Tensão Normal Média

Resumo Completo

Introdução

Se lembra daqueles filmes e desenhos americanos em que as crianças tinham casas da árvore?

Não sei você, mas eu ainda sonho de vez em quando em ter uma...

Vamos dizer que você vai construir, em uma das árvores da sua faculdade, uma casa da árvore.

Quanto peso você pode apoiar no tronco da árvore até que ele quebre?

Métodos da Estática (Revisão)

Uma ideia para tentar responder essa pergunta é aplicar os métodos da estática.

Você deve ter visto um pouco disso ou em Estática (duhhh...), ou em Mecânica, ou como uma revisão na sua própria disciplina atual de Resistência dos Materiais (ResMat, MecMat ou MecSol).

Lembra aí! A partir do que vimos nessas matérias, a gente pode:

  • Fazer um DCL ou Diagrama de Corpo Livre do tronco;
  • Aplicar Equilíbrio de Forças e de Momentos nesse DCL para achar o valor de forças desconhecidas;
  • E fazer uma Análise de Esforços Internos para descobrir o valor das forças que agem dentro da madeira do tronco (como a força normal ou a força cortante.)

Então a gente pode usar os métodos da Estática/Mecânica para encontrar as forças internas numa peça ou estrutura.

No nosso caso da casa da árvore:

Vamos dizer que a resultante de todos os pesos no tronco (peso da árvore, peso da casa, etc.) é uma força P = 10   k N bem no centro do tronco.

Nesse caso, as únicas forças internas no tronco vão ser forças normais de compressão com intensidade de 10   k N :

Mas saber a intensidade dessa força de compressão não é o suficiente para conseguirmos descobrir se o tronco da árvore vai quebrar ou não.

Afinal, quando é que o tronco quebra?

A resistência do tronco a uma força não depende só da intensidade dessa força.

Na verdade, a resistência de um material a uma força depende de três fatores:

  • da intensidade da força;
  • da área da seção transversal do tronco; (Quanto maior a área, menor é a concentração de força em uma única fibra da madeira.)
  • e das propriedades mecânicas do tronco. (A madeira possui uma fibra forte ou fraca?)

Vamos ilustrar como isso funciona em um material?

Vamos dizer que você está dormindo após uma noite longa de estudos e sonha que você virou uma fibra de madeira em um tronco sob compressão:

Você e os seus vizinhos de seção transversal precisam trabalhar juntos para resistir à força de 10   k N .

Você quer fazer a sua parte. Então importa muito para você saber o quanto dessa força você vai ter que aguentar.

Isso significa que você precisa saber quanto que é a intensidade da força dividida pela área da seção em que você está.

Só assim você vai poder calcular o quanto de força você vai ter que aguentar, dependendo do seu tamanho.

Se essa intensidade da força dividida pela área da seção for grande o suficiente, ela vai superar o seu limite de resistência (a sua propriedade mecânica).

Nesse caso, você e seus vizinhos vão se deformar irreversivelmente. O tronco pode se deformar bastante vindo até a quebrar, ou seja, ele falha!

Conceito de Tensão

Essa intensidade da força dividida pela área da seção (ou só “intensidade de força por unidade de área”) é o que chamamos de tensão e representamos com a letra grega σ (sigma).

Usando nosso exemplo do tronco, se dissermos que ele possui uma seção transversal com 200   c m 2 de área, podemos visualizar a tensão em uma seção aleatória do tronco assim:

Tensão Normal

A tensão desse exemplo do tronco é o que chamamos de uma tensão normal.

Ela é chamada assim não porque ela é comum, mas sim porque ela só depende das forças normais (perpendiculares) à superfície.

Queremos poder estudar as tensões normais em qualquer estrutura. Então vamos aplicar agora o que vimos nesse exemplo do tronco em um caso geral:

Carregamento Axial e a Tensão Normal

Assim como esse tronco, várias barras e hastes no mundo só recebem cargas axiais: forças de tração ou compressão que agem na direção do comprimento da peça.

Agora lembra aí! Da estática, sabemos:

  • Que essas cargas axiais vão gerar uma força interna normal N ao longo dessas peças;
  • E que podemos calcular N fazendo uma análise de esforços internos.

E a partir do que acabamos de aprender, sabemos:

  • Que para avaliar a resistência da peça às forças internas que agem nela, precisamos estudar as tensões (intensidade de força por unid. de área) que essas forças geram;
  • E que a tensão normal σ só depende da força normal resultante ( N ), e da área ( A ) da seção transversal da peça.

Dessas informações, conseguimos uma fórmula para a tensão normal: é só dividirmos N por A .

No meu desenho do tronco ali em cima, dá pra ver que as forças tem a mesma intensidade? Isso normalmente não ocorre. Quando essa situação linda de mesma intensidade ocorre chamamos de distribuição uniforme de tensão.

