Tensão Normal Média
Teoria
Opa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre Tensão Normal?
O que é Tensão Normal?
Antes de te responder isso, eu vou te dar um exemplo…Se lembra daqueles filmes e desenhos americanos em que as crianças tinham casas da árvore?
![Casa na árvore](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/1ba034bc-c436-4107-8b54-308f3c4028df.webp)
Eu não se você, mas eu sempre quis ter uma! Então vamos imaginar que esse dia chegou, hoje vamos construir uma casa na árvore!
-Mas per aí, quanto peso a árvore suporta sem quebrar?!
Isso vai depender de diversos fatores, como:
- Intensidade da força de compressão;
- Propriedades mecânicas do tronco;
- Área da seção transversal do tronco.
Esse último tópico tem tudo a ver com o que vamos estudar hoje! Bora entender isso melhor?
Conceito de Tensão Normal
Tensão
Ela é bem comum sim, mas o nome não vem daí! A tensão normal tem esse nome pois ela só depende das forças normais, ou seja…das forças perpendiculares a sua área transversal. Saca só:
![Força normal](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/cafc4287-7071-46dd-ab89-1fbcea1779ee.webp)
E o que isso te lembra? SIM, o tronco da nossa árvore! 😍 No nosso exemplo terá uma força de compressão, que vem do peso da casinha e das pessoas dentro dela e o solo responde com uma força de mesmo módulo:
![Exemplo: Força Normal](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/4396f422-7110-4a85-834e-d3b8bc42124f.webp)
Estamos mais perto de descobrir como faremos pra construir nossa casa na árvore sem riscos de acidentes! ⚠️
Tensão Normal Média: Fórmula
A tensão normal média é dada pela divisão da força normal, que é igual à força aplicada perpendicularmente a sua secção transversal e a área da seção transversal da coluna.
A força normal resultante é calculada por uma análise de esforços internos e a área da seção transversal, calculada a partir de dimensões da peça como o seu diâmetro!
Agora sim, podemos calcular quanto peso a nossa árvore aguenta! 👇
Exemplo: Determine a Tensão Normal
Pra fechar, confere esse exemplo resolvido em vídeo!
Agora vamos praticar com exercícios?
Exemplo: Determine a Tensão Normal
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
O Dexter, mascote do Responde Aí, possui massa de . Ele estava de bobeira por aí quando de repente viu um caixote, também de bobeira. O Dexter, hiperativo, nem pensou duas vezes e pulou em cima do caixote.
A seção transversal do caixote é quadrada e possui de lado, como mostra a figura abaixo:
Qual a tensão normal média, em , exercida pelo Dexter no caixote? Considere .
Passo 1
O peso do Dexter exerce uma força no caixote, que possui um topo quadrado de lado :
Essa força gera um esforço interno normal no caixote. Esse esforço interno gera uma tensão normal média . Precisamos encontrar essa tensão .
Sabemos que , e .
Passo 2
Da fórmula da tensão normal média, temos que:
Como e como a área é uma área quadrada de lado :
Substituindo os valores de , e :
O exercício quer um resultado em , então vamos pensar:
- é um newton ();
- E dá pra reescrever como ,
então isso fica assim:
Calculando a parte de baixo:
Calculando tudo, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 21-3.
Determinar a tensão normal de compressão mútua (ou tensões de “contato” ou tensão de “esmagamento”) da figura entre:
- o bloco de madeira de seção e a base de concreto ;
- a base de concreto e o solo.
Passo 1
O exercício quer saber a tensão normal de compressão nos materiais na superfície de contato entre eles.
Em ambos os casos, a força que gera a compressão é a mesma força de .
No item a), a seção de contato é igual a seção do bloco de madeira. Já no item b), a seção de contato é igual a seção da base de concreto.
Passo 2
Já sabendo a força e a área da seção de interesse, é só aplicar a fórmula de tensão normal.
Para o item a), fica assim:
Como, no geral, preferimos resultados em , podemos converter as dimensões da nossa seção de milímetros para metros. Lembrando que , então
Passo 3
Para o item b), já colocando direto as dimensões da seção em metros, da mesma forma que fizemos antes, a fórmula da tensão normal fica assim:
Resposta
- .
- .
