Fórmula da Torção

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que a gente quer estudar o eixo A B abaixo, que tem um raio c e duas hastes laterais no ponto B :

Um dos jeitos que a gente pode carregar esse eixo é aplicando uma carga axial nele:

Nesse caso, sabemos que:

  • Essa força F axial vai gerar ao longo do eixo A B uma força interna normal N ;
  • E que essa força interna normal N vai gerar uma tensão normal σ = N / A no eixo.

Agora, outra forma que a gente pode carregar esse eixo é aplicando um torque nele, como na imagem abaixo:

Olha só...

Fazendo o somatório de forças na vertical, essas duas forças F vão se cancelar.

Mas isso não impede cada uma dessas duas forças de gerar no eixo principal um torque F * r .

Dessa forma, vamos ter um torque resultante T B = 2 ( F * r ) no ponto B do eixo:

Aí aqui surge uma dúvida... 😯

Se um carregamento axial gera uma força interna normal N e uma tensão normal σ = N / A numa peça, o que é que esse torque vai gerar no nosso eixo?

Como é a tensão gerada por esse torque?

Torque Interno

Bom...

Acabamos de revisar um pouco acima que a primeira coisa que uma força axial F gera em um eixo é uma força interna N ao longo de todo o eixo.

Então a primeira coisa que o nosso torque externo T B vai gerar no nosso eixo vai ser um torque interno T = T B ao longo de todo o eixo.

Ou seja, se olharmos para uma seção transversal qualquer do nosso eixo, vamos encontrar esse torque interno T :

Beleza...

E o que é que esse torque interno T vai causar na nossa peça?

Deformação devido ao Torque

Para responder isso, vamos ter que desenhar uma linha reta passando pela nossa peça e por uma seção transversal dela:

À medida que a nossa peça for carregada com o torque externo T B e tiver que resistir ao torque interno T gerado nela, essa linha reta vai se deformar assim:

E isso nos mostra que, na seção transversal do eixo:

  • O centro do eixo não sofre nenhuma deformação;
  • Os pontos mais externos do eixo, distantes do centro pelo raio c , vão sofrer uma deformação máxima;
  • E qualquer outro ponto, distante do centro por um raio ρ ( 0 ≤ ρ ≤ c ), vai sofrer uma deformação que cresce linearmente com o aumento de ρ ,

Como mostra a imagem abaixo:

Agora, pensa aí...

Essa deformação que estamos vendo ocorre nas faces das seções transversais do nosso eixo.

E a gente sabe que tensão e deformação normal são aquelas que ocorrem na direção normal das seções transversais de uma peça.

O que acontece nas faces das seções transversais, é tensão (e deformação) cisalhante.

Então daqui, já conseguimos concluir que a tensão que um torque gera em um eixo é uma tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (“tau”).

Distribuição de Tensão

Em seguida, podemos pensar o seguinte:

Se a deformação na seção transversal do nosso eixo cresce linearmente à medida que a gente se afasta do centro, o mesmo deve acontecer para a tensão.

E na prática, é isso mesmo que acontece.

Então se a gente for visualizar a distribuição de tensão cisalhante τ ao longo de uma linha qualquer em uma seção transversal do nosso eixo, vamos ver a distribuição triangular abaixo:

Onde a distribuição de tensão τ varia de 0 em ρ = 0 até τ m á x em ρ = c .

E caso o nosso eixo fosse vazado com um raio interno c i n t , a distribuição continuaria com esse aspecto triangular, mas variaria de τ m í n em ρ = c i n t até τ m á x em ρ = c :

Ok! 👍

E se a gente precisar calcular a tensão τ em um ponto do nosso eixo ou até a tensão máxima τ m á x nele?

Fórmula da Torção

Para isso, existe a fórmula da torção:

τ = T ρ J

Onde:

1. T é o torque interno no eixo, também conhecido por alguns livros como o Momento Torsor M T ;

2. ρ é a distância do ponto que está sendo estudado ao centro do eixo;

& 3. J é o “momento polar de inércia” da seção transversal do eixo, que é dado pelas fórmulas:

J = π 2 c 4       (No caso de eixos maciços)

&

J = π 2 c 4 - c i n t 4       (No caso de eixos vazados)

Muitas vezes, só queremos saber a tensão cisalhante máxima τ m á x em um eixo, então usamos um caso específico da fórmula da torção em que ρ = c para encontrar que:

τ m á x = T c J

E algumas vezes, vamos querer calcular a tensão mínima τ m í n em um eixo vazado. Nesses casos, basta aplicar ρ = c i n t para encontrar que:

τ m í n = T c i n t J

Resumo

Para facilitar sua vida, segue um resumo do que você precisa saber para resolver exercícios envolvendo a fórmula da torção:

Pronto!

Agora se você quiser treinar, é só seguir para os exercícios que nós separamos e resolvemos alguns pensando nisso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 134-5.1.

Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a . Se o diâmetro do eixo for 37,5   m m , determine o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T ’ se fosse feito um furo de 25   m m de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício quer que a gente estude dois eixos com um diâmetro de 37,5   m m : um maciço e um vazado, com um diâmetro interno de 25   m m .

Sendo assim, esses eixos vão ter:

  • Um raio externo c = 37,5   m m / 2 = 18,75   m m ;
  • E um raio interno c i n t = 12,5   m m , no caso do eixo vazado.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual são os torques máximos T e T ' que podem ser transmitidos pelos eixos maciço e vazado, respectivamente.

Esses torques máximos vão ser os torques que vão gerar, de acordo com a fórmula da torção...

τ = T c J

...uma tensão de cisalhamento τ nos eixos igual à tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a .

Dessa forma, podemos aplicar as condições...

τ = τ a d m  para o eixo maciço

&

τ ' = τ a d m  para o eixo vazado

...e desenvolver essas expressões para encontrar os torques máximos T e T ' .

Além disso, o exercício ainda quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento τ ao longo de uma linha radial em cada eixo.

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do torque máximo T no eixo maciço.

Começamos aplicando a condição:

τ = τ a d m

E substituindo a fórmula da torção:

T c J = τ a d m

Em seguida, isolamos T para encontrar que:

T = τ a d m J c

Agora, para calcular o torque máximo T , vamos ter que conhecer o momento de inércia polar J da seção transversal do nosso eixo.

Então lembra aí!

Para um eixo maciço de raio c , a fórmula desse momento de inércia polar J é:

J = π 2 c 4

Com isso, o nosso torque máximo fica assim:

T = τ a d m π 2 c 4 c

Simplificando tudo, encontramos que:

T = τ a d m π c 3 2

Finalmente, substituindo:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • & c = 18,75   m m ,
  • temos que:

    T = 84   N / m m 2 π 18,75   m m 3 2

    O que dá:

    T = 869767   N * m m

    Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em k N * m :

    T = 0,87   k N * m

    Passo 3

    Em seguida, vamos fazer o cálculo do torque máximo T ' no eixo vazado.

    Mais uma vez, começamos aplicando a condição:

    τ ' = τ a d m

    E substituindo a fórmula da torção:

    T ' c J ' = τ a d m

    Isolando T ' , encontramos que:

    T ' = τ a d m J ' c

    E... Lembra aí!

    O momento de inércia polar J ' de um eixo vazado de raio externo c e raio interno c i n t é dado pela fórmula:

    J ' = π 2 ( c 4 - c i n t 4 )

    Dessa forma, o nosso torque máximo T ' fica assim:

    T ' = τ a d m π 2 ( c 4 - c i n t 4 ) c

    E, simplificando tudo, isso fica assim:

    T ' = τ a d m π c 4 - c i n t 4 2 c

    Finalmente, substituindo:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • c = 18,75   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

encontramos que:

T ' = 697961   N * m m

Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em k N * m :

T ' = 0 , 70   k N * m

Passo 3

Por fim, vamos esboçar as distribuições da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada eixo.

Então vamos nos lembrar do que vimos na teoria...

Essa distribuição é linear, variando desde 0 no centro dos eixos até τ m á x (que vai ser igual à τ a d m = 84   M P a nos nossos casos) na superfície externa dos eixos:

Agora, para completar esses esboços, só precisamos calcular qual é a tensão τ ' na superfície interna do eixo vazado.

Para isso, usamos a fórmula da torção em sua versão geral, que fornece a tensão τ ' em um ponto distante um raio ρ do centro do eixo:

τ ' = T ' ρ J '

No nosso caso, queremos saber a tensão na superfície interna do eixo vazado, onde ρ = c i n t , e temos que J ' = ( π / 2 ) ( c 4 - c i n t 4 ) .

Então essa fórmula fica assim:

τ ' = T ' c i n t π 2 ( c 4 - c i n t 4 )

Por fim, substituindo:

  • T ' = 697961   N * m m ;
  • c = 18,75   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

encontramos que:

τ ' = 56   N / m m 2 = 56   M P a

Com isso, os nossos esboços ficam assim:

E assim terminamos o exercício!

Resposta

a )   T = 0,87   k N * m

&

b )   T ' = 0,70   k N * m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 135-5.10.

O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver 25   m m de diâmetro interno e parede de 5   m m de espessura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de 600   N for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal.

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Passo 1

O que está acontecendo?

As forças F = 600   N geram, com braços l = 75   m m , um torque T de sentido anti-horário ( + ) no tubo vazado de alumínio.

Esse tubo tem um diâmetro interno d i n t = 25   m m e uma espessura de e = 5   m m .

