do que acabamos de aprender, sabemos:

  • Que para avaliar a resistência da peça às forças internas que agem nela, precisamos estudar as tensões (intensidade de força por unid. de área) que essas forças geram;
  • E que a tensão normal σ só depende da força normal resultante ( N ), e da área ( A ) da seção transversal da peça.

Dessas informações, conseguimos uma fórmula para a tensão normal: é só dividirmos N por A .

No meu desenho do tronco ali em cima, dá pra ver que as forças tem a mesma intensidade? Isso normalmente não ocorre. Quando essa situação linda de mesma intensidade ocorre chamamos de distribuição uniforme de tensão.

Mas e quando isso não ocorre? O que a gente faz, jovem gafanhoto, é dividir N por A do mesmo jeito, mas não vamos chamar de tensão normal e sim de tensão normal média na seção transversal.

Fórmula da Tensão Normal Média

A partir do que acabamos de ver, concluímos que, a tensão normal média σ em qualquer ponto de uma seção transversal é dada por:

σ = N A

em que:

  • N é a força normal resultante, calculada por uma análise de esforços internos;
  • e A é a área da seção transversal, calculada a partir de dimensões da peça como o seu diâmetro, por exemplo.

Duas Observações Finais

1. A tabela abaixo reúne as principais unidades para tensão. Todas são comuns, mas, no geral, às mais utilizadas em Resistência dos Materiais são k P a e M P a .

2. Tanto N quanto σ são positivos ( + ) em situações de tração e negativos ( - ) em situações de compressão.

Mais tarde, essa diferenciação vai ser importante. Por enquanto, os gabaritos dos exercícios vão ser sempre positivos ( + ) já que o que importa é a intensidade de σ .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

O Dexter, mascote do Responde Aí, possui massa de 20 k g . Ele estava de bobeira por aí quando de repente viu um caixote, também de bobeira. O Dexter, hiperativo, nem pensou duas vezes e pulou em cima do caixote.

A seção transversal do caixote é quadrada e possui 50 c m de lado, como mostra a figura abaixo:

Qual a tensão normal média, em N / m 2 , exercida pelo Dexter no caixote? Considere g = 9,81 m / s 2 .

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Passo 1

O peso do Dexter exerce uma força m g no caixote, que possui um topo quadrado de lado L :

Essa força m g gera um esforço interno normal N = m g no caixote. Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ . Precisamos encontrar essa tensão σ .

Sabemos que m = 20   k g , L = 50   c m e g = 9,81   m / s 2 .

Passo 2

Da fórmula da tensão normal média, temos que:

σ = N A

Como N = m g e como a área A é uma área quadrada de lado L :

σ = m g L 2

Substituindo os valores de m , g e L :

σ = 20   k g 9,81   m / s 2 50   c m 2

O exercício quer um resultado em N / m 2 , então vamos pensar:

  • k g * m / s 2 é um newton ( N );
  • E c m dá pra reescrever como 0,01   m ,

então isso fica assim:

σ = 20 * 9,81 50 * 0,01 2   N / m 2

Calculando a parte de baixo:

σ = 20 * 9,81 0,25   N / m 2

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

σ = 785   N / m 2

Exercício Resolvido #2

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 21-3.

Determinar a tensão normal de compressão mútua (ou tensões de “contato” ou tensão de “esmagamento”) da figura entre:

  1. o bloco de madeira de seção 100 m m   ×   120 m m e a base de concreto 500 m m   ×   500 m m   ×   60 m m ;
  2. a base de concreto e o solo.

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Passo 1

O exercício quer saber a tensão normal de compressão nos materiais na superfície de contato entre eles.

Em ambos os casos, a força N que gera a compressão é a mesma força de 40 k N .

No item a), a seção de contato é igual a seção 100 m m   ×   120 m m do bloco de madeira. Já no item b), a seção de contato é igual a seção 500 m m   ×   500 m m da base de concreto.

Passo 2

Já sabendo a força N e a área A da seção de interesse, é só aplicar a fórmula de tensão normal.