Exercício Resolvido #3
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 25-1.34.
A coluna está sujeita a uma força axial de aplicada no centroide da área da seção transversal. Determine a tensão normal média que age na seção . Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da área.
Passo 1
A tensão normal média , pedida pelo exercício, é dada pela divisão da força normal interna (que é igual à força aplicada de ) e a área da seção transversal da coluna.
Para calcular a área , devemos observar sua geometria:
Da imagem, vemos que a área é composta por duas áreas “vermelhas” de largura e comprimento , e uma área “azul” de largura e comprimento .
Sendo assim:
Usando a fórmula da tensão normal média:
Como :
Resposta
A distribuição de tensão sobre a seção transversal é uniforme:
Exercício Resolvido #4
Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 38-1.5.
Um medidor de deformação localizado em na superfície do osso indica que a tensão normal média no osso é , quando o osso está submetido a duas forças de como mostra a figura.
Supondo que a seção transversal do osso em seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é , determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em .
Passo 1
As duas forças de geram esforços internos dentro do osso. Podemos fazer uma seção em e ver como, para garantir o equilíbrio, o esforço interno normal é igual a .
Esse esforço interno gera uma tensão normal média na seção transversal , que possui um formato de anel, como mostra a figura abaixo:
O exercício nos pede para descobrir o valor do diâmetro interno .
Precisamos primeiro encontrar qual é a área que a seção transversal deve ter, e, em seguida, relacionar essa área com .
Passo 2
Para que o esforço interno gere uma tensão , a seção transversal deve ter uma determinada área , como mostra a fórmula da tensão normal média:
Isolando a área :
Como :
Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
A área da seção transversal é igual a área do círculo maior menos a área do círculo menor.
Mas lembra aí, a área do círculo é , onde é o raio do círculo. Como o raio é metade do diâmetro, podemos reescrever essa área do círculo como , ou, melhor ainda, !
Assim conseguimos calcular as áreas dos círculos maior e menor, e, consequentemente, calcular a área da seção, que é a diferença entre as áreas do círculo:
Queremos encontrar , então vamos isolá-lo!
Substituindo o valor fornecido de e o valor encontrado para a área :
Calculando tudo, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.40.
O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir , determine a maior carga vertical aplicada no centro que ele pode suportar.
Passo 1
Para que o material não falhe, é necessário que a tensão normal média seja menor que o seu valor máximo admissível :
Como e o esforço interno normal é igual a carga vertical externa :
O valor máximo de ocorre quando essa expressão é uma expressão de igualdade:
Precisamos calcular o valor da área da seção transversal do bloco para poder encontrar . Para tanto devemos observar a geometria da seção:
Passo 2
Primeiro, calculamos a área .
Na imagem acima vemos como a área da seção transversal do bloco pode ser dividida em áreas menores que se repetem.
Temos duas faixas longas iguais (pintadas de vermelho na imagem) e três “pontes” iguais (pintadas de azul).
Aproveitando essa simplificação, o cálculo da área fica assim:
Passo 3
Agora que temos a área, podemos voltar para a expressão que havíamos encontrado anteriormente:
Substituindo os valores de e :
Se lembrarmos que , podemos simplificar as unidades:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston, Jr., John T. DeWolf, Resistência dos materiais: mecânica dos materiais, 4ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2010, pp. 17-1.1.
Duas barras circulares maciças são soldadas no ponto , como mostra a figura. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.
Passo 1
Se a gente se lembrar da fórmula da tensão normal (), vamos ver como, para determinar as tensões normais médias de cada barra, precisamos saber:
- a força interna normal em cada barra;
- e a área da seção transversal de cada barra.
Então vamos pensar!
Quanto às forças internas: A barra está sobre ação somente da força de , então . Já a barra está sobre ação das forças de e , ou seja, .
E quanto às áreas das seções? Os diâmetros e podem ser usados para encontrar as áreas e .
Passo 2
Para a barra :
Para a área, vamos nos lembrar de que a área do círculo em função do seu diâmetro é :
Substituindo e :
Resultados assim em (também conhecido como ) não são muito comuns. Para resolver isso, podemos reescrever a força de como . Aí o resultado sai em (ou ):
Calculando tudo, isso dá:
Passo 3
Para a barra :
Mais uma vez, vamos escrever:
- a força interna em newtons (para que o nosso resultado saia em );
- a área do círculo em função do seu diâmetro ().