Mas e quando isso não ocorre? O que a gente faz, jovem gafanhoto, é dividir N por A do mesmo jeito, mas não vamos chamar de tensão normal e sim de tensão normal média na seção transversal.

Fórmula da Tensão Normal Média

A partir do que acabamos de ver, concluímos que, a tensão normal média σ em qualquer ponto de uma seção transversal é dada por:

σ = N A

em que:

  • N é a força normal resultante, calculada por uma análise de esforços internos;
  • e A é a área da seção transversal, calculada a partir de dimensões da peça como o seu diâmetro, por exemplo.

Duas Observações Finais

1. A tabela abaixo reúne as principais unidades para tensão. Todas são comuns, mas, no geral, às mais utilizadas em Resistência dos Materiais são k P a e M P a .

2. Tanto N quanto σ são positivos ( + ) em situações de tração e negativos ( - ) em situações de compressão.

Mais tarde, essa diferenciação vai ser importante. Por enquanto, os gabaritos dos exercícios vão ser sempre positivos ( + ) já que o que importa é a intensidade de σ .

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

O Dexter, mascote do Responde Aí, possui massa de 20 k g . Ele estava de bobeira por aí quando de repente viu um caixote, também de bobeira. O Dexter, hiperativo, nem pensou duas vezes e pulou em cima do caixote.

A seção transversal do caixote é quadrada e possui 50 c m de lado, como mostra a figura abaixo:

Qual a tensão normal média, em N / m 2 , exercida pelo Dexter no caixote? Considere g = 9,81 m / s 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O peso do Dexter exerce uma força m g no caixote, que possui um topo quadrado de lado L :

Essa força m g gera um esforço interno normal N = m g no caixote. Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ . Precisamos encontrar essa tensão σ .

Sabemos que m = 20   k g , L = 50   c m e g = 9,81   m / s 2 .

Passo 2

Da fórmula da tensão normal média, temos que:

σ = N A

Como N = m g e como a área A é uma área quadrada de lado L :

σ = m g L 2

Substituindo os valores de m , g e L :

σ = 20   k g 9,81   m / s 2 50   c m 2

O exercício quer um resultado em N / m 2 , então vamos pensar:

  • k g * m / s 2 é um newton ( N );
  • E c m dá pra reescrever como 0,01   m ,

então isso fica assim:

σ = 20 * 9,81 50 * 0,01 2   N / m 2

Calculando a parte de baixo:

σ = 20 * 9,81 0,25   N / m 2

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

σ = 785   N / m 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 21-3.

Determinar a tensão normal de compressão mútua (ou tensões de “contato” ou tensão de “esmagamento”) da figura entre:

  1. o bloco de madeira de seção 100 m m   ×   120 m m e a base de concreto 500 m m   ×   500 m m   ×   60 m m ;
  2. a base de concreto e o solo.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício quer saber a tensão normal de compressão nos materiais na superfície de contato entre eles.

Em ambos os casos, a força N que gera a compressão é a mesma força de 40 k N .

No item a), a seção de contato é igual a seção 100 m m   ×   120 m m do bloco de madeira. Já no item b), a seção de contato é igual a seção 500 m m   ×   500 m m da base de concreto.

Passo 2

Já sabendo a força N e a área A da seção de interesse, é só aplicar a fórmula de tensão normal.

Para o item a), fica assim:

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = N A = 40 100 * 120 k N m m 2

Resultados em k N / m m 2 não são muito comuns para tensão: 1   k N / m m 2 é o mesmo que 1   G P a ou 1 gigapascal!

As unidade mais comuns para tensão são quilopascal ( 1   k P a = 1   k N / m 2 ) e megapascal ( 1   M P a = 10 6 N / m 2 = 1   N / m m 2 ).

Como, no geral, preferimos resultados em k P a , podemos converter as dimensões da nossa seção de milímetros para metros:

σ m a d e i r a - c o n c r e t o = 40 0,1 * 0,12 k N m 2 = 40 0,1 * 0,12   k P a

Passo 3

Para o item b), já colocando direto as dimensões da seção em metros, a fórmula da tensão normal fica assim:

σ c o n c r e t o - s o l o = N A = 40 0,5 * 0,5 k N m 2 = 40 0,5 * 0,5   k P a

Resposta

  1. 3333   k P a .
  2. 160   k P a .

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 25-1.34.

A coluna está sujeita a uma força axial de 8   k N aplicada no centroide da área da seção transversal. Determine a tensão normal média que age na seção a - a . Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da área.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A tensão normal média σ , pedida pelo exercício, é dada pela divisão da força normal interna N (que é igual à força aplicada de 8   k N ) e a área A da seção transversal da coluna.

