Potência e Torque

Teoria Completa

Nesse tópico, vamos ver:

  • Como calcular o torque em motores ou engrenagens;
  • Como desenhar torques em um diagrama de corpo livre;
  • & como identificar os torques internos em diferentes trechos de um eixo.

Assim, vamos estar preparados para resolver qualquer exercício de torção. 👊

Introdução

A Dexter Motors, nossa empresa de consultoria automotiva, foi contratada para avaliar o sistema da figura abaixo.

Mais especificamente, precisamos determinar as tensões de cisalhamento máximas τ m á x nos trechos A B e B C do eixo A B C desse sistema:

Olhando para essa figura, é difícil de saber até por onde começar.

Talvez se a gente já soubesse o valor dos torques internos T A B e T B C nos trechos A B e B C , poderíamos aplicar a fórmula da torção τ m á x = T c / J para esses trechos e pronto!

Mas na vida (e nos exercícios!) as coisas são um pouco mais difíceis. 😕

O mais provável é que o exercício nos forneça outras informações, como:

  • A potência e a velocidade de rotação do motor;
  • Os raios das engrenagens D e C ;
  • E o valor do torque T B aplicado no ponto B .

Então...

A partir desses dados, como é que a gente pode determinar os torques internos no nosso eixo A B C ? 🤔

Vamos descobrir juntos!

Motores e Potência

A primeira coisa que podemos observar é que todo motor possui duas propriedades: uma potência P e uma velocidade de rotação ou frequência f .

A partir dessas propriedades, podemos determinar o torque T gerado por esse motor usando a fórmula:

T = P 2 π f

Então assim, podemos dizer que o torque aplicado pelo nosso motor é T M o t o r = P M o t o r / 2 π f M o t o r .

Unidades

Para fazermos a conta T = P / 2 π f , precisamos ter conhecimento das unidades de torque, potência e velocidade de rotação.

Quanto aos torques T , normalmente eles são dados em unidades que já conhecemos, como “ N * m ”, “ N * m m ” ou “ k N * m ”.

Já quanto à potência P , ela deve ser preferencialmente dada em watts ( W = J / s = N * m / s ) ou em quilo-watts ( k W = k J / s = k N * m / s ).

Mas às vezes, ela pode ser dada em h p (horse-power) ou em c v (cavalo-vapor). Nesses casos, é preciso saber que:

1   h p ≅ 745,7   W

&

1   c v ≅ 735,5   W

Felizmente, a maioria dos professores fornece essas informações em prova caso elas sejam necessárias.

Por fim, quanto à velocidade de rotação f , ela é normalmente dada em r p m (rotações por minuto).

Para passar ela para o Sistema Internacional, precisamos dividir ela por 60 para encontrarmos o seu valor em s - 1 ou Hertz ( H z ), como no exemplo abaixo:

f = 300   r p m = 300   1 60 s - 1 = 5   s - 1 = 5   H z

Velocidade Angular

Às vezes, um exercício pode te fornecer a velocidade angular ω (em radianos por segundo) de um motor ao invés de sua velocidade de rotação f .

Nesse caso, basta saber que:

ω = 2 π f

De tal forma que o torque T vai ser:

T = P ω

Relações de Engrenamento

Então até aqui, já descobrimos como encontrar o torque T M o t o r aplicado no eixo D E e, consequentemente, na engrenagem D do nosso sistema:

T D = T D E = T M o t o r

Agora, como é que a gente pode saber o torque que a engrenagem D vai gerar na engrenagem C ?

Para responder isso, temos que perceber que o torque em uma engrenagem é igual à força que é aplicada nos dentes dela vezes o raio dela:

Assim, podemos dizer que:

F = T r

E pelo princípio da ação e reação, temos que as forças que uma engrenagem faz na outra devem ser iguais.

Dessa forma, para um par de engrenagens 1 e 2 , temos que:

F 12 = T 1 r 1 = T 2 r 2

Assim, isolando o torque T 2 na segunda engrenagem, encontramos que:

T 2 = r 2 r 1 T 1

Essa fórmula é uma relação de engrenagemento, e, através dela, podemos encontrar que, para as nossas engrenagens D e C , o torque em C vai ser T C = r C / r D T D .

Sentido dos Torques em Engrenagens

Além disso, é importante saber que em um par de engrenagens, uma engrenagem gira em um sentido enquanto que a outra gira no outro:

No nosso caso, se a engrenagem D tem um torque no sentido horário, a engrenagem E vai ter um torque no sentido anti-horário.

Dessa forma, o eixo A B C do nosso exemplo fica assim:

Regra da Mão Direita

Em seguida, um passo importante para estudar os torques em um eixo é fazer um diagrama de corpo livre desse eixo.

No nosso exemplo, os torques no ponto B e na engrenagem C estão no sentido anti-horário.

Então dá para imaginar que a parede em A vai reagir com um torque no sentido horário para manter o eixo em equilíbrio:

Agora, trabalhar com os torques assim em 3D não é muito prático.