Com isso, a equação anterior fica assim:
Como :
Calculando tudo, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 26-1.37.
O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos , e .
Passo 1
Para calcular as tensões normais médias , precisamos encontrar o módulo das forças normais internas e o valor das áreas de cada seção transversal.
As áreas podem ser encontradas a partir dos diâmetros fornecidos , e .
Para encontrar as forças internas, vamos precisar nos lembrar da matéria de esforços internos: vamos ter que realizar seções em , e , fazer o diagrama de corpo livre (“DCL”) dessas seções e avaliar as condições de equilíbrio.
Passo 2
Vamos começar calculando as áreas de cada seção!
As 3 seções transversais são circulares e nos foi fornecido os seus diâmetros , então podemos usar a fórmula de área do círculo .
Para a seção , temos:
Para a seção :
E finalmente para :
Passo 3
Agora vamos ter que calcular as forças internas em cada uma das 3 seções: , e .
Nesse exercício, só importa para a gente a intensidade da força interna (não precisamos nos preocupar com a direção ou sinal dessa força.)
Isso significa que podemos fazer uma análise um pouco mais “nas coxas”:
- Para cada seção, escolhemos entre fazer o DCL da parte da peça superior à seção (como foi feito com as seções e na imagem abaixo) ou fazer o DCL da parte inferior à seção (como feito para a seção ).
- Em cada DCL, desenhamos as forças externas (em azul na imagem) atuantes nessa parte da peça. Depois desenhamos forças internas (em vermelho) de forma a balancear as forças externas e destacamos os valores encontrados para elas.
Na prática, essa análise fica assim:
Passo 4
Agora temos tudo em mãos para calcular as tensões com a fórmula .
Para a seção , e :
Para , e :
E finalmente, para , e :
Resposta
Exercício Resolvido #8
Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 38-1.1.
Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia e são soldadas uma à outra em e submetidas a um carregamento conforme a figura. Determine a intensidade da força para a qual a tensão normal de tração na barra é duas vezes a intensidade da tensão de compressão da barra .
Passo 1
O exercício quer descobrir para que valor da força a relação a seguir é satisfeita:
Para calcular as tensões normais e , utilizaremos os seguintes dados:
- , uma vez que a barra está submetida somente à força de tração ;
- , uma vez que a barra está majoritariamente sobre compressão por parte das duas forças de , mas ainda está submetido também à força de tração ;
- , .
Como e estão em função de , as duas tensões, e , também vão ficar em função de .
Isso significa que quando usarmos a relação , vamos ter que manipular a expressão para isolar a força e descobrir o valor que ela deve ter.
Passo 2
A primeira coisa a fazer nesse exercício é calcular as tensões em e usando a fórmula da tensão normal média.
Para a barra , fica assim:
Já sabemos que .
Quanto à área , as barras possuem seção transversal circular, então podemos encontrar as áreas através da expressão . Como :
Não vamos simplificar mais essa expressão no momento pois essa tensão vai ser relacionada depois com a tensão , que também vai ter os termos “”, “” e “” na mesma posição.
Ou seja, vamos poder cortar esses termos com facilidade depois, como mostra a imagem abaixo:
Para a barra , como e :
Passo 3
Agora, aplicamos a relação :
Simplificando:
Isolando :
Calculando, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #9
Lista de Exercício - Prof. Willian - Universidade Catolica Dom Bosco - Exercicio 1.36.
A luminária de é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em . Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal média e calcular seu valor. Sabemos que . O diâmetro de cada haste é dado na figura.
Passo 1
Para descobrir qual haste está sujeita à maior tensão normal média, vamos precisar calcular a tensão em cada haste.
Então, para calcular essas tensões , vamos precisar da força interna em cada haste e da área da seção transversal de cada haste.
As hastes estão sendo tracionadas para suportar o peso da luminária . Se fizermos um equilíbrio de forças no ponto , vamos descobrir o valor das forças de tração nas hastes:
Como as hastes só sofrem essas forças de tração, podemos garantir que as forças internas serão iguais a essas forças de tração. Daí encontramos que e .