Para calcular a área A , devemos observar sua geometria:

Da imagem, vemos que a área A é composta por duas áreas “vermelhas” de largura 10 e comprimento 75 + 75 , e uma área “azul” de largura 10 e comprimento 70 + 70 .

Sendo assim:

A = 10 75 + 75 + 10 75 + 75 + 10 70 + 70   m m 2

A = 4400   m m 2

Usando a fórmula da tensão normal média:

σ = N A = 8 k N 4400   m m 2 = 8000 4400 N m m 2

Como 1 N / m m 2 = 1 M P a :

σ = 8000 4400   M P a

Resposta

σ = 1,82   M P a

A distribuição de tensão sobre a seção transversal é uniforme:

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 38-1.5.

Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso A B indica que a tensão normal média no osso é 3,80   M P a , quando o osso está submetido a duas forças de 1200   N como mostra a figura.

Supondo que a seção transversal do osso em C seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é 25   m m , determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em C .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

As duas forças de 1200   N geram esforços internos dentro do osso. Podemos fazer uma seção em C e ver como, para garantir o equilíbrio, o esforço interno normal N é igual a 1200   N .

Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ = 3,80   M P a na seção transversal C , que possui um formato de anel, como mostra a figura abaixo:

O exercício nos pede para descobrir o valor do diâmetro interno d i n t .

Precisamos primeiro encontrar qual é a área A que a seção transversal C deve ter, e, em seguida, relacionar essa área com d i n t .

Passo 2

Para que o esforço interno N gere uma tensão σ , a seção transversal deve ter uma determinada área A , como mostra a fórmula da tensão normal média:

σ = N A

Isolando a área A :

A = N σ = 1200   N 3,80   M P a = 315,8   N M P a

Como 1 M P a = 1 N / m m 2 :

A = 315,8   m m 2

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

A área da seção transversal C é igual a área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Mas lembra aí, a área do círculo é π R 2 , onde R é o raio do círculo. Como o raio é metade do diâmetro, podemos reescrever essa área do círculo como π d / 2 2 , ou, melhor ainda, π d 2 / 4 !

Assim conseguimos calcular as áreas dos círculos maior e menor, e, consequentemente, calcular a área da seção, que é a diferença entre as áreas do círculo:

A = π d e x t 2 4 - π d i n t 2 4

A = π d e x t 2 - d i n t 2 4

Queremos encontrar d i n t , então vamos isolá-lo!

4 A π = d e x t 2 - d i n t 2

d i n t 2 =   d e x t 2 - 4 A π

d i n t = d e x t 2 - 4 A π

Substituindo o valor fornecido de d e x t e o valor encontrado para a área A :

d i n t = 25   m m 2 - 4 ( 315,8   m m 2 ) π

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

d i n t = 14,9   m m

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.40.

O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 0,840   M P a , determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para que o material não falhe, é necessário que a tensão normal média σ seja menor que o seu valor máximo admissível σ a d m = 0,840   M P a :

σ σ a d m

Como σ = N / A e o esforço interno normal N é igual a carga vertical externa P :

P A σ a d m

O valor máximo de P ocorre quando essa expressão é uma expressão de igualdade:

P m á x A = σ a d m

Precisamos calcular o valor da área A da seção transversal do bloco para poder encontrar P m á x . Para tanto devemos observar a geometria da seção:

Passo 2

Primeiro, calculamos a área A .

Na imagem acima vemos como a área da seção transversal do bloco pode ser dividida em áreas menores que se repetem.

Temos duas faixas longas iguais (pintadas de vermelho na imagem) e três “pontes” iguais (pintadas de azul).

Aproveitando essa simplificação, o cálculo da área fica assim:

A = 2 25 * 2 * 25 + 3 * 50 + 2 * 75 + 3 100 * 50   m m 2

A = 32500   m m 2

Passo 3

Agora que temos a área, podemos voltar para a expressão que havíamos encontrado anteriormente:

P m á x A = σ a d m

Substituindo os valores de A e σ a d m :

P m á x 32500   m m 2 = 0,840   M P a

P m á x = 0,840 * 32500   ( M P a * m m 2 )

Se lembrarmos que M P a = N / m m 2 , podemos simplificar as unidades:

P m á x = 0,840 * 32500   N

Resposta

P m á x = 27,3   k N

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston, Jr., John T. DeWolf, Resistência dos materiais: mecânica dos materiais, 4ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2010, pp. 17-1.1.

Duas barras circulares maciças são soldadas no ponto B , como mostra a figura. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se a gente se lembrar da fórmula da tensão normal ( σ = N / A ), vamos ver como, para determinar as tensões normais médias σ de cada barra, precisamos saber:

  • a força interna normal N em cada barra;
  • e a área da seção transversal A de cada barra.

Então vamos pensar!

