Teoria Completa
Introdução
Vamos dizer que a gente quer estudar o eixo abaixo, que tem um raio e duas hastes laterais no ponto :
Um dos jeitos que a gente pode carregar esse eixo é aplicando uma carga axial nele:
Nesse caso, sabemos que:
- Essa força axial vai gerar ao longo do eixo uma força interna normal ;
- E que essa força interna normal vai gerar uma tensão normal no eixo.
Agora, outra forma que a gente pode carregar esse eixo é aplicando um torque nele, como na imagem abaixo:
Olha só...
Fazendo o somatório de forças na vertical, essas duas forças vão se cancelar.
Mas isso não impede cada uma dessas duas forças de gerar no eixo principal um torque .
Dessa forma, vamos ter um torque resultante no ponto do eixo:
Aí aqui surge uma dúvida... 😯
Se um carregamento axial gera uma força interna normal e uma tensão normal numa peça, o que é que esse torque vai gerar no nosso eixo?
Como é a tensão gerada por esse torque?
Torque Interno
Bom...
Acabamos de revisar um pouco acima que a primeira coisa que uma força axial gera em um eixo é uma força interna ao longo de todo o eixo.
Então a primeira coisa que o nosso torque externo vai gerar no nosso eixo vai ser um torque interno ao longo de todo o eixo.
Ou seja, se olharmos para uma seção transversal qualquer do nosso eixo, vamos encontrar esse torque interno :
Beleza...
E o que é que esse torque interno vai causar na nossa peça?
Deformação devido ao Torque
Para responder isso, vamos ter que desenhar uma linha reta passando pela nossa peça e por uma seção transversal dela:
À medida que a nossa peça for carregada com o torque externo e tiver que resistir ao torque interno gerado nela, essa linha reta vai se deformar assim:
E isso nos mostra que, na seção transversal do eixo:
- O centro do eixo não sofre nenhuma deformação;
- Os pontos mais externos do eixo, distantes do centro pelo raio , vão sofrer uma deformação máxima;
- E qualquer outro ponto, distante do centro por um raio (), vai sofrer uma deformação que cresce linearmente com o aumento de ,
Como mostra a imagem abaixo:
Agora, pensa aí...
Essa deformação que estamos vendo ocorre nas faces das seções transversais do nosso eixo.
E a gente sabe que tensão e deformação normal são aquelas que ocorrem na direção normal das seções transversais de uma peça.
O que acontece nas faces das seções transversais, é tensão (e deformação) cisalhante.
Então daqui, já conseguimos concluir que a tensão que um torque gera em um eixo é uma tensão cisalhante, representada pela letra grega (“tau”).
Distribuição de Tensão
Em seguida, podemos pensar o seguinte:
Se a deformação na seção transversal do nosso eixo cresce linearmente à medida que a gente se afasta do centro, o mesmo deve acontecer para a tensão.
E na prática, é isso mesmo que acontece.
Então se a gente for visualizar a distribuição de tensão cisalhante ao longo de uma linha qualquer em uma seção transversal do nosso eixo, vamos ver a distribuição triangular abaixo:
Onde a distribuição de tensão varia de em até em .
E caso o nosso eixo fosse vazado com um raio interno , a distribuição continuaria com esse aspecto triangular, mas variaria de em até em :
Ok! 👍
E se a gente precisar calcular a tensão em um ponto do nosso eixo ou até a tensão máxima nele?
Fórmula da Torção
Para isso, existe a fórmula da torção:
Onde:
1. é o torque interno no eixo, também conhecido por alguns livros como o Momento Torsor ;
2. é a distância do ponto que está sendo estudado ao centro do eixo;
& 3. é o “momento polar de inércia” da seção transversal do eixo, que é dado pelas fórmulas:
Muitas vezes, só queremos saber a tensão cisalhante máxima em um eixo, então usamos um caso específico da fórmula da torção em que para encontrar que:
E algumas vezes, vamos querer calcular a tensão mínima em um eixo vazado. Nesses casos, basta aplicar para encontrar que:
Resumo
Para facilitar sua vida, segue um resumo do que você precisa saber para resolver exercícios envolvendo a fórmula da torção:
Pronto!
Agora se você quiser treinar, é só seguir para os exercícios que nós separamos e resolvemos alguns pensando nisso.
Exercício Resolvido #1
Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível . Se o diâmetro do eixo for , determine o torque máximo que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo se fosse feito um furo de de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.
Passo 1
O que está acontecendo?
O exercício quer que a gente estude dois eixos com um diâmetro de : um maciço e um vazado, com um diâmetro interno de .
Sendo assim, esses eixos vão ter:
- Um raio externo ;
- E um raio interno , no caso do eixo vazado.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber qual são os torques máximos e que podem ser transmitidos pelos eixos maciço e vazado, respectivamente.
Esses torques máximos vão ser os torques que vão gerar, de acordo com a fórmula da torção...
...uma tensão de cisalhamento nos eixos igual à tensão de cisalhamento admissível .
Dessa forma, podemos aplicar as condições...
...e desenvolver essas expressões para encontrar os torques máximos e .
Além disso, o exercício ainda quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada eixo.
Passo 2
Vamos começar pelo cálculo do torque máximo no eixo maciço.
Começamos aplicando a condição:
E substituindo a fórmula da torção:
Em seguida, isolamos para encontrar que:
Agora, para calcular o torque máximo , vamos ter que conhecer o momento de inércia polar da seção transversal do nosso eixo.