Já para encontrar as áreas e , vamos ter que usar os diâmetros fornecidos: e .
Passo 2
Para encontrar as forças de tração e consequentemente as forças internas , vamos voltar para o diagrama de forças no ponto :
Lembra aí, o equilíbrio de forças acontece quando o somatório de forças é igual a zero ().
Um jeito de ver isso é vendo se a soma das forças na vertical dá zero () e se a soma das forças na horizontal dá zero ().
Para fazer essas somas, vamos ter que decompor as trações em suas componentes verticais e horizontais.
Isso significa ter que usar seno e cosseno para encontrar essas componentes, como mostra a imagem abaixo:
Passo 3
Com a decomposição das forças já feita, agora podemos fazer os equilíbrios de forças na vertical e na horizontal!
Equilíbrio de forças na vertical:
Como na vertical temos as componentes verticais de e apontando para cima e a força peso apontando para baixo, essa expressão acima fica assim:
Como encontramos na decomposição das trações que e :
Vamos guardar essa equação por enquanto!
Em seguida vem o equilíbrio de forças na horizontal:
Como na horizontal temos a componente horizontal de apontando para a direita e a componente horizontal de apontando para a esquerda:
Substituindo os valores e encontrados na decomposição de forças
Vamos também guardar essa equação!
Passo 4
As duas equações que guardamos no passo anterior compõem um sistema de equações:
Se resolvermos esse sistema, encontraremos e (e consequentemente e !)
Bora resolver!
Da segunda equação, encontramos que:
Substituindo esse valor de na primeira equação:
Como :
Substituindo esse valor na segunda equação do sistema:
Pronto! Agora podemos dizer que encontramos e !
Passo 5
Calculando as áreas das seções transversais das hastes com a fórmula :
Como :
E como :
Passo 6
Temos as forças internas e as áreas ! Hora de calcular as tensões:
Substituindo os valores encontrados nos últimos dois passos:
Passo 7
Calculadas as tensões, vemos como a maior tensão é , mas, antes de anunciar o resultado do problema, temos mais uma coisa para observar!
Existe uma unidade utilizada para pressão e tensão chamada . O nome dessa unidade vem do inglês pounds(-force) per square inch.
Traduzindo para o português, fica libras-força por polegadas ao quadrado, que é exatamente o que temos no nosso resultado.
Isso significa que podemos reescrever nosso resultado assim:
Resposta
Exercício Resolvido #10
Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 39-1.8.
Sabendo que a porção central da barra tem uma área de seção transversal uniforme de , determine a intensidade da carga para qual a tensão normal naquela parte de é .
Passo 1
Inicialmente, vamos ignorar o desenho e começar prestando atenção no enunciado do exercício.
A barra possui uma tensão normal média e uma área de seção transversal .
Com essas informações, nós podemos aplicar a equação da tensão normal média () na barra para encontrar a força normal interna :
Só tem um problema, o exercício não quer saber o valor da força na situação em que , ele quer saber o valor da força nessa situação.
Então vamos observar o desenho: como é que a força se relaciona com o que está ocorrendo na barra ?
A barra está apoiando a barra curva , contribuindo de alguma forma para o seu equilíbrio.
Esse apoio se dá através de uma força de apoio que pode estar na direção da barra ou em outra direção, como mostra a imagem:
Como a barra deve se manter em equilíbrio, concluímos que está na direção da barra.
Por outro lado, como a barra curva deve se manter em equilíbrio, a força deve gerar, em relação ao ponto , um momento contrário ao momento gerado pela força .
Esse equilíbrio de momentos vai relacionar e .
Mas espera aí, a força , desse jeito, na direção da barra , realizando compressão, gera uma força interna normal de mesma intensidade:
Então o equilíbrio de momentos vai nos permitir relacionar e .
E nós já vamos ter descoberto usando a equação da tensão normal média e assim vamos resolver o exercício!
Passo 2
Vamos começar calculando a força interna a partir da equação da tensão normal média:
Como e :
Lembrando que , chegamos ao resultado:
Passo 3
O próximo passo é relacionar e através do equilíbrio de momentos da barra curva .