Quanto às forças internas: A barra A B está sobre ação somente da força de 30   k N , então N A B = 30   k N . Já a barra B C está sobre ação das forças de 30   k N e 50   k N , ou seja, N B C = 80   k N .

E quanto às áreas das seções? Os diâmetros d A B = 20   m m e d B C = 30   m m podem ser usados para encontrar as áreas A A B e A B C .

Passo 2

Para a barra A B :

σ A B = N A B A A B

Para a área, vamos nos lembrar de que a área do círculo em função do seu diâmetro é π d 2 / 4 :

σ A B = N A B π d A B 2 4 = 30 π 20 2 4   k N m m 2

Substituindo N A B = 30   k N e d A B = 20   m m :

σ A B = 30 π 20 2 4   k N m m 2

Resultados assim em k N / m m 2 (também conhecido como G P a ) não são muito comuns. Para resolver isso, podemos reescrever a força de 30   k N como 30000   N . Aí o resultado sai em N / m m 2 (ou M P a ):

σ A B = 30000 π 20 2 4   N m m 2 = 30000 π 20 2 4   M P a

Calculando tudo, isso dá:

σ A B = 95,5   M P a

Passo 3

Para a barra B C :

σ B C = N B C A B C

Mais uma vez, vamos escrever:

  • a força interna N B C = 80   k N em newtons (para que o nosso resultado saia em M P a );
  • a área do círculo em função do seu diâmetro ( A B C =   π d B C 2 / 4 ).

Com isso, a equação anterior fica assim:

σ B C = 80000   N π d B C 2 4

Como d B C = 30   m m :

σ B C = 80000 π 30 2 4   N m m 2 = 80000 π 30 2 4   M P a

Calculando tudo, isso dá:

σ B C = 113,2   M P a

Resposta

σ A B = 95,5   M P a

σ B C = 113,2   M P a

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 26-1.37.

O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B , C e D .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para calcular as tensões normais médias σ = N / A , precisamos encontrar o módulo das forças normais internas N e o valor das áreas A de cada seção transversal.

As áreas podem ser encontradas a partir dos diâmetros fornecidos d B = 65   m m , d C = 140   m m e d D = 100   m m .

Para encontrar as forças internas, vamos precisar nos lembrar da matéria de esforços internos: vamos ter que realizar seções em B , C e D , fazer o diagrama de corpo livre (“DCL”) dessas seções e avaliar as condições de equilíbrio.

Passo 2

Vamos começar calculando as áreas de cada seção!

As 3 seções transversais são circulares e nos foi fornecido os seus diâmetros d , então podemos usar a fórmula de área do círculo A = π d 2 / 4 .

Para a seção B , temos:

A B = π d B 2 4 = π 65   m m 2 4 = 3318   m m 2

Para a seção C :

A C = π d C 2 4 = π 140   m m 2 4 = 15394   m m 2

E finalmente para D :

A D = π d D 2 4 = π 100   m m 2 4 = 7854   m m 2

Passo 3

Agora vamos ter que calcular as forças internas N em cada uma das 3 seções: B , C e D .

Nesse exercício, só importa para a gente a intensidade da força interna N (não precisamos nos preocupar com a direção ou sinal dessa força.)

Isso significa que podemos fazer uma análise um pouco mais “nas coxas”:

  • Para cada seção, escolhemos entre fazer o DCL da parte da peça superior à seção (como foi feito com as seções B e C na imagem abaixo) ou fazer o DCL da parte inferior à seção (como feito para a seção D ).
  • Em cada DCL, desenhamos as forças externas (em azul na imagem) atuantes nessa parte da peça. Depois desenhamos forças internas (em vermelho) de forma a balancear as forças externas e destacamos os valores encontrados para elas.

Na prática, essa análise fica assim:

Passo 4

Agora temos tudo em mãos para calcular as tensões com a fórmula σ = N / A .

Para a seção B , N B = 500   N e A B = 3318   m m 2 :

σ B = N B A B = 500 3318   N m m 2

σ B = 500 3318   M P a

Para C , N C = 500   N e A C = 15394   m m 2 :

σ C = N C A C = 500 15394   N m m 2 = 500 15394   M P a

σ C = 500 15394   M P a

E finalmente, para D , N D = 200   N e A D = 7854   m m 2 :

σ D = N D A D = 200 7854   N m m 2

σ D = 200 7854   M P a

Resposta

σ B = 151   k P a

σ C = 32,5   k P a

σ D = 25,5   k P a

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 38-1.1.

Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia A B e B C são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme a figura. Determine a intensidade da força P para a qual a tensão normal de tração na barra A B é duas vezes a intensidade da tensão de compressão da barra B C .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício quer descobrir para que valor da força P a relação a seguir é satisfeita:

σ A B =   2 σ B C

Para calcular as tensões normais σ A B e σ B C , utilizaremos os seguintes dados:

  • N A B = P , uma vez que a barra A B está submetida somente à força de tração P ;
  • N B C = 2 130   k N - P , uma vez que a barra B C está majoritariamente sobre compressão por parte das duas forças de 130   k N , mas ainda está submetido também à força de tração P ;
  • d A B = 50   m m , d B C = 75   m m .