Por esse motivo, a gente usa a regra da mão direita para fazer uma equivalência entre um torque em 3D e uma seta dupla:

Usando essa regra, podemos fazer um diagrama de corpo livre do nosso eixo assim:

E usando esse diagrama de corpo livre, podemos, por exemplo, aplicar o equilíbrio de torques ( ∑ T = 0 ) nessa peça para encontrarmos que T A = T B + T C .

Torques Internos

Com tudo que já vimos, já conseguimos identificar os torques T A , T B e T C nos três pontos do nosso eixo.

Com isso, para podermos calcular as tensões de cisalhamento máximas τ m á x = T c / J no eixo, só nos falta identificar os torques internos nos trechos A B e C D do eixo.

Para isso, fazemos uma análise dos esforços internos, igual à que fazíamos em problemas de carga axial:

  • Secionamos a peça em seus diferentes trechos;
  • Em cada seção, desenhamos um torque interno saindo da peça;
  • E aplicamos o equilíbrio de torques para encontrar o valor desses torques internos.

Para o nosso exemplo, essas seções ficam assim:

E através delas, conseguimos encontrar que T A B = T A e que T B C = T A - T B .

Mas atenção! Para alguns professores, os torques internos T são positivos quando estão “entrando” nas peças e devem então ser desenhados assim:

Usando essa convenção alternativa, encontraríamos que T A B = - T A e que T B C = T B - T A .

Como existe essa diferença nos resultados, vale a pena consultar qual é a convenção que os seus professores usam.

Resumo

Rola sim! 😉

Aqui vai:

Pronto.

Agora é a sua hora de mandar ver nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 189-3.64.

Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção transversal cheia, de 38   m m de diâmetro, quando ele transmite 75   h p a uma velocidade de a   750   r p m e b   1500   r p m .

Dica do Expert: 1   h p = 745,7   W = 745,7   N * m / s .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um diâmetro d = 38   m m e, consequentemente um raio c = d / 2 = 19   m m .

Além disso, ele é maciço, e, dessa forma, possui um momento de inércia polar J dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E, além disso, ele transmite uma potência P = 75   h p com duas frequências: f = 750   r p m na letra ( a ) e f = 1500   r p m na letra ( b ) .

Sendo que essa transmissão de potência se dá através de um torque T que pode ser calculado pela fórmula:

T = P 2 π f

Mas antes de podermos calcular o torque utilizando essa fórmula, precisamos converter a potência P e a frequência f para unidades do SI (sistema internacional).

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no eixo em cada caso, que vai ser dada pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Então resolver esse exercício é uma questão de:

  • Converter a potência P e a frequência f para unidades do SI;
  • Substituir as fórmulas do momento polar de inércia J e do torque T na fórmula da torção acima;
  • E calcular o valor de τ m á x para cada caso.

Passo 2

Então vamos começar pela conversão da potência P e da frequência f para unidades do SI.

Para a potência P , temos que:

P = 75   h p

E que 1   h p = 745,7   W , o que significa que:

P = 75 * 745,7   W = 55927,5   W

Já para a frequência f , temos que:

No item  a   f = 750   r p m

&

No item  b   f = 1500   r p m

E que 1   r p m = 1 / 60   rotações por segundo = 1 / 60   H z ou s - 1 , de tal forma que:

No item  a   f = 750 ∙ 1 60 s - 1 = 12,5   s - 1

&

No item  b   f = 1500 ∙ 1 60 s - 1 = 25   s - 1

Passo 3

Transformadas as unidades de P e f , já podemos seguir para o cálculo de τ m á x .

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

No nosso caso, temos que T = P / 2 π f e que J = π / 2 c 4 , então:

τ m á x = P 2 π f c π 2 c 4

Simplificando tudo, isso fica assim:

τ m á x = P π 2 f c 3       (Equação 1)

Passo 4

Encontrada uma expressão para τ m á x , o último passo é calcular o seu valor nos itens ( a ) e ( b ) .

Para o item ( a ) , temos que:

  • P = 55927,5   W = 55927,5   N * m / s = 55927,5 * 10 3   N * m m / s ;
  • f = 12,5   s - 1 ;
  • & c = 19   m m .

Substituindo esses valores na Equação 1, encontramos que:

τ m á x = 55927,5 * 10 3   N * m m / s π 2 12,5   s - 1 19   m m 3

O que dá:

τ m á x ≅ 66,1   N / m m 2

O que é o mesmo que:

τ m á x ≅ 66,1   M P a

Já para o item ( b ) , temos:

  • P = 55927,5 * 10 3   N * m m / s ;
  • f = 25   s - 1 ;
  • & c = 19   m m .

Substituindo esses valores na Equação 1, encontramos que:

τ m á x = 55927,5 * 10 3   N * m m / s π 2 25   s - 1 19   m m 3

O que dá:

τ m á x ≅ 33,0   M P a

Resposta

a   τ m á x ≅ 66,1   M P a

&

b   τ m á x ≅ 33,0   M P a

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 134-5.5.

O eixo maciço de 30   m m de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo maciço tem um diâmetro d = 30   m m (e, consequentemente, um raio c = d / 2 = 15   m m ) e está submetido à diferentes torques externos nos pontos A , C , D e B .

Sendo assim, ele vai resistir à diferentes torques internos T nos trechos A C , C D e D B .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ m á x no eixo.

Essa tensão máxima absoluta vai ocorrer no trecho do eixo que estiver resistindo ao maior torque interno T .

Então o nosso primeiro passo vai ser identificar qual é o maior torque interno T no eixo.

Feito isso, vamos poder usar a fórmula da torção para calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ m á x no eixo:

τ m á x = T c J

Passo 2

Então vamos começar o exercício identificando qual é o maior torque interno T no eixo.

E como é que a gente faz isso? 🤔

Do mesmo jeito que a gente encontrava a maior força interna normal N em um eixo: fazendo um DCL (Diagrama de Corpo Livre) e uma análise dos esforços internos da peça.

Então vamos lá!

Primeiro, para fazer o DCL, usamos a regra da mão direita para representar os torques na forma de setas duplas:

Com isso, o nosso DCL fica assim:

Show! 😎

Agora, para encontrar os torques internos em cada trecho do eixo, fazemos uma análise dos esforços internos nas seções entre A e C , C e D & D e B :

Nessa análise, desenhamos os torques internos em vermelho “saindo” da peça pois essa é a nossa convenção.

Caso os seus professores utilizem a convenção contrária (a de que os torques internos são positivos quando “entram” nas peças), você deve desenhar os torques internos entrando.

Aplicando o equilíbrio de torques para cada caso, vamos ter que:

300 + T A C = 0

300 - 500 + T C D = 0

&

300 - 500 - 200 + T D B = 0

Em seguida, isolando os torques T em cada uma dessas equações, encontramos que:

T A C = - 300   N ∙ m

T C D = 200   N ∙ m

&

T D B = 400   N ∙ m

Com isso, percebemos que o torque de maior intensidade no nosso eixo é o torque T D B = 400   N ∙ m que atua nas seções entre D e B ! 👌

Além disso, caso seja necessário, podemos representar o resultado que encontramos em um diagrama do momento torsor T para o nosso eixo:

Dica do Expert:

Alguns professores permitem que você faça todo esse passo de cabeça e só diga “O maior torque acontece nas seções entre D e B , onde T = 400   N ∙ m ”.

Por outro lados, existem outros professores, mais rígidos, que cobram que você faça tudo (DCL, análise dos esforços internos & diagrama do momento torsor) no papel. 😕

Passo 3

Agora que já identificamos o torque máximo na peça, podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Para tanto, vamos usar a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Por termos um eixo maciço, o momento polar de inércia J vai ser dado por π / 2 c 4 .

Além disso, como queremos saber a tensão máxima absoluta, devemos usar o torque máximo na peça, ou seja, T D B .

Dessa forma, temos que:

τ m á x = T D B c π 2 c 4

Simplificando tudo, isso fica assim:

τ m á x = 2 T D B π c 3

Por fim, substituindo os valores:

  • T D B = 400   N ∙ m = 400 * 10 3   N ∙ m m ;
  • & c = 15   m m ,

Encontramos que:

τ m á x = 75,5   N / m m 2

E, usando que N / m m 2 é o mesmo que M P a , definimos a nossa resposta final:

Resposta

τ m á x = 75,5   M P a

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 138-5.33.

O projeto prevê que o eixo de transmissão A B de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 125   k W quando o eixo está girando a 1500   r e v / m i n u t o . Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5   m m . A tensão de cisalhamento admissível do material é τ a d m = 50   M P a .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um diâmetro externo d = 62,5   m m , e, consequentemente um raio externo c = d / 2 = 31,25   m m .

Além disso ele não é maciço.

Ao invés disso, ele é feito de uma parede fina de espessura e , de tal forma que ele possui um raio interno c i n t = c - e :

O eixo transmite uma potência P = 125   k W a uma frequência f = 1500   r e v / m i n u t o , de tal forma que ele tem que suportar um torque T :

T = P 2 π f

E, por fim, o material do eixo possui uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 50   M P a .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a espessura e mínima da parede do eixo para que o torque T transmitido não gere nele uma tensão de cisalhamento máxima τ m á x maior que a admissível:

τ m á x ≤ τ a d m

Sendo que essa tensão τ m á x pode ser expressa pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Onde J é o momento polar de inércia do eixo e é dado pela fórmula abaixo para um eixo de seção vazada com raio externo c e raio interno c i n t :

J = π 2 c 4 - c i n t 4

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos converter as unidades da frequência f para o sistema internacional.

Do enunciado, temos que:

f = 1500   r e v / m i n u t o

Mas como 1   m i n u t o = 60   s , temos que:

f = 1500   r e v 60   s