Para o item a), fica assim:

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = N A = 40 100 * 120 k N m m 2

Como, no geral, preferimos resultados em k P a , podemos converter as dimensões da nossa seção de milímetros para metros. Lembrando que 1 m m = 10 - 3 m , então 1 m m 2 = 10 - 6 m 2

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = 40 100 * 120 k N m 2 . 10 - 6  

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = 40 0,1 * 0,12 k N m 2 = 40 0,1 * 0,12   ≅ 3333,3 k P a

Passo 3

Para o item b), já colocando direto as dimensões da seção em metros, da mesma forma que fizemos antes, a fórmula da tensão normal fica assim:

σ c o n c r e t o - s o l o = N A = 40 0,5 * 0,5 k N m 2 = 40 0,5 * 0,5 = 160 k P a

Resposta

  1. 3333,3   k P a .
  2. 160   k P a .

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 25-1.34.

A coluna está sujeita a uma força axial de 8   k N aplicada no centroide da área da seção transversal. Determine a tensão normal média que age na seção a - a . Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da área.

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Passo 1

A tensão normal média σ , pedida pelo exercício, é dada pela divisão da força normal interna N (que é igual à força aplicada de 8   k N ) e a área A da seção transversal da coluna.

Para calcular a área A , devemos observar sua geometria:

Da imagem, vemos que a área A é composta por duas áreas “vermelhas” de largura 10 e comprimento 75 + 75 , e uma área “azul” de largura 10 e comprimento 70 + 70 .

Sendo assim:

A = 10 75 + 75 + 10 75 + 75 + 10 70 + 70   m m 2

A = 4400   m m 2

Usando a fórmula da tensão normal média:

σ = N A = 8 k N 4400   m m 2 = 8000 4400 N m m 2

Como 1 N / m m 2 = 1 M P a :

σ = 8000 4400   M P a

Resposta

σ = 1,82   M P a

A distribuição de tensão sobre a seção transversal é uniforme:

Exercício Resolvido #4

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 38-1.5.

Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso A B indica que a tensão normal média no osso é 3,80   M P a , quando o osso está submetido a duas forças de 1200   N como mostra a figura.

Supondo que a seção transversal do osso em C seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é 25   m m , determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em C .

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Passo 1

As duas forças de 1200   N geram esforços internos dentro do osso. Podemos fazer uma seção em C e ver como, para garantir o equilíbrio, o esforço interno normal N é igual a 1200   N .

Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ = 3,80   M P a na seção transversal C , que possui um formato de anel, como mostra a figura abaixo:

O exercício nos pede para descobrir o valor do diâmetro interno d i n t .

Precisamos primeiro encontrar qual é a área A que a seção transversal C deve ter, e, em seguida, relacionar essa área com d i n t .

Passo 2

Para que o esforço interno N gere uma tensão σ , a seção transversal deve ter uma determinada área A , como mostra a fórmula da tensão normal média:

σ = N A

Isolando a área A :

A = N σ = 1200   N 3,80   M P a = 315,8   N M P a

Como 1 M P a = 1 N / m m 2 :

A = 315,8   m m 2

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

A área da seção transversal C é igual a área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Mas lembra aí, a área do círculo é π R 2 , onde R é o raio do círculo. Como o raio é metade do diâmetro, podemos reescrever essa área do círculo como π d / 2 2 , ou, melhor ainda, π d 2 / 4 !

Assim conseguimos calcular as áreas dos círculos maior e menor, e, consequentemente, calcular a área da seção, que é a diferença entre as áreas do círculo:

A = π d e x t 2 4 - π d i n t 2 4

A = π d e x t 2 - d i n t 2 4

Queremos encontrar d i n t , então vamos isolá-lo!

4 A π = d e x t 2 - d i n t 2

d i n t 2 =   d e x t 2 - 4 A π

d i n t = d e x t 2 - 4 A π

Substituindo o valor fornecido de d e x t e o valor encontrado para a área A :

d i n t = 25   m m 2 - 4 ( 315,8   m m 2 ) π

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

d i n t = 14,9   m m

Exercício Resolvido #5

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.40.

O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 0,840   M P a , determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar.