Como N A B e N B C estão em função de P , as duas tensões, σ A B e σ B C , também vão ficar em função de P .

Isso significa que quando usarmos a relação σ A B =   2 σ B C , vamos ter que manipular a expressão para isolar a força P e descobrir o valor que ela deve ter.

Passo 2

A primeira coisa a fazer nesse exercício é calcular as tensões em A B e B C usando a fórmula da tensão normal média.

Para a barra A B , fica assim:

σ A B = N A B A A B

Já sabemos que N A B = P .

Quanto à área A A B , as barras possuem seção transversal circular, então podemos encontrar as áreas através da expressão A = π d 2 / 4 . Como d A B = 50   m m :

σ A B = P π d A B 2 4 = P π 50   m m 2 4

Não vamos simplificar mais essa expressão no momento pois essa tensão σ A B vai ser relacionada depois com a tensão σ B C , que também vai ter os termos “ π ”, “ / 4 ” e “ m m ” na mesma posição.

Ou seja, vamos poder cortar esses termos com facilidade depois, como mostra a imagem abaixo:

Para a barra B C , como N B C = 2 130   k N - P e d B C = 75   m m :

σ B C = N B C A B C = 2 130   k N - P π d B C 2 4 = 260   k N - P π 75   m m 2 4

Passo 3

Agora, aplicamos a relação σ A B = 2 σ B C :

P π 50   m m 2 4 = 2 * 260   k N - P π 75   m m 2 4

Simplificando:

P 50 2 = 2 * ( 260   k N - P ) 75 2

Isolando P :

75 2 * P = 50 2 * 2 * ( 260   k N - P )

5625 P = 2500 ( 520   k N - 2 P )

5625 P = 1300000   k N - 5000 P

10625 P = 1300000   k N

P = 1300000   k N 10625

Calculando, isso dá:

Resposta

P = 122,4   k N

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Lista de Exercício - Prof. Willian - Universidade Catolica Dom Bosco - Exercicio 1.36.

A luminária de 50   l b f é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em A . Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal média e calcular seu valor. Sabemos que θ = 60 ° . O diâmetro de cada haste é dado na figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para descobrir qual haste está sujeita à maior tensão normal média, vamos precisar calcular a tensão em cada haste.

Então, para calcular essas tensões σ = N / A , vamos precisar da força interna N em cada haste e da área A da seção transversal de cada haste.

As hastes estão sendo tracionadas para suportar o peso da luminária P = 50   l b f . Se fizermos um equilíbrio de forças no ponto A , vamos descobrir o valor das forças de tração T nas hastes:

Como as hastes só sofrem essas forças de tração, podemos garantir que as forças internas N serão iguais a essas forças de tração. Daí encontramos que N A B = T A B e N A C = T A C .

Já para encontrar as áreas A A B e A A C , vamos ter que usar os diâmetros fornecidos: d A B = 0,5   p o l e d A C = 0,4   p o l .

Passo 2

Para encontrar as forças de tração T e consequentemente as forças internas N , vamos voltar para o diagrama de forças no ponto A :

Lembra aí, o equilíbrio de forças acontece quando o somatório de forças é igual a zero ( F = 0 ).

Um jeito de ver isso é vendo se a soma das forças na vertical dá zero ( F V = 0 ) e se a soma das forças na horizontal dá zero ( F H = 0 ).

Para fazer essas somas, vamos ter que decompor as trações em suas componentes verticais e horizontais.

Isso significa ter que usar seno e cosseno para encontrar essas componentes, como mostra a imagem abaixo:

Passo 3

Com a decomposição das forças já feita, agora podemos fazer os equilíbrios de forças na vertical e na horizontal!

Equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Como na vertical temos as componentes verticais de T A B e T A C apontando para cima e a força peso P apontando para baixo, essa expressão acima fica assim:

T A B y + T A C y - P = 0

T A B y + T A C y = P

Como encontramos na decomposição das trações que T A B y = T A B * s e n   30 ° e T A C y = T A C * s e n   60 ° :

T A B * s e n   30 ° + T A C * s e n   60 ° = P

1 2 T A B + 3 2 T A C = P

Vamos guardar essa equação por enquanto!

Em seguida vem o equilíbrio de forças na horizontal:

F H = 0

Como na horizontal temos a componente horizontal de T A C apontando para a direita e a componente horizontal de T A B apontando para a esquerda:

T A C x - T A B x = 0

T A C x = T A B x

Substituindo os valores T A C x = T A C * cos 60 ° e T A B x = T A B * cos 30 ° encontrados na decomposição de forças :

T A C * cos 60 ° = T A B * cos 30 °

1 2 T A C = 3 2 T A B

Vamos também guardar essa equação!

Passo 4

As duas equações que guardamos no passo anterior compõem um sistema de equações:

1 2 T A B + 3 2 T A C = P 1 2 T A C = 3 2 T A B

Se resolvermos esse sistema, encontraremos T A B e T A C (e consequentemente N A B e N A C !)

Bora resolver!

Da segunda equação, encontramos que:

T A C = 3 * T A B

Substituindo esse valor de T A C na primeira equação:

1 2 T A B + 3 2 3 * T A B = P

1 2 T A B + 3 2 T A B = P

2 T A B = P

T A B = P / 2

Como P = 50   l b f :

T A B = 25   l b f

Substituindo esse valor na segunda equação do sistema:

1 2 T A C = 3 2 ( 25   l b f )

T A C = 3 * 25   l b f

T A C = 43,3   l b f

Pronto! Agora podemos dizer que encontramos N A B = T A B = 25   l b f e N A C = T A C = 43,3   l b f !

Passo 5

Calculando as áreas das seções transversais das hastes com a fórmula A = π d 2 / 4 :

A A B = π d A B 2 / 4

&

A A C = π d A C 2 / 4

Como d A B = 0,5   p o l :

A A B = π 0,5   p o l 2 / 4

A A B = 0,196   p o l 2

E como d A C = 0,4   p o l :

A A C = π 0,4   p o l 2 / 4

A A C = 0,126   p o l 2

Passo 6

Temos as forças internas N e as áreas A ! Hora de calcular as tensões:

σ A B = N A B A A B

&

σ A C = N A C A A C

Substituindo os valores encontrados nos últimos dois passos:

σ A B = 25   l b f 0,196   p o l 2 = 128 l b f p o l 2

&

σ A C = 43,3   l b f 0,126   p o l 2 = 344 l b f p o l 2

Passo 7

Calculadas as tensões, vemos como a maior tensão é σ A C = 344   l b f / p o l 2 , mas, antes de anunciar o resultado do problema, temos mais uma coisa para observar!

Existe uma unidade utilizada para pressão e tensão chamada p s i . O nome dessa unidade vem do inglês pounds(-force) per square inch.

Traduzindo para o português, fica libras-força por polegadas ao quadrado, que é exatamente o que temos no nosso resultado.

Isso significa que podemos reescrever nosso resultado assim:

σ A C = 344   p s i

Resposta

σ m á x = σ A C = 344   p s i

Exercício Resolvido #10

Enunciado

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 39-1.8.

Sabendo que a porção central da barra B D tem uma área de seção transversal uniforme de 800   m m 2 , determine a intensidade da carga P para qual a tensão normal naquela parte de B D é 50   M P a .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Inicialmente, vamos ignorar o desenho e começar prestando atenção no enunciado do exercício.

A barra B D possui uma tensão normal média σ B D = 50   M P a e uma área de seção transversal A B D = 800   m m 2 .

Com essas informações, nós podemos aplicar a equação da tensão normal média ( σ = N / A ) na barra B D para encontrar a força normal interna N B D :

σ B D = N B D / A B D

N B D = σ B D * A B D

Só tem um problema, o exercício não quer saber o valor da força N B D na situação em que σ B D = 50   M P a , ele quer saber o valor da força P nessa situação.

Então vamos observar o desenho: como é que a força P se relaciona com o que está ocorrendo na barra B D ?

A barra B D está apoiando a barra curva A B C , contribuindo de alguma forma para o seu equilíbrio.

Esse apoio se dá através de uma força de apoio F B que pode estar na direção da barra B D ou em outra direção, como mostra a imagem:

Como a barra B D deve se manter em equilíbrio, concluímos que F B está na direção da barra.

Por outro lado, como a barra curva A B C deve se manter em equilíbrio, a força F B D deve gerar, em relação ao ponto C , um momento contrário ao momento gerado pela força P .

Esse equilíbrio de momentos vai relacionar P e F B .

Mas espera aí, a força F B , desse jeito, na direção da barra B D , realizando compressão, gera uma força interna normal N B D de mesma intensidade:

F B = N B D

Então o equilíbrio de momentos vai nos permitir relacionar P e N B D .

E N B D nós já vamos ter descoberto usando a equação da tensão normal média e assim vamos resolver o exercício!

Passo 2

Vamos começar calculando a força interna N B D a partir da equação da tensão normal média:

σ B D = N B D / A B D     N B D = σ B D * A B D

Como σ B D = 50   M P a e A B D = 800   m m 2 :

N B D = ( 50   M P a ) ( 800   m m 2 )

Lembrando que M P a = N / m m 2 , chegamos ao resultado:

N B D = 40000   N = 40   k N

Passo 3

O próximo passo é relacionar P e F B = N B D = 40   k N através do equilíbrio de momentos da barra curva A B C .