Então lembra aí!
Para um eixo maciço de raio , a fórmula desse momento de inércia polar é:
Com isso, o nosso torque máximo fica assim:
Simplificando tudo, encontramos que:
Finalmente, substituindo:
- ;
- & ,
- ;
- ;
- & ,
temos que:
O que dá:
Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em :
Passo 3
Em seguida, vamos fazer o cálculo do torque máximo no eixo vazado.
Mais uma vez, começamos aplicando a condição:
E substituindo a fórmula da torção:
Isolando , encontramos que:
E... Lembra aí!
O momento de inércia polar de um eixo vazado de raio externo e raio interno é dado pela fórmula:
Dessa forma, o nosso torque máximo fica assim:
E, simplificando tudo, isso fica assim:
Finalmente, substituindo:
encontramos que:
Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em :
Passo 3
Por fim, vamos esboçar as distribuições da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada eixo.
Então vamos nos lembrar do que vimos na teoria...
Essa distribuição é linear, variando desde no centro dos eixos até (que vai ser igual à nos nossos casos) na superfície externa dos eixos:
Agora, para completar esses esboços, só precisamos calcular qual é a tensão na superfície interna do eixo vazado.
Para isso, usamos a fórmula da torção em sua versão geral, que fornece a tensão em um ponto distante um raio do centro do eixo:
No nosso caso, queremos saber a tensão na superfície interna do eixo vazado, onde , e temos que .
Então essa fórmula fica assim:
Por fim, substituindo:
- ;
- ;
- & ,
encontramos que:
Com isso, os nossos esboços ficam assim:
E assim terminamos o exercício!
Resposta
Exercício Resolvido #2
O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver de diâmetro interno e parede de de espessura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal.
Passo 1
O que está acontecendo?
As forças geram, com braços , um torque de sentido anti-horário () no tubo vazado de alumínio.
Esse tubo tem um diâmetro interno e uma espessura de .
Com isso, conseguimos concluir que:
1. O tubo tem um diâmetro externo , e, consequentemente, um raio externo :
& 2. O tubo tem um raio interno :
E o que é que o exercício quer saber?
Ele quer que a gente calcule a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando as forças são aplicadas.
Para calcular essa tensão máxima, vamos usar a fórmula da torção:
Onde:
- é o torque resultante gerado pelas forças aplicadas;
- & é o momento de inércia polar do tubo vazado, que vai ser dado pela fórmula:
Além de tudo isso, o exercício também quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.
Passo 2
Vamos começar pelo cálculo do torque resultante no tubo.
Esse torque vai ser o somatório dos torques causados por cada força .
E como essas forças possuem um braço , o torque causado por elas vai ser igual à .
Sendo assim, vamos ter que:
O que significa que:
Passo 3
Calculado o torque resultante no tubo, podemos seguir para o cálculo da tensão de cisalhamento máxima .
Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:
Substituindo a expressão encontrada no Passo 2 para e a fórmula indicada no Passo 1 para , temos que:
E, arrumando tudo, isso fica assim:
Com isso, só falta substituir os valores:
- ;
- ;
- ;
- & ,
Para encontrarmos que:
Substituindo por e fornecendo o resultado final com três algarismos significativos, temos que:
Passo 4
Por último, para finalizar o exercício, vamos fazer o esboço da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.
Sabendo que essa distribuição varia linearmente:
- Desde no ponto central do tubo;
- Até na superfície externa do tubo,
Esse esboço fica assim:
Agora, esse esboço está incompleto porque a gente não sabe qual o valor da tensão na superfície interna do tubo vazado.
Para calcular a tensão em uma região de raio de um eixo, podemos usar a fórmula:
(Lembra? Essa fórmula pode ser obtida combinando as fórmulas e .)
Substituindo , e , conseguimos definir o valor da tensão na superfície interna:
Dessa forma, o nosso esboço final fica assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
O sistema da figura é constituído por um eixo de seção transversal cheia e com uma tensão de cisalhamento admissível de , e por um tubo feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de .
Determine o maior torque que pode ser aplicado em , sem que a tensão de cisalhamento admissível do material do tubo seja excedida e o valor correspondente necessário para o diâmetro do eixo .
Passo 1
O que está acontecendo?
O eixo maciço possui uma tensão de cisalhamento admissível e um raio , onde é o seu diâmetro.
Já o tubo tem:
- Uma tensão de cisalhamento admissível ;
- Um diâmetro externo de , e, consequentemente, um raio externo ;
- Uma espessura ;
- E um raio interno .
Eles estão submetidos a um torque .
E o que é que o exercício quer?
No item , ele quer saber o maior torque que pode ser aplicado sem que a tensão de cisalhamento do tubo seja excedida.
Ou seja, ele quer saber o maior torque que ainda gera, no tubo , uma tensão máxima que satisfaça a condição:
Então podemos usar essa condição e desenvolvê-la usando a fórmula da torção () para encontrar o torque máximo .
Já no item , ele quer saber o diâmetro necessário para o eixo para que ele suporte o torque encontrado no item anterior.
Para encontrar esse diâmetro, vamos aplicar a mesma condição que usamos com o tubo para o eixo :
Mas dessa vez, vamos desenvolver essa condição com o objetivo de encontrar o diâmetro mínimo.
Passo 2
Vamos começar resolvendo o item !
Para o tubo , temos que:
Aqui, a tensão máxima