Com isso, conseguimos concluir que:

1. O tubo tem um diâmetro externo d = d i n t + 2 e , e, consequentemente, um raio externo c :

c = d 2 = d i n t + 2 e 2 = 25   m m + 2 ( 5   m m ) 2 = 17,5   m m

& 2. O tubo tem um raio interno c i n t :

c i n t = d i n t 2 = 25   m m 2 = 12,5   m m

E o que é que o exercício quer saber?

Ele quer que a gente calcule a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no tubo quando as forças F = 600   N são aplicadas.

Para calcular essa tensão máxima, vamos usar a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Onde:

  • T é o torque resultante gerado pelas forças aplicadas;
  • & J é o momento de inércia polar do tubo vazado, que vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4 - c i n t 4

Além de tudo isso, o exercício também quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do torque T resultante no tubo.

Esse torque vai ser o somatório dos torques causados por cada força F = 600   N .

E como essas forças F possuem um braço l , o torque causado por elas vai ser igual à F * l .

Sendo assim, vamos ter que:

T = F * l + F * l

O que significa que:

T = 2 F l

Passo 3

Calculado o torque T resultante no tubo, podemos seguir para o cálculo da tensão de cisalhamento máxima τ m á x .

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Substituindo a expressão encontrada no Passo 2 para T e a fórmula indicada no Passo 1 para J , temos que:

τ m á x = 2 F l c π 2 c 4 - c i n t 4

E, arrumando tudo, isso fica assim:

τ m á x = 4 F l c π c 4 - c i n t 4

Com isso, só falta substituir os valores:

  • F = 600   N ;
  • l = 75   m m ;
  • c = 17,5   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

Para encontrarmos que:

τ m á x = 14,453   N / m m 2

Substituindo N / m m 2 por M P a e fornecendo o resultado final com três algarismos significativos, temos que:

τ m á x = 14,5   M P a

Passo 4

Por último, para finalizar o exercício, vamos fazer o esboço da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.

Sabendo que essa distribuição varia linearmente:

  • Desde 0 no ponto central do tubo;
  • Até τ m á x = 14,5   M P a na superfície externa do tubo,

Esse esboço fica assim:

Agora, esse esboço está incompleto porque a gente não sabe qual o valor da tensão τ na superfície interna do tubo vazado.

Para calcular a tensão τ em uma região de raio ρ de um eixo, podemos usar a fórmula:

τ = ρ c τ m á x

(Lembra? Essa fórmula pode ser obtida combinando as fórmulas τ m á x = T c / J e τ = T ρ / J .)

Substituindo ρ = c i n t = 12,5   m m , c = 17,5   m m e τ m á x = 14,453   M P a , conseguimos definir o valor da tensão τ na superfície interna:

τ = c i n t c τ m á x = 12,5 17,5 14,453   M P a = 10,3   M P a

Dessa forma, o nosso esboço final fica assim:

Resposta

τ m á x = 14,5   M P a

Exercício Resolvido #3

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 165-3.7.

O sistema da figura é constituído por um eixo de seção transversal cheia A B e com uma tensão de cisalhamento admissível de 82,7   M P a , e por um tubo C D feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 48,3   M P a .

Determine ( a ) o maior torque T que pode ser aplicado em A , sem que a tensão de cisalhamento admissível do material do tubo C D seja excedida e ( b ) o valor correspondente necessário para o diâmetro d do eixo A B .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo maciço A B possui uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m A B = 82,7   M P a e um raio c = d / 2 , onde d é o seu diâmetro.

Já o tubo C D tem:

  • Uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m C D = 48,3   M P a ;
  • Um diâmetro externo de 76   m m , e, consequentemente, um raio externo c e x t = 76   m m / 2 = 38   m m ;
  • Uma espessura t = 6,4   m m ;
  • E um raio interno c i n t = c e x t - t = 38   m m - 6,4   m m = 31,6   m m .

Eles estão submetidos a um torque T .

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber o maior torque T que pode ser aplicado sem que a tensão de cisalhamento do tubo C D seja excedida.

Ou seja, ele quer saber o maior torque T que ainda gera, no tubo C D , uma tensão máxima τ m á x C D que satisfaça a condição:

τ m á x C D ≤ τ a d m C D

Então podemos usar essa condição e desenvolvê-la usando a fórmula da torção ( τ m á x = T c / J ) para encontrar o torque máximo T .

Já no item ( b ) , ele quer saber o diâmetro d necessário para o eixo A B para que ele suporte o torque T encontrado no item anterior.

Para encontrar esse diâmetro, vamos aplicar a mesma condição que usamos com o tubo C D para o eixo A B :

τ m á x A B ≤ τ a d m A B

Mas dessa vez, vamos desenvolver essa condição com o objetivo de encontrar o diâmetro d mínimo.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item ( a ) !

Para o tubo C D , temos que:

τ m á x C D ≤ τ a d m C D

Aqui, a tensão máxima