Para fazer isso, vamos desenhar o Diagrama de Corpo Livre de A B C :

Para fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C , vamos querer decompor a força F B em suas componentes vertical e horizontal, para que os seus braços sejam fáceis de calcular.

Para facilitar o cálculo do braço da força P , já vamos também deixar calculado a distância entre as linhas horizontais que passam pelos pontos A e B .

Com essas duas mudanças, o diagrama de corpo livre de A B C fica assim:

Realizando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C :

M C = 0

P 0,7   m + 1,4   m - F B x 1,4   m - F B y 1,4   m = 0

P 2,1   m = ( 1,4   m ) ( F B x + F B y )

P = 2 3 ( F B x + F B y )

Substituindo F B x = ( 40   k N ) * c o s   θ e F B y = ( 40   k N ) * s e n   θ :

P = 2 3 ( 40   k N ) ( s e n   θ + cos θ )

A única coisa que nos falta agora é encontrar os valores de s e n   θ e c o s   θ .

Passo 4

O ângulo θ é o ângulo que a força F B faz em relação à horizontal, e, consequentemente, é o ângulo que a barra B D faz em relação a horizontal:

Dessa imagem, podemos calcular o valor de seno e cosseno de θ em função do comprimento B D - da barra:

s e n   θ = 1,92 / B D -

&

c o s   θ = 0,56 / B D -

O valor de B D - pode ser encontrado pelo teorema de Pitágoras:

B D - 2 = 1,92 2 + 0,56 2

B D - 2 = 4

B D - = 2

Com isso, encontramos s e n   θ e c o s   θ :

s e n   θ = 1,92 2 = 0,96

&

c o s   θ = 0,56 2 = 0,28

Passo 5

Voltando para a equação que tínhamos encontrado anteriormente:

P = 2 3 40   k N s e n   θ + cos θ

Substituindo os valores de s e n   θ e c o s   θ :

P = 2 3 40   k N 0,96 + 0,28

Resposta

P = 33,1   k N

Exercício Resolvido #11

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.44.

A luminária de 250   N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A . Determine o ângulo de orientação θ de A C de modo que a tensão normal média na haste A C seja duas vezes a tensão normal média na haste A D .

Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O ponto A está sobre ação de três forças de tração que correspondem às forças internas N nas três hastes:

O valor de uma dessas forças foi dado pelo exercício: a haste A B deve exercer uma força de tração suficiente para sustentar a luminária de 250   N no ponto B .Isso significa que:

N A B = T A B = 250   N

O exercício quer saber qual o ângulo θ para que σ A C = 2 * σ A D . O exercício também quer saber os valores de σ A B = N A B / A A B , σ A C = N A C / A A C e = N A D / A A D nesse caso.

As áreas A A B , A A C e A A D podem ser calculadas a partir dos diâmetros d A B = 9   m m , d A C = 6   m m e d A D = 7,5   m m .

Mais e aí? Como vamos encontrar θ ?

  1. Vamos ter que fazer o equilíbrio de forças no ponto A . Isso vai gerar um sistema de equações.
  2. Desse sistema de equações vamos encontrar N A C , N A D em função de θ ;
  3. Com isso e com as áreas A A C e A A D já calculadas, vamos encontrar σ A C e σ A D também em função de θ ;
  4. Finalmente, vamos usar a relação σ A C = 2 * σ A D para encontrar o valor de θ !

Passo 2

Começando pelo cálculo das áreas A das seções transversais usando a fórmula da área circular π d 2 / 4 :

A A B = π d A B 2 / 4

A A C = π d A C 2 / 4

&

A A D = π d A D 2 / 4

Substituindo o valor dos diâmetros:

A A B = π 9   m m 2 / 4   A A B = 63,6   m m 2  

A A C = π 6   m m 2 / 4   A A C = 28,3   m m 2

&

A A D = π 7,5   m m 2 / 4   A A D = 44,2   m m 2

Passo 3

Agora é hora do equilíbrio de forças no ponto A :

Com ajuda da imagem acima, conseguimos fazer o equilíbrio de forças na vertical e na horizontal.

Só precisamos tomar o cuidado de decompor devidamente as forças N A D e N A C em suas componentes em x e em y !

Para a vertical, o equilíbrio de forças fica assim:

F V = 0

N A D y + N A C y - N A B = 0

N A D y + N A C y = N A B

Calculando as componentes e substituindo N A B = 250   N :

N A D * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N

Vamos guardar essa equação para o nosso futuro sistema de equações!