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Passo 1

Para que o material não falhe, é necessário que a tensão normal média σ seja menor que o seu valor máximo admissível σ a d m = 0,840   M P a :

σ ≤ σ a d m

Como σ = N / A e o esforço interno normal N é igual a carga vertical externa P :

P A ≤ σ a d m

O valor máximo de P ocorre quando essa expressão é uma expressão de igualdade:

P m á x A = σ a d m

Precisamos calcular o valor da área A da seção transversal do bloco para poder encontrar P m á x . Para tanto devemos observar a geometria da seção:

Passo 2

Primeiro, calculamos a área A .

Na imagem acima vemos como a área da seção transversal do bloco pode ser dividida em áreas menores que se repetem.

Temos duas faixas longas iguais (pintadas de vermelho na imagem) e três “pontes” iguais (pintadas de azul).

Aproveitando essa simplificação, o cálculo da área fica assim:

A = 2 25 * 2 * 25 + 3 * 50 + 2 * 75 + 3 100 * 50   m m 2

A = 32500   m m 2

Passo 3

Agora que temos a área, podemos voltar para a expressão que havíamos encontrado anteriormente:

P m á x A = σ a d m

Substituindo os valores de A e σ a d m :

P m á x 32500   m m 2 = 0,840   M P a

P m á x = 0,840 * 32500   ( M P a * m m 2 )

Se lembrarmos que M P a = N / m m 2 , podemos simplificar as unidades:

P m á x = 0,840 * 32500   N

Resposta

P m á x = 27,3   k N

Exercício Resolvido #6

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston, Jr., John T. DeWolf, Resistência dos materiais: mecânica dos materiais, 4ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2010, pp. 17-1.1.

Duas barras circulares maciças são soldadas no ponto B , como mostra a figura. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.

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Passo 1

Se a gente se lembrar da fórmula da tensão normal ( σ = N / A ), vamos ver como, para determinar as tensões normais médias σ de cada barra, precisamos saber:

  • a força interna normal N em cada barra;
  • e a área da seção transversal A de cada barra.

Então vamos pensar!

Quanto às forças internas: A barra A B está sobre ação somente da força de 30   k N , então N A B = 30   k N . Já a barra B C está sobre ação das forças de 30   k N e 50   k N , ou seja, N B C = 80   k N .

E quanto às áreas das seções? Os diâmetros d A B = 20   m m e d B C = 30   m m podem ser usados para encontrar as áreas A A B e A B C .

Passo 2

Para a barra A B :

σ A B = N A B A A B

Para a área, vamos nos lembrar de que a área do círculo em função do seu diâmetro é π d 2 / 4 :

σ A B = N A B π d A B 2 4 = 30 π 20 2 4   k N m m 2

Substituindo N A B = 30   k N e d A B = 20   m m :

σ A B = 30 π 20 2 4   k N m m 2

Resultados assim em k N / m m 2 (também conhecido como G P a ) não são muito comuns. Para resolver isso, podemos reescrever a força de 30   k N como 30000   N . Aí o resultado sai em N / m m 2 (ou M P a ):

σ A B = 30000 π 20 2 4   N m m 2 = 30000 π 20 2 4   M P a

Calculando tudo, isso dá:

σ A B = 95,5   M P a

Passo 3

Para a barra B C :

σ B C = N B C A B C

Mais uma vez, vamos escrever:

  • a força interna N B C = 80   k N em newtons (para que o nosso resultado saia em M P a );
  • a área do círculo em função do seu diâmetro ( A B C =   π d B C 2 / 4 ).

Com isso, a equação anterior fica assim:

σ B C = 80000   N π d B C 2 4

Como d B C = 30   m m :

σ B C = 80000 π 30 2 4   N m m 2 = 80000 π 30 2 4   M P a

Calculando tudo, isso dá:

σ B C = 113,2   M P a

Resposta

σ A B = 95,5   M P a

σ B C = 113,2   M P a

Exercício Resolvido #7

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 26-1.37.

O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B , C e D .

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Passo 1

Para calcular as tensões normais médias σ = N / A , precisamos encontrar o módulo das forças normais internas N e o valor das áreas A de cada seção transversal.

As áreas podem ser encontradas a partir dos diâmetros fornecidos d B = 65   m m , d C = 140   m m e d D = 100   m m