Para fazer isso, vamos desenhar o Diagrama de Corpo Livre de :
Para fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto , vamos querer decompor a força em suas componentes vertical e horizontal, para que os seus braços sejam fáceis de calcular.
Para facilitar o cálculo do braço da força , já vamos também deixar calculado a distância entre as linhas horizontais que passam pelos pontos e .
Com essas duas mudanças, o diagrama de corpo livre de fica assim:
Realizando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :
Substituindo e :
A única coisa que nos falta agora é encontrar os valores de e .
Passo 4
O ângulo é o ângulo que a força faz em relação à horizontal, e, consequentemente, é o ângulo que a barra faz em relação a horizontal:
Dessa imagem, podemos calcular o valor de seno e cosseno de em função do comprimento da barra:
O valor de pode ser encontrado pelo teorema de Pitágoras:
Com isso, encontramos e :
Passo 5
Voltando para a equação que tínhamos encontrado anteriormente:
Substituindo os valores de e :
Resposta
Exercício Resolvido #11
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.44.
A luminária de é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em . Determine o ângulo de orientação de de modo que a tensão normal média na haste seja duas vezes a tensão normal média na haste .
Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura.
Passo 1
Galera, para começar esse problema que tal fazermos um diagrama de corpo livre? O ponto está sobre ação de três forças de tração:
O valor de uma dessas forças foi dado pelo exercício: a haste deve exercer uma força de tração suficiente para sustentar a luminária de no ponto . Isso significa que:
A partir daí vamos analisar quais serão as tensões internas e também vamos utilizar um pouquinho de trigonometria para resolver este problema, beleza?
Lembre-se que o exercício quer saber qual o ângulo para que . O exercício também quer saber os valores de , e nesse caso.
Passo 2
Que tal lembramos agora então a definição da tensão normal? É basicamente a força normal sobre a área:
Gente, nesse caso as trações são as próprias forças normais ok? Porque atuam no sentido axial. E são todas trativas porque esticam as hastes. Então vamos ter o seguinte:
Show de bola!
Mais e aí? Como vamos encontrar ?
- Vamos ter que fazer o equilíbrio de forças no ponto . Isso vai gerar um sistema de equações.
- Desse sistema de equações vamos encontrar , em função de ;
- Com isso e com as áreas e já calculadas, vamos encontrar e também em função de ;
- Finalmente, vamos usar a relação para encontrar o valor de !
Passo 3
Agora é hora do equilíbrio de forças no ponto :
Com ajuda da imagem acima, conseguimos fazer o equilíbrio de forças na vertical e na horizontal.
Só precisamos tomar o cuidado de decompor devidamente as forças e em suas componentes em e em !
Para a vertical, o equilíbrio de forças fica assim:
Calculando as componentes e substituindo :
Vamos guardar essa equação para o nosso futuro sistema de equações!
E agora, o equilíbrio de forças para a horizontal:
Calculando as componentes:
Com isso, nosso sistema de equações fica pronto:
Substituindo os valores de e nós vamos ter:
Reorganizando:
Passo 4
Pessoal, até dá para resolver esse sistema “na marra” mas vamos fazer de uma forma mais esperta. Para isso vamos trazer a seguinte relação:
Agora temos de calcular as áreas. As áreas , e podem ser calculadas a partir dos diâmetros , e .
Começando pelo cálculo das áreas das seções transversais usando a fórmula da área circular :
Substituindo o valor dos diâmetros:
Então se a gente substituir essas áreas na relação de tensões vamos ter:
Agora olha só o nosso sistema:
Substituindo a relação entre e encontrada na segunda equação vamos ter:
Logo,
Então já achamos a primeira parte do problema que é achar o ângulo . Agora temos de encontrar as tensões.
Passo 5
Com o ângulo encontrado, agora só falta calcular as tensões em cada haste. Para isso vamos precisar das tensões e . Para isso vamos substituir no nosso sistema:
Nós já sabemos que
Então vamos substituir na primeira equação junto com o valor do :
E o valor de será dado por:
Passo 6
Agora é só utilizar a equação da tensão normal média. Usando a fórmula da tensão normal média para a tensão na haste , :
Substituindo os valores e :
Para vamos ter:
Nós já temos a área e a força :
Substituindo:
E para :
A área e força são dadas por:
Substituindo: