Fórmula da Torção

Resumo Completo

Introdução

Vamos dizer que a gente quer estudar o eixo A B abaixo, que tem um raio c e duas hastes laterais no ponto B :

Um dos jeitos que a gente pode carregar esse eixo é aplicando uma carga axial nele:

Nesse caso, sabemos que:

  • Essa força F axial vai gerar ao longo do eixo A B uma força interna normal N ;
  • E que essa força interna normal N vai gerar uma tensão normal σ = N / A no eixo.

Agora, outra forma que a gente pode carregar esse eixo é aplicando um torque nele, como na imagem abaixo:

Olha só...

Fazendo o somatório de forças na vertical, essas duas forças F vão se cancelar.

Mas isso não impede cada uma dessas duas forças de gerar no eixo principal um torque F * r .

Dessa forma, vamos ter um torque resultante T B = 2 ( F * r ) no ponto B do eixo:

Aí aqui surge uma dúvida... 😯

Se um carregamento axial gera uma força interna normal N e uma tensão normal σ = N / A numa peça, o que é que esse torque vai gerar no nosso eixo?

Como é a tensão gerada por esse torque?

Torque Interno

Bom...

Acabamos de revisar um pouco acima que a primeira coisa que uma força axial F gera em um eixo é uma força interna N ao longo de todo o eixo.

Então a primeira coisa que o nosso torque externo T B vai gerar no nosso eixo vai ser um torque interno T = T B ao longo de todo o eixo.

Ou seja, se olharmos para uma seção transversal qualquer do nosso eixo, vamos encontrar esse torque interno T :

Beleza...

E o que é que esse torque interno T vai causar na nossa peça?

Deformação devido ao Torque

Para responder isso, vamos ter que desenhar uma linha reta passando pela nossa peça e por uma seção transversal dela:

À medida que a nossa peça for carregada com o torque externo T B e tiver que resistir ao torque interno T gerado nela, essa linha reta vai se deformar assim:

E isso nos mostra que, na seção transversal do eixo:

  • O centro do eixo não sofre nenhuma deformação;
  • Os pontos mais externos do eixo, distantes do centro pelo raio c , vão sofrer uma deformação máxima;
  • E qualquer outro ponto, distante do centro por um raio ρ ( 0 ρ c ), vai sofrer uma deformação que cresce linearmente com o aumento de ρ ,

Como mostra a imagem abaixo:

Agora, pensa aí...

Essa deformação que estamos vendo ocorre nas faces das seções transversais do nosso eixo.

E a gente sabe que tensão e deformação normal são aquelas que ocorrem na direção normal das seções transversais de uma peça.

O que acontece nas faces das seções transversais, é tensão (e deformação) cisalhante.

Então daqui, já conseguimos concluir que a tensão que um torque gera em um eixo é uma tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (“tau”).

Distribuição de Tensão

Em seguida, podemos pensar o seguinte:

Se a deformação na seção transversal do nosso eixo cresce linearmente à medida que a gente se afasta do centro, o mesmo deve acontecer para a tensão.

E na prática, é isso mesmo que acontece.

Então se a gente for visualizar a distribuição de tensão cisalhante τ ao longo de uma linha qualquer em uma seção transversal do nosso eixo, vamos ver a distribuição triangular abaixo:

Onde a distribuição de tensão τ varia de 0 em ρ = 0 até τ m á x em ρ = c .

E caso o nosso eixo fosse vazado com um raio interno c i n t , a distribuição continuaria com esse aspecto triangular, mas variaria de τ m í n em ρ = c i n t até τ m á x em ρ = c :

Ok! 👍

E se a gente precisar calcular a tensão τ em um ponto do nosso eixo ou até a tensão máxima τ m á x nele?

Fórmula da Torção

Para isso, existe a fórmula da torção:

τ = T ρ J

Onde:

1. T é o torque interno no eixo, também conhecido por alguns livros como o Momento Torsor M T ;

2. ρ é a distância do ponto que está sendo estudado ao centro do eixo;

& 3. J é o “momento polar de inércia” da seção transversal do eixo, que é dado pelas fórmulas:

J = π 2 c 4       (No caso de eixos maciços)

&

J = π 2 c 4 - c i n t 4       (No caso de eixos vazados)

Muitas vezes, só queremos saber a tensão cisalhante máxima τ m á x em um eixo, então usamos um caso específico da fórmula da torção em que ρ = c para encontrar que:

τ m á x = T c J

E algumas vezes, vamos querer calcular a tensão mínima τ m í n em um eixo vazado. Nesses casos, basta aplicar ρ = c i n t para encontrar que:

τ m í n = T c i n t J

Resumo

Para facilitar sua vida, segue um resumo do que você precisa saber para resolver exercícios envolvendo a fórmula da torção:

Pronto!

Agora se você quiser treinar, é só seguir para os exercícios que nós separamos e resolvemos alguns pensando nisso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 134-5.1.

Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a . Se o diâmetro do eixo for 37,5   m m , determine o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T se fosse feito um furo de 25   m m de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício quer que a gente estude dois eixos com um diâmetro de 37,5   m m : um maciço e um vazado, com um diâmetro interno de 25   m m .

Sendo assim, esses eixos vão ter:

  • Um raio externo c = 37,5   m m / 2 = 18,75   m m ;
  • E um raio interno c i n t = 12,5   m m , no caso do eixo vazado.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual são os torques máximos T e T ' que podem ser transmitidos pelos eixos maciço e vazado, respectivamente.

Esses torques máximos vão ser os torques que vão gerar, de acordo com a fórmula da torção...

τ = T c J

...uma tensão de cisalhamento τ nos eixos igual à tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a .

Dessa forma, podemos aplicar as condições...

τ = τ a d m  para o eixo maciço

&

τ ' = τ a d m  para o eixo vazado

...e desenvolver essas expressões para encontrar os torques máximos T e T ' .

Além disso, o exercício ainda quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento τ ao longo de uma linha radial em cada eixo.

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do torque máximo T no eixo maciço.

Começamos aplicando a condição:

τ = τ a d m

E substituindo a fórmula da torção:

T c J = τ a d m

Em seguida, isolamos T para encontrar que:

T = τ a d m J c

Agora, para calcular o torque máximo T , vamos ter que conhecer o momento de inércia polar J da seção transversal do nosso eixo.

Então lembra aí!

Para um eixo maciço de raio c , a fórmula desse momento de inércia polar J é:

J = π 2 c 4

Com isso, o nosso torque máximo fica assim:

T = τ a d m π 2 c 4 c

Simplificando tudo, encontramos que:

T = τ a d m π c 3 2

Finalmente, substituindo:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • & c = 18,75   m m ,
  • temos que:

    T = 84   N / m m 2 π 18,75   m m 3 2

    O que dá:

    T = 869767   N * m m

    Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em k N * m :

    T = 0,87   k N * m

    Passo 3

    Em seguida, vamos fazer o cálculo do torque máximo T ' no eixo vazado.

    Mais uma vez, começamos aplicando a condição:

    τ ' = τ a d m

    E substituindo a fórmula da torção:

    T ' c J ' = τ a d m

    Isolando T ' , encontramos que:

    T ' = τ a d m J ' c

    E... Lembra aí!

    O momento de inércia polar J ' de um eixo vazado de raio externo c e raio interno c i n t é dado pela fórmula:

    J ' = π 2 ( c 4 - c i n t 4 )

    Dessa forma, o nosso torque máximo T ' fica assim:

    T ' = τ a d m π 2 ( c 4 - c i n t 4 ) c

    E, simplificando tudo, isso fica assim:

    T ' = τ a d m π c 4 - c i n t 4 2 c

    Finalmente, substituindo:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • c = 18,75   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

encontramos que:

T ' = 697961   N * m m

Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em k N * m :

T ' = 0 , 70   k N * m

Passo 3

Por fim, vamos esboçar as distribuições da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada eixo.

Então vamos nos lembrar do que vimos na teoria...

Essa distribuição é linear, variando desde 0 no centro dos eixos até τ m á x (que vai ser igual à τ a d m = 84   M P a nos nossos casos) na superfície externa dos eixos:

Agora, para completar esses esboços, só precisamos calcular qual é a tensão τ ' na superfície interna do eixo vazado.

Para isso, usamos a fórmula da torção em sua versão geral, que fornece a tensão τ ' em um ponto distante um raio ρ do centro do eixo:

τ ' = T ' ρ J '

No nosso caso, queremos saber a tensão na superfície interna do eixo vazado, onde ρ = c i n t , e temos que J ' = ( π / 2 ) ( c 4 - c i n t 4 ) .

Então essa fórmula fica assim:

τ ' = T ' c i n t π 2 ( c 4 - c i n t 4 )

Por fim, substituindo:

  • T ' = 697961   N * m m ;
  • c = 18,75   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

encontramos que:

τ ' = 56   N / m m 2 = 56   M P a

Com isso, os nossos esboços ficam assim:

E assim terminamos o exercício!

Resposta

a )   T = 0,87   k N * m

&

b )   T ' = 0,70   k N * m

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 135-5.10.

O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver 25   m m de diâmetro interno e parede de 5   m m de espessura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de 600   N for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que está acontecendo?

As forças F = 600   N geram, com braços l = 75   m m , um torque T de sentido anti-horário ( + ) no tubo vazado de alumínio.

Esse tubo tem um diâmetro interno d i n t = 25   m m e uma espessura de e = 5   m m .

Com isso, conseguimos concluir que:

1. O tubo tem um diâmetro externo d = d i n t + 2 e , e, consequentemente, um raio externo c :

c = d 2 = d i n t + 2 e 2 = 25   m m + 2 ( 5   m m ) 2 = 17,5   m m

& 2. O tubo tem um raio interno c i n t :

c i n t = d i n t 2 = 25   m m 2 = 12,5   m m

E o que é que o exercício quer saber?

Ele quer que a gente calcule a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no tubo quando as forças F = 600   N são aplicadas.

Para calcular essa tensão máxima, vamos usar a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Onde:

  • T é o torque resultante gerado pelas forças aplicadas;
  • & J é o momento de inércia polar do tubo vazado, que vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4 - c i n t 4

Além de tudo isso, o exercício também quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do torque T resultante no tubo.

Esse torque vai ser o somatório dos torques causados por cada força F = 600   N .

E como essas forças F possuem um braço l , o torque causado por elas vai ser igual à F * l .

Sendo assim, vamos ter que:

T = F * l + F * l

O que significa que:

T = 2 F l

Passo 3

Calculado o torque T resultante no tubo, podemos seguir para o cálculo da tensão de cisalhamento máxima τ m á x .

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Substituindo a expressão encontrada no Passo 2 para T e a fórmula indicada no Passo 1 para J , temos que:

τ m á x = 2 F l c π 2 c 4 - c i n t 4

E, arrumando tudo, isso fica assim:

τ m á x = 4 F l c π c 4 - c i n t 4

Com isso, só falta substituir os valores:

  • F = 600   N ;
  • l = 75   m m ;
  • c = 17,5   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

Para encontrarmos que:

τ m á x = 14,453   N / m m 2

Substituindo N / m m 2 por M P a e fornecendo o resultado final com três algarismos significativos, temos que:

τ m á x = 14,5   M P a

Passo 4

Por último, para finalizar o exercício, vamos fazer o esboço da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.

Sabendo que essa distribuição varia linearmente:

  • Desde 0 no ponto central do tubo;
  • Até τ m á x = 14,5   M P a na superfície externa do tubo,

Esse esboço fica assim:

Agora, esse esboço está incompleto porque a gente não sabe qual o valor da tensão τ na superfície interna do tubo vazado.

Para calcular a tensão τ em uma região de raio ρ de um eixo, podemos usar a fórmula:

τ = ρ c τ m á x

(Lembra? Essa fórmula pode ser obtida combinando as fórmulas τ m á x = T c / J e τ = T ρ / J .)

Substituindo ρ = c i n t = 12,5   m m , c = 17,5   m m e τ m á x = 14,453   M P a , conseguimos definir o valor da tensão τ na superfície interna:

τ = c i n t c τ m á x = 12,5 17,5 14,453   M P a = 10,3   M P a

Dessa forma, o nosso esboço final fica assim:

Resposta

τ m á x = 14,5   M P a

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 165-3.7.

O sistema da figura é constituído por um eixo de seção transversal cheia A B e com uma tensão de cisalhamento admissível de 82,7   M P a , e por um tubo C D feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 48,3   M P a .

Determine ( a ) o maior torque T que pode ser aplicado em A , sem que a tensão de cisalhamento admissível do material do tubo C D seja excedida e ( b ) o valor correspondente necessário para o diâmetro d do eixo A B .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo maciço A B possui uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m A B = 82,7   M P a e um raio c = d / 2 , onde d é o seu diâmetro.

Já o tubo C D tem:

  • Uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m C D = 48,3   M P a ;
  • Um diâmetro externo de 76   m m , e, consequentemente, um raio externo c e x t = 76   m m / 2 = 38   m m ;
  • Uma espessura t = 6,4   m m ;
  • E um raio interno c i n t = c e x t - t = 38   m m - 6,4   m m = 31,6   m m .

Eles estão submetidos a um torque T .

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber o maior torque T que pode ser aplicado sem que a tensão de cisalhamento do tubo C D seja excedida.

Ou seja, ele quer saber o maior torque T que ainda gera, no tubo C D , uma tensão máxima τ m á x C D que satisfaça a condição:

τ m á x C D τ a d m C D

Então podemos usar essa condição e desenvolvê-la usando a fórmula da torção ( τ m á x = T c / J ) para encontrar o torque máximo T .

Já no item ( b ) , ele quer saber o diâmetro d necessário para o eixo A B para que ele suporte o torque T encontrado no item anterior.

Para encontrar esse diâmetro, vamos aplicar a mesma condição que usamos com o tubo C D para o eixo A B :

τ m á x A B τ a d m A B

Mas dessa vez, vamos desenvolver essa condição com o objetivo de encontrar o diâmetro d mínimo.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item ( a ) !

Para o tubo C D , temos que:

τ m á x C D τ a d m C D

Aqui, a tensão máxima τ m á x C D pode ser descrita pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

No caso do tubo C D , definimos o raio externo c como c e x t .

Então a fórmula da torção aplicada para o tubo C D fica assim:

τ m á x C D = T c e x t J C D

Substituindo isso na condição de projeto, temos que:

T c e x t J C D τ a d m C D

E isolando o torque aplicado T , encontramos que:

T τ a d m C D * J C D c e x t

Além disso, para o tubo C D , que possui um raio interno c i n t e um raio externo c e x t , o momento de inércia polar J C D vai ser dado pela fórmula:

J C D = π 2 c e x t 4 - c i n t 4

Dessa forma, a nossa expressão anterior fica assim:

T τ a d m C D * π c e x t 4 - c i n t 4 2 c e x t

Finalmente, substituindo os valores:

  • τ a d m C D = 48,3   M P a = 48,3   N / m m 2 ;
  • c e x t = 38   m m ;
  • & c i n t = 31,6   m m ,

Encontramos que:

T 2172290   N * m m

Como esse número é muito grande, reescrevemos ele em k N * m :

T 2,17   k N * m

Ou seja, o maior torque T que pode ser aplicado em A , sem que a tensão de cisalhamento admissível do material do tubo C D seja excedida, é:

T = 2,17   k N * m

Passo 3

Agora, resolvemos o item ( b ) .

Para o eixo maciço A B , temos que:

τ m á x A B τ a d m A B

Agora, aplicando a fórmula da torção para o eixo A B , temos que:

τ m á x A B = T c J A B

Dessa forma, a nossa condição anterior fica assim:

T c J A B τ a d m A B

Aqui, temos que o momento polar de inércia J A B do eixo maciço A B de raio c vai ser dado pela fórmula:

J A B = π 2 c 4

Então podemos substituir isso na nossa expressão anterior para encontrar que:

T c π 2 c 4 τ a d m A B

Arrumando tudo, isso fica assim:

2 T π c 3 τ a d m A B

E, aqui, ainda podemos fazer mais uma substituição, que é a de que o raio c do eixo é igual à metade do seu diâmetro d .

Fazendo isso, temos que:

2 T π d 2 3 τ a d m A B

E, mais uma vez, arrumando tudo, temos:

16 T π d 3 τ a d m A B

Como queremos encontrar o diâmetro d mínimo, devemos isolá-lo:

16 T π τ a d m A B d 3

Espelhando essa expressão e fazendo a raiz cúbica, temos que:

d 16 T π τ a d m A B 3

Finalmente, substituindo:

  • T = 2172290   N * m m ;
  • τ a d m A B = 82,7   M P a = 82,7   N / m m 2 ,

Encontramos que:

d 51,1   m m

Ou seja, o valor necessário para o diâmetro d do eixo A B correspondente ao torque T encontrado no item ( a ) é:

d = 51,1   m m

E assim terminamos o exercício!

Resposta

a   T = 2 , 17   k N * m

&

b   d = 5 1,1   m m

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 137-5.30.

O eixo maciço tem conicidade linear de r A em uma extremidade e r B na outra extremidade. Deduza uma equação que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo.

Dica do Expert: Se o seu professor/a sua professora não for do tipo que cobra:

  • Exercícios literais;
  • Ou exercícios com peças com formatos alternativos (como a peça desse exercício),

Sinta-se livre para pular para os próximos tópicos, que têm exercícios mais prováveis de cair em prova. 😉

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que está acontecendo?

Em uma seção qualquer do eixo, a tensão de cisalhamento máxima vai ser dada pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Sendo que, em todas as seções, o torque T vai ser o mesmo e o raio c das seções vai variar entre r A e r B , dependendo da posição x da seção que estiver sendo estudada.

Além disso, como o eixo é maciço, o seu momento polar de inércia vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma certa seção de posição x .

Então primeiro, temos que descrever o raio c de uma seção em função de sua posição x .

Em seguida, vamos substituir o que encontrarmos nas fórmulas da torção e do momento polar de inércia J .

Assim, vamos encontrar a tensão de cisalhamento máxima τ m á x em uma seção de posição x no eixo!

Passo 2

Então vamos começar descrevendo o raio c de uma seção em função de sua posição x .

Para fazer isso, precisamos fazer um desenho observando como o raio das seções varia entre r A e r B ao longo do comprimento L do eixo do exercício:

Quase sempre que temos uma variável que varia linearmente, como é o caso do nosso raio c , uma das formas de descrever essa variável é fazendo uma semelhança de triângulos.

Então vamos tentar isso!

Os triângulos que existem nesse desenho são os triângulos que podem ser formados acima do raio r B :

Aplicando a semelhança de triângulos entre:

  • O triângulo menor, de base ( L - x ) e altura ( c - r B ) ;
  • E o triângulo maior, de base L e altura ( r A - r B ) ,

Temos que:

( L - x ) ( c - r B ) = L r A - r B

Passando os termos que estão dividindo para o outro lado, isso fica assim:

L - x r A - r B = L ( c - r B )

Em seguida, fazendo as distributivas, temos:

L r A - L r B - x r A + x r B = L c - L r B

Cortando - L r B dos dois lados e colocando r A e r B em evidência, temos que:

r A L - x + r B x = L c

Agora, como queremos definir o raio c , devemos isolá-lo.

Fazendo isso, encontramos que:

c = r A L - x + r B x L

Passo 3

Agora que já encontramos o raio c de uma seção qualquer de posição x , já podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nessa seção, que é o que o exercício quer!

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ M á x = T c J

Substituímos a fórmula para o momento de inércia polar J para um eixo maciço:

τ m á x = T c π 2 c 4

E simplificamos tudo, para encontrar que:

τ m á x = 2 T π c 3

Agora, só falta substituir a expressão que encontramos para c no passo anterior.

Fazendo isso, temos que:

τ m á x = 2 T π r A L - x + r B x L 3

Por fim, podemos deixar essa expressão mais bonita passando o L 3 para cima.

Fazendo isso, encontramos a nossa resposta final:

Resposta

τ m á x = 2 T L 3 π r A L - x + r B x 3

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Na figura baixo temos desenhado uma estrutura sujeita a dois carregamentos, uma carga de 20   K N e um torque de 200   K N . m . Considerando apenas os efeitos do esforço torsor, determine o valor do cisalhante máximo que ocorre no ponto A da nossa barra.

t o d o s   o s   e i x o s   s ã o   m a c i ç o s   e   c i r c u l a r e s   c o m   r = 10 c m

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos ver nessa questão que o nosso objetivo principal é determinar o valor do cisalhante máximo, antes de qualquer coisa devemos analisar, pelo enunciado, que devemos apenas considerar os efeitos do esforço torsor, logo só usaremos a fórmula

τ = T   .   ρ J

Porém também sabemos que queremos o cisalhante máximo, e para termos o cisalhante máximo devemos fazer ρ = r pois para os efeitos do torsor os pontos mais extremos possuem os maiores cisalhantes.

τ m á x = T   .   r J

Passo 2

Outra coisa que precisamos calcular é o nosso momento polar de inercia ( J ). Aqui vale lembrar que o nosso momento polar de inercia é sempre da seção. Como no enunciado nos é dito que se trata de uma seção circular, usaremos como momento polar de inercia a equação

J = π . r 4 2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que

τ m á x = T   .   r J

τ m á x = T   .   r π . r 4 2

τ m á x = 2 . T π . r 3

Passo 3

O raio definimos facilmente, porém devemos tomar cuidado com o torsor, pois esse se trata do torsor máximo que está agindo na nossa peça, para descobrirmos o seu valor faremos a seguinte sequência de passos.

Primeiro cortamos a nossa barra no ponto que desejamos calcular o torsor

Em seguida levamos até essa seção todos os esforços que tínhamos antes de cortar e que após o corte não estamos vendo mais. Como só nos interessa analisar efeitos do torsor, podemos levar o nosso torque de 200   K N   . m diretamente para seção.

Também temos que levar os esforços torsores causados pela carga de 20   K N . Para calcular o seu valor precisamos analisar o seu braço de alavanca, olhando a figura abaixo teremos que

Trocando a nossa carga pelo efeito torsor causado por ela teremos que

Levando esse esforço para nossa seção A teremos que

Logo também já temos o nosso torsor que age na peça que é dado por

T = 230   K N . m

Passo 4

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir e determinar o valor do nosso cisalhante máximo

τ m á x = 2 . T π . r 3

T = 230   K N . m

r = 10 c m = 0,1 m

Substituindo teremos que

τ m á x = 2   .   230 π . 0,1 3 = 146422,5 K N m 2 = 146,4   M P a

Resposta

τ m á x = 146,4   M P a

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração própria

Na figura baixo temos desenhado uma estrutura sujeita a três carregamentos, uma carga de 5 0   K N e dois torques de 31 0   K N . m . Considerando apenas os efeitos do esforço torsor, determine o valor do cisalhante máximo que ocorre no ponto A da nossa barra.

t o d o s   o s   e i x o s   s ã o   f u r a d o s   e   c i r c u l a r e s    

r i n t e r n o = 50 c m

r e x t e r n o = 80 c m

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos ver nessa questão que o nosso objetivo principal é determinar o valor do cisalhante máximo, antes de qualquer coisa devemos analisar, pelo enunciado, que devemos apenas considerar os efeitos do esforço torsor, logo só usaremos a fórmula

τ = T   .   ρ J

Porém também sabemos que queremos o cisalhante máximo, e para termos o cisalhante máximo devemos fazer ρ = r e x t e r n o pois para os efeitos do torsor os pontos mais extremos possuem os maiores cisalhantes.

τ m á x = T   . r e x t e r n o J

Passo 2

Outra coisa que precisamos calcular é o nosso momento polar de inercia ( J ). Aqui vale lembrar que o nosso momento polar de inercia é sempre da seção. Como no enunciado nos é dito que se trata de uma seção circular, usaremos como momento polar de inercia a equação

J = π . ( r e x t e r n o 4 - ( r i n t e r n o ) 4 )   2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que

τ m á x = T   . r e x t e r n o J

τ m á x = T   . r e x t e r n o π . ( r e x t e r n o 4 - ( r i n t e r n o ) 4 )   2

τ m á x = 2 . T . r e x t e r n o π . ( r e x t e r n o 4 - ( r i n t e r n o ) 4 )

Passo 3

O raio definimos facilmente, porém devemos tomar cuidado com o torsor, pois esse se trata do torsor máximo que está agindo na nossa peça, para descobrirmos o seu valor faremos a seguinte sequência de passos.

Primeiro cortamos a nossa barra no ponto que desejamos calcular o torsor

Em seguida levamos até essa seção todos os esforços que tínhamos antes de cortar e que após o corte não estamos vendo mais. Como só nos interessa analisar efeitos do torsor, podemos levar os nossos 2 torques de 31 0   K N   . m diretamente para seção.

Também temos que levar os esforços torsores causados pela carga de 5 0   K N . Para calcular o seu valor precisamos analisar o seu braço de alavanca, olhando a figura abaixo teremos que

Trocando a nossa carga pelo efeito torsor causado por ela teremos que

Levando esse esforço para nossa seção A teremos que

Logo também já temos o nosso torsor que age na peça que é dado por

T = 47 0   K N . m

Passo 4

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir e determinar o valor do nosso cisalhante máximo

τ m á x = 2 . T . r e x t e r n o π . ( r e x t e r n o 4 - ( r i n t e r n o ) 4 )

T = 47 0   K N . m

r i n t e r n o = 50 c m = 0,50 m

r e x t e r n o = 80 c m = 0,80 m

Substituindo teremos que

τ m á x = 2   .   470   .   0,80 π . ( 0,80 4 - 0,50 ) 4 ) = 689,6 K N m 2 = 689,6   K P a

Resposta

τ m á x = 689,6   K P a

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Elaboração própria

Abaixo é mostrado um eixo maciço e circular de diâmetro 200mm de uma barra de aço. Essa barra possui τ a d m = 80 M P a . Sabendo disso e ainda que há uma carga de 10 KN que contribui na torção, determine o valor máximo de T sem que haja rompimento da barra. Analise apenas as contribuições referentes aos esforços torsores.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos ver nessa questão que o nosso objetivo principal é determinar o valor do torque máximo, antes de qualquer coisa devemos analisar, pelo enunciado, que devemos apenas considerar os efeitos do esforço torsor, logo só usaremos a fórmula

τ = T   .   ρ J

Porém também sabemos que queremos o torque máximo, e para termos o torque máximo devemos fazer ρ = r pois para os efeitos do torsor os pontos mais extremos possuem os maiores cisalhantes.

τ m á x = T   .   r J

Passo 2

Outra coisa que precisamos calcular é o nosso momento polar de inercia ( J ). Aqui vale lembrar que o nosso momento polar de inercia é sempre da seção. Como no enunciado nos é dito que se trata de uma seção circular, usaremos como momento polar de inercia a equação

J = π . r 4 2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que

τ m á x = T   .   r J

τ m á x = T   .   r π . r 4 2

τ m á x = 2 . T π . r 3

Passo 3

O que precisamos saber agora é que queremos o valor máximo do nosso torque sem que haja rompimento. Para garantirmos isso devemos fazer

τ m á x = τ a d m

Agora a única coisa que falta é determinarmos o torsor máximo que está atuando na nossa peça.

Passo 4

Para determinar o torsor devemos tomar alguns cuidados. O primeiro é que temos duas contribuições para os nossos torsores. Uma é o próprio T máximo que queremos determinar, a outra é a carga de 10 KN que produzirá o torsor mostrado na figura abaixo.

Logo podemos definir o nosso torsor como

T = T m á x + 20

Passo 5

Vamos resolver a nossa fórmula então

τ m á x = 2 . T π . r 3

Sabemos que

τ m á x = τ a d m = 80 M P a = 80000 K N m 2

r = D 2 = 200 2 = 100 m m = 0,1 m

E o torque deixamos para calcular por último.

Substituindo teremos que

80000 = 2 . T π . 0,1 3

Isolando o valor de T teremos que

T = 80000   .   π   .   0,1 3 2 = 125,7   K N   .   m

Mas devemos lembrar que

T = T m á x + 20

Como acabamos de descobrir o valor do torque que podemos aplicar ao todo, basta descobrirmos qual o valor do torque parcial que podemos aplicar.

Substituindo teremos que

125,7 = T m á x + 20

T m á x = 105,7   K N   .   m

Logo contando com os torsores aplicados, o maior torque que poderia ser dado nessa peça seria de 105,7 KN.m.

Resposta

T m á x = 105,7   K N   .   m

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Elaboração própria

A barra de madeira abaixo representa o eixo de giro de um moinho. Por problemas nas engrenagens uma das extremidades do eixo ficou presa. Sabendo que o eixo foi sujeito aos esforços torsores mostrados abaixo e que a resistência ao cisalhamento dessa barra (levando em consideração apenas esforços torsores) é de 25 Mpa, determine o raio máximo que a nossa barra poderá ter para que o eixo não rompa.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos ver nessa questão que o nosso objetivo principal é determinar o valor do raio máximo, antes de qualquer coisa devemos analisar, pelo enunciado, que devemos apenas considerar os efeitos do esforço torsor, logo só usaremos a fórmula

τ = T   .   ρ J

Porém também sabemos que queremos o torque máximo, e para termos o torque máximo devemos fazer ρ = r pois para os efeitos do torsor os pontos mais extremos possuem os maiores cisalhantes.

τ m á x = T   .   r J

Passo 2

Outra coisa que precisamos calcular é o nosso momento polar de inercia ( J ). Aqui vale lembrar que o nosso momento polar de inercia é sempre da seção. Como no enunciado nos é dito que se trata de uma seção circular, usaremos como momento polar de inercia a equação

J = π . r 4 2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que

τ m á x = T   .   r J

τ m á x = T   .   r π . r 4 2

τ m á x = 2 . T π . r 3

Passo 3

O que precisamos saber agora é que queremos o valor máximo do nosso raio sem que haja rompimento. Para garantirmos isso devemos fazer

τ m á x = τ a d m

Agora a única coisa que falta é determinarmos o torsor que está atuando na nossa peça.

Passo 4

Para determinarmos o torsor que está agindo na nossa peça, vamos ir trocando cada braço de alavanca pela ação de um torsor ligado a ele, com isso teremos que

Podemos ver que a barra de baixo dará a mesma contribuição da barra de cima

Colocando também as contribuições laterais teremos que

Logo podemos definir o nosso torsor como

T = 630   K N . m

Passo 5

Vamos resolver a nossa fórmula então

τ m á x = 2 . T π . r 3

Sabemos que

τ m á x = τ a d m = 25 M P a = 25000 K N m 2

T = 630   K N . m

Substituindo teremos que

25000 = 2   .   630 π . r 3

Isolando o valor de T teremos que

r 3 = 2   .   630 25000   .   π = 0,0160   m 3

r = 0,252 m = 252   m m

Resposta

r = 252 m m

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