Tensão Normal Média

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Teoria

Opa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre Tensão Normal?

O que é Tensão Normal?

Antes de te responder isso, eu vou te dar um exemplo…Se lembra daqueles filmes e desenhos americanos em que as crianças tinham casas da árvore?

Casa na árvore
Casa na árvore

Eu não se você, mas eu sempre quis ter uma! Então vamos imaginar que esse dia chegou, hoje vamos construir uma casa na árvore!

-Mas per aí, quanto peso a árvore suporta sem quebrar?!

Isso vai depender de diversos fatores, como:

  • Intensidade da força de compressão;
  • Propriedades mecânicas do tronco;
  • Área da seção transversal do tronco.

Esse último tópico tem tudo a ver com o que vamos estudar hoje! Bora entender isso melhor?

Conceito de Tensão Normal

Tensão é força aplicada sobre área. Mas o que é tensão normal? Seria uma tensão muito comum? 🤣

Ela é bem comum sim, mas o nome não vem daí! A tensão normal tem esse nome pois ela só depende das forças normais, ou seja…das forças perpendiculares a sua área transversal. Saca só:

Força normal
Força normal

E o que isso te lembra? SIM, o tronco da nossa árvore! 😍 No nosso exemplo terá uma força de compressão, que vem do peso da casinha e das pessoas dentro dela e o solo responde com uma força de mesmo módulo:

Exemplo: Força Normal
Exemplo: Força Normal

Estamos mais perto de descobrir como faremos pra construir nossa casa na árvore sem riscos de acidentes! ⚠️

Tensão Normal Média: Fórmula

tensão normal média é dada pela divisão da força normal, que é igual à força aplicada perpendicularmente a sua secção transversal e a área da seção transversal da coluna.

A força normal resultante é calculada por uma análise de esforços internos e a área da seção transversal, calculada a partir de dimensões da peça como o seu diâmetro!

Agora sim, podemos calcular quanto peso a nossa árvore aguenta! 👇

Exemplo: Determine a Tensão Normal

Pra fechar, confere esse exemplo resolvido em vídeo!

Agora vamos praticar com exercícios?

Exemplo: Determine a Tensão Normal

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O Dexter, mascote do Responde Aí, possui massa de 20 k g . Ele estava de bobeira por aí quando de repente viu um caixote, também de bobeira. O Dexter, hiperativo, nem pensou duas vezes e pulou em cima do caixote.

A seção transversal do caixote é quadrada e possui 50 c m de lado, como mostra a figura abaixo:

Qual a tensão normal média, em N / m 2 , exercida pelo Dexter no caixote? Considere g = 9,81 m / s 2 .

Passo 1

O peso do Dexter exerce uma força m g no caixote, que possui um topo quadrado de lado L :

Essa força m g gera um esforço interno normal N = m g no caixote. Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ . Precisamos encontrar essa tensão σ .

Sabemos que m = 20   k g , L = 50   c m e g = 9,81   m / s 2 .

Passo 2

Da fórmula da tensão normal média, temos que:

σ = N A

Como N = m g e como a área A é uma área quadrada de lado L :

σ = m g L 2

Substituindo os valores de m , g e L :

σ = 20   k g 9,81   m / s 2 50   c m 2

O exercício quer um resultado em N / m 2 , então vamos pensar:

  • k g * m / s 2 é um newton ( N );
  • E c m dá pra reescrever como 0,01   m ,

então isso fica assim:

σ = 20 * 9,81 50 * 0,01 2   N / m 2

Calculando a parte de baixo:

σ = 20 * 9,81 0,25   N / m 2

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

σ = 785   N / m 2

Exercício Resolvido #2

Determinar a tensão normal de compressão mútua (ou tensões de “contato” ou tensão de “esmagamento”) da figura entre:

  1. o bloco de madeira de seção 100 m m   ×   120 m m e a base de concreto 500 m m   ×   500 m m   ×   60 m m ;
  2. a base de concreto e o solo.

Passo 1

O exercício quer saber a tensão normal de compressão nos materiais na superfície de contato entre eles.

Em ambos os casos, a força N que gera a compressão é a mesma força de 40 k N .

No item a), a seção de contato é igual a seção 100 m m   ×   120 m m do bloco de madeira. Já no item b), a seção de contato é igual a seção 500 m m   ×   500 m m da base de concreto.

Passo 2

Já sabendo a força N e a área A da seção de interesse, é só aplicar a fórmula de tensão normal.

Para o item a), fica assim:

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = N A = 40 100 * 120 k N m m 2

Como, no geral, preferimos resultados em k P a , podemos converter as dimensões da nossa seção de milímetros para metros. Lembrando que 1 m m = 10 - 3 m , então 1 m m 2 = 10 - 6 m 2

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = 40 100 * 120 k N m 2 . 10 - 6  

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = 40 0,1 * 0,12 k N m 2 = 40 0,1 * 0,12   ≅ 3333,3 k P a

Passo 3

Para o item b), já colocando direto as dimensões da seção em metros, da mesma forma que fizemos antes, a fórmula da tensão normal fica assim:

σ c o n c r e t o - s o l o = N A = 40 0,5 * 0,5 k N m 2 = 40 0,5 * 0,5 = 160 k P a

Resposta

  1. 3333,3   k P a .
  2. 160   k P a .