E agora, o equilíbrio de forças para a horizontal:

F H = 0

N A C x - N A D x = 0

N A C x = N A D x

Calculando as componentes:

N A C * cos θ = N A D * cos 45 °

Com isso, nosso sistema de equações fica pronto:

N A D * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N N A C * cos θ = N A D * cos 45 °

Passo 4

Para resolver o sistema, vamos isolar N A D na segunda equação:

N A D = N A C cos θ cos 45 °

Substituir esse valor na primeira equação:

N A C cos θ cos 45 ° * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N

Pegar essa nova expressão e isolar N A C :

N A C cos θ * s e n   45 ° cos 45 ° + s e n   θ = 250   N

Como s e n   45 ° / c o s   45 ° = t g   45 ° :

N A C cos θ * t g   45 ° + s e n   θ = 250   N

N A C = 250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

E com N A C encontrado em função de θ , podemos substituir esse valor na segunda equação do nossos sistema para encontrar N A D em função de θ :

250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ * cos θ = N A D * cos 45 °

250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ cos θ = N A D * cos 45 °

Como s e n   θ / c o s   θ = t g   θ :

250   N t g   45 ° + t g   θ = N A D * cos 45 °

Continuando a isolar N A D :

N A D = 250   N t g   45 ° + t g   θ * 1 cos 45 °

N A D = 250   N s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Pronto! Agora temos N A C e N A D em função de θ .

Passo 5

Sistema resolvido! Hora de encontrar as tensões normais médias σ = N / A nas hastes A C e A D :

σ A C = N A C A A C

&

σ A D = N A D A A D

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores:

σ A C = 250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ 28,3   m m 2  

&

σ A D = 250   N s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 ° 44,2   m m 2

Simplificando através da divisão dos 250   N pelas áreas em m m 2 :

σ A C = 8,83   N / m m 2 cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   N / m m 2 s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Mas lembra aí: N / m m 2 = M P a , então:

σ A C = 8,83   M P a cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   M P a s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Passo 6

Tensões encontradas, hora de usar a relação do enunciado do exercício:

σ A C = 2 * σ A D

8,83   M P a cos θ * t g   45 ° + s e n   θ = 2 * 5,66   M P a s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Vamos deixar os números de um lado da equação e as “trigonometrias” do outro:

s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 ° cos θ * t g   45 ° + s e n   θ = 2 * 5,66   M P a 8,83   M P a

Isso está um pouco assustador, então vamos começar pelo fácil: fazer a divisão do lado direito e substituir os valores de seno, cosseno e tangente de 45 ° .

( 2 / 2 ) + t g   θ * ( 2 / 2 ) cos θ * 1 + s e n   θ = 2 * 0,641

Colocando em evidência o ( 2 / 2 ) do lado esquerdo e realizando a multiplicação do lado direito:

2 2 1 + t g   θ cos θ + s e n   θ = 1,282

Mais uma vez, vamos deixar todos os números do mesmo lado da equação:

1 + t g   θ cos θ + s e n   θ = 1,282 * 2 2

1 + t g   θ cos θ + s e n   θ = 1,813

E agora? Parece que não temos mais nenhuma operação simples para fazer.

Pensa bem, na verdade tem mais uma: substituir t g   θ por s e n   θ / c o s   θ .

1 + s e n   θ cos θ cos θ + s e n   θ = 1,813

Passando o 1 para dentro do s e n   θ / c o s   θ :

cos θ + s e n   θ cos θ cos θ + s e n   θ = 1,813

Cortando ( cos θ + s e n   θ ) em cima e em baixo:

1 cos θ = 1,813

No final, deu tudo certo!

Isolando cos θ :

1 1,813 = cos θ

cos θ = 0,552

Finalmente, usando a função a r c c o s ou c o s - 1 da sua calculadora, encontramos que:

θ = 56,5 °

Passo 7

Com o ângulo θ encontrado, agora só falta calcular as tensões em cada haste.

Usando a fórmula da tensão normal média para a tensão na haste A B , σ A B :

σ A B = N A B A A B

Substituindo os valores N A B = 250   N e A A B = 63,6   m m 2 :

σ A B = 250   N 63,6   m m 2

σ A B = 3,93   M P a

Para às tensões σ A C e σ A D , vamos voltar às expressões encontradas no final do passo 5:

σ A C = 8,83   M P a cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   M P a s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Como t g   45 ° = 1 e s e n   45 ° = cos 45 ° = 2 / 2 :

σ A C = 8,83   M P a cos θ + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   M P a 2 2 1 + t g   θ

Substituindo θ = 56 , 5 ° e fazendo os cálculos necessários em uma calculadora, encontramos:

σ A C = 6,37   M P a

&

σ A D = 3,19   M P a

Resposta

θ = 56,5 °

σ A B = 3,93   M P a

σ A C = 6,37   M P a

σ A D = 3,19   M P a

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