Exercício Resolvido #3

A coluna está sujeita a uma força axial de 8   k N aplicada no centroide da área da seção transversal. Determine a tensão normal média que age na seção a - a . Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da área.

Passo 1

A tensão normal média σ , pedida pelo exercício, é dada pela divisão da força normal interna N (que é igual à força aplicada de 8   k N ) e a área A da seção transversal da coluna.

Para calcular a área A , devemos observar sua geometria:

Da imagem, vemos que a área A é composta por duas áreas “vermelhas” de largura 10 e comprimento 75 + 75 , e uma área “azul” de largura 10 e comprimento 70 + 70 .

Sendo assim:

A = 10 75 + 75 + 10 75 + 75 + 10 70 + 70   m m 2

A = 4400   m m 2

Usando a fórmula da tensão normal média:

σ = N A = 8 k N 4400   m m 2 = 8000 4400 N m m 2

Como 1 N / m m 2 = 1 M P a :

σ = 8000 4400   M P a

Resposta

σ = 1,82   M P a

A distribuição de tensão sobre a seção transversal é uniforme:

Exercício Resolvido #4

Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso A B indica que a tensão normal média no osso é 3,80   M P a , quando o osso está submetido a duas forças de 1200   N como mostra a figura.

Supondo que a seção transversal do osso em C seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é 25   m m , determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em C .

Passo 1

As duas forças de 1200   N geram esforços internos dentro do osso. Podemos fazer uma seção em C e ver como, para garantir o equilíbrio, o esforço interno normal N é igual a 1200   N .

Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ = 3,80   M P a na seção transversal C , que possui um formato de anel, como mostra a figura abaixo:

O exercício nos pede para descobrir o valor do diâmetro interno d i n t .

Precisamos primeiro encontrar qual é a área A que a seção transversal C deve ter, e, em seguida, relacionar essa área com d i n t .

Passo 2

Para que o esforço interno N gere uma tensão σ , a seção transversal deve ter uma determinada área A , como mostra a fórmula da tensão normal média:

σ = N A

Isolando a área A :

A = N σ = 1200   N 3,80   M P a = 315,8   N M P a

Como 1 M P a = 1 N / m m 2 :

A = 315,8   m m 2

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

A área da seção transversal C é igual a área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Mas lembra aí, a área do círculo é π R 2 , onde R é o raio do círculo. Como o raio é metade do diâmetro, podemos reescrever essa área do círculo como π d / 2 2 , ou, melhor ainda, π d 2 / 4 !

Assim conseguimos calcular as áreas dos círculos maior e menor, e, consequentemente, calcular a área da seção, que é a diferença entre as áreas do círculo:

A = π d e x t 2 4 - π d i n t 2 4

A = π d e x t 2 - d i n t 2 4

Queremos encontrar d i n t , então vamos isolá-lo!

4 A π = d e x t 2 - d i n t 2

d i n t 2 =   d e x t 2 - 4 A π

d i n t = d e x t 2 - 4 A π

Substituindo o valor fornecido de d e x t e o valor encontrado para a área A :

d i n t = 25   m m 2 - 4 ( 315,8   m m 2 ) π

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

d i n t = 14,9   m m

Exercício Resolvido #5

O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 0,840   M P a , determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar.

Passo 1

Para que o material não falhe, é necessário que a tensão normal média σ seja menor que o seu valor máximo admissível σ a d m = 0,840   M P a :

σ ≤ σ a d m

Como σ = N / A e o esforço interno normal N é igual a carga vertical externa P :

P A ≤ σ a d m

O valor máximo de P ocorre quando essa expressão é uma expressão de igualdade:

P m á x A = σ a d m

Precisamos calcular o valor da área A da seção transversal do bloco para poder encontrar P m á x . Para tanto devemos observar a geometria da seção:

Passo 2

Primeiro, calculamos a área A .

Na imagem acima vemos como a área da seção transversal do bloco pode ser dividida em áreas menores que se repetem.

Temos duas faixas longas iguais (pintadas de vermelho na imagem) e três “pontes” iguais (pintadas de azul).

Aproveitando essa simplificação, o cálculo da área fica assim:

A = 2 25 * 2 * 25 + 3 * 50 + 2 * 75 + 3 100 * 50   m m 2

A = 32500   m m 2

Passo 3

Agora que temos a área, podemos voltar para a expressão que havíamos encontrado anteriormente:

P m á x A = σ a d m

Substituindo os valores de A e σ a d m :

P m á x 32500   m m 2 = 0,840   M P a

P m á x = 0,840 * 32500   ( M P a * m m 2 )

Se lembrarmos que M P a = N / m m 2 , podemos simplificar as unidades:

P m á x = 0,840 * 32500   N

Resposta

P m á x = 27,3   k N

Exercício Resolvido #6

Duas barras circulares maciças são soldadas no ponto B , como mostra a figura. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.

Passo 1

Se a gente se lembrar da fórmula da tensão normal ( σ = N / A ), vamos ver como, para determinar as tensões normais médias σ de cada barra, precisamos saber:

  • a força interna normal N em cada barra;
  • e a área da seção transversal A de cada barra.

Então vamos pensar!

Quanto às forças internas: A barra A B está sobre ação somente da força de 30   k N , então N A B = 30   k N . Já a barra B C está sobre ação das forças de 30   k N e 50   k N , ou seja, N B C = 80   k N .

E quanto às áreas das seções? Os diâmetros d A B = 20   m m e d B C = 30   m m podem ser usados para encontrar as áreas A A B e A B C .

Passo 2

Para a barra A B :

σ A B = N A B A A B

Para a área, vamos nos lembrar de que a área do círculo em função do seu diâmetro é π d 2 / 4 :

σ A B = N A B π d A B 2 4 = 30 π 20 2 4   k N m m 2

Substituindo N A B = 30   k N e d A B = 20   m m :

σ A B = 30 π 20 2 4   k N m m 2

Resultados assim em k N / m m 2 (também conhecido como G P a ) não são muito comuns. Para resolver isso, podemos reescrever a força de 30   k N como 30000   N . Aí o resultado sai em N / m m 2 (ou M P a ):

σ A B = 30000 π 20 2 4   N m m 2 = 30000 π 20 2 4   M P a

Calculando tudo, isso dá:

σ A B = 95,5   M P a

Passo 3

Para a barra B C :

σ B C = N B C A B C

Mais uma vez, vamos escrever:

  • a força interna N B C = 80   k N em newtons (para que o nosso resultado saia em M P a );
  • a área do círculo em função do seu diâmetro ( A B C =   π d B C 2 / 4 ).

Com isso, a equação anterior fica assim:

σ B C = 80000   N π d B C 2 4

Como d B C = 30   m m :

σ B C = 80000 π 30 2 4   N m m 2 = 80000 π 30 2 4   M P a

Calculando tudo, isso dá:

σ B C = 113,2   M P a

Resposta

σ A B = 95,5   M P a

σ B C = 113,2   M P a

Exercício Resolvido #7

O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B , C e D .

Passo 1

Para calcular as tensões normais médias σ = N / A , precisamos encontrar o módulo das forças normais internas N e o valor das áreas A de cada seção transversal.

As áreas podem ser encontradas a partir dos diâmetros fornecidos d B = 65   m m , d C = 140   m m e d D = 100   m m .

Para encontrar as forças internas, vamos precisar nos lembrar da matéria de esforços internos: vamos ter que realizar seções em B , C e D , fazer o diagrama de corpo livre (“DCL”) dessas seções e avaliar as condições de equilíbrio.

Passo 2

Vamos começar calculando as áreas de cada seção!

As 3 seções transversais são circulares e nos foi fornecido os seus diâmetros d , então podemos usar a fórmula de área do círculo A = π d 2 / 4 .

Para a seção B , temos:

A B = π d B 2 4 = π 65   m m 2 4 = 3318   m m 2

Para a seção C :

A C = π d C 2 4 = π 140   m m 2 4 = 15394   m m 2

E finalmente para D :

A D = π d D 2 4 = π 100   m m 2 4 = 7854   m m 2

Passo 3

Agora vamos ter que calcular as forças internas N em cada uma das 3 seções: B , C e D .

Nesse exercício, só importa para a gente a intensidade da força interna N (não precisamos nos preocupar com a direção ou sinal dessa força.)

Isso significa que podemos fazer uma análise um pouco mais “nas coxas”:

  • Para cada seção, escolhemos entre fazer o DCL da parte da peça superior à seção (como foi feito com as seções B e C na imagem abaixo) ou fazer o DCL da parte inferior à seção (como feito para a seção D ).
  • Em cada DCL, desenhamos as forças externas (em azul na imagem) atuantes nessa parte da peça. Depois desenhamos forças internas (em vermelho) de forma a balancear as forças externas e destacamos os valores encontrados para elas.

Na prática, essa análise fica assim:

Passo 4

Agora temos tudo em mãos para calcular as tensões com a fórmula σ = N / A .

Para a seção B , N B = 500   N e A B = 3318   m m 2 :

σ B = N B A B = 500 3318   N m m 2

σ B = 500 3318   M P a

Para C , N C = 500   N e A C = 15394   m m 2 :

σ C = N C A C = 500 15394   N m m 2 = 500 15394   M P a

σ C = 500 15394   M P a

E finalmente, para D , N D = 200   N e A D = 7854   m m 2 :

σ D = N D A D = 200 7854   N m m 2

σ D = 200 7854   M P a

Resposta

σ B = 151   k P a

σ C = 32,5   k P a

σ D = 25,5   k P a

Exercício Resolvido #8

Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia A B e B C são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme a figura. Determine a intensidade da força P para a qual a tensão normal de tração na barra A B é duas vezes a intensidade da tensão de compressão da barra B C .

Passo 1

O exercício quer descobrir para que valor da força P a relação a seguir é satisfeita:

σ A B =   2 σ B C

Para calcular as tensões normais σ A B e σ B C , utilizaremos os seguintes dados:

  • N A B = P