Critérios de Falha

Teoria Completa

Introdução

Nos últimos tópicos, vimos como analisar as tensões em um ponto para descobrirmos:

  • As tensões normais σ extremas nesse ponto, chamadas de tensões principais;
  • E a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nele.

Além disso, em algum momento anterior do curso...

Vimos como os materiais falham quando as tensões neles superam seus limites de resistência, como, por exemplo:

  • O Limite de Resistência ao Escoamento σ E de um material, após o qual um material se deforma irreversivelmente;
  • E o Limite de Resistência à Tração σ L R T , após o qual o material quebra.

Agora...

Vamos dizer que nós descobrimos as tensões principais em um certo ponto P :

...e que a gente sabe que o material desse ponto falha por escoamento quando as tensões nele atingem o limite σ E = 210   M P a .

Nesse caso, como que a gente sabe se o material vai falhar ou não?

Critério da Tensão Normal Máxima

O nosso primeiro instinto pode ser verificar se as tensões normais σ no ponto superam ou não o limite σ E .

Fazendo isso para o nosso exemplo, veríamos que a maior intensidade de tensão normal no ponto é σ m á x = 140   M P a , o que é bem menor que o limite σ E = 210   M P a .

Assim, concluíriamos que o ponto não falha.

Mas a verdade é que esse critério de falha só funciona para materiais frágeis, como o vidro e o acrílico, que falham por quebra/ruptura.

Além disso, esse critério deve usar σ L R T como seu limite, e não σ E , uma vez que é o limite σ L R T que caracteriza a falha por quebra/ruptura dos materiais frágeis.

No nosso caso, temos um material dúctil, que falha por escoamento (deformação irreversível), como é o caso do aço, do alumínio e de muitos plásticos.

Então esse critério de falha não vai adiantar para a gente.

Mas como assim???

Por que não???

Critério da Tensão Cisalhante Máxima (Critério de Tresca)

Porque os experimentos mostram que os materiais dúcteis falham devido à tensão de cisalhamento τ , e não devido à tensão normal σ .

Daí que, para a tensão cisalhante τ , o limite de resistência ao escoamento vai ser:

τ E = σ E 2

E aí para saber se um ponto vai falhar ou não, devemos verificar se a tensão cisalhante máxima τ m á x é maior ou menor que τ E .

E como a gente calcula essa tensão τ m á x ?

Então...

Quando estudamos o estado plano de tensões, vimos que podíamos calcular a tensão cisalhante máxima no plano fazendo que:

τ m á x = σ 1 - σ 2 2

Mas calma...

Essa é só a tensão cisalhante máxima no plano.

A verdade é que a tensão cisalhante máxima no ponto precisa levar em conta o fato de que o ponto é um elemento em um espaço 3D.

Por causa disso, existem na verdade 3 “planos principais” que passam em um ponto.

Daí que, em um desses planos, é possível que a tensão cisalhante máxima seja maior que a calculada pela fórmula acima.

Tá... Mas chega de viagem...

Como é então o jeito certo de calcular a tensão cisalhante máxima no ponto?

Usando a fórmula abaixo:

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2

Onde σ m á x e σ m í n devem ser a tensão principal máxima e a tensão principal mínima no ponto.

Sendo que (atenção!): Quando estivermos trabalhando com tensões no plano, devemos ter em mente que:

  • Além das duas tensões principais σ 1 e σ 2 encontradas no plano,
  • Irá existir no eixo fora do plano uma terceira tensão principal igual à 0 .

Como mostra o exemplo abaixo:

Voltando para o nosso critério de falha...

Aplicando τ m á x = σ m á x - σ m í n / 2 para o nosso ponto P , vamos encontrar que a tensão cisalhante máxima nesse ponto é τ m á x = 110   M P a .

Como isso é maior que τ E = σ E / 2 = 210 / 2 = 105   M P a , isso significa que o material falharia por esse critério.

Mas calma...

Nem tudo está perdido.

Isso porque esse critério de falha da tensão cisalhante máxima (também chamado de critério de Tresca) é um critério mais conservador.

Existe um terceiro critério que tenta descrever melhor o que realmente acontece com os materiais dúcteis, que é o:

Critério da Máxima Energia de Distorção (Critério de von Mises)

Nesse critério, não é utilizado nem a tensão normal máxima nem a tensão cisalhante máxima.

Ao invés disso, definimos uma nova tensão que de uma certa forma leva em conta todos esses fatores.

Essa nova tensão é chamada de tensão de von Mises σ ' , σ v ou σ V M e é calculada a partir das tensões principais σ 1 e σ 2 usando a fórmula:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Aí, podemos dizer que o material deve falhar se essa tensão de von Mises σ ' superar a tensão de escoamento σ E .

Calculando σ ' para o nosso exemplo, encontraríamos σ ' = 192,9   M P a .

E isso é menor que σ E = 210   M P a , o que significa que o material não falharia.

Fatores de Segurança

Para cada um desses critérios, é possível determinar um fator (ou “coeficiente”) de segurança F S .

O fator de segurança indica quantas vezes o material é mais resistente do que ele precisa ser e é definido como:

F S = Tensão de Falha do Material Tensão no Material

De tal forma que:

  • Se F S ≥ 1 , a tensão no material vai ser menor ou igual à tensão de falha e o material não vai falhar.
  • Mas se F S < 1 , a tensão no material vai superar a tensão de falha e o material vai falhar.

Daí que...

Para o Critério da Tensão Normal Máxima, a tensão de falha vai ser σ L R T e a tensão no material a tensão normal máxima σ m á x no ponto, de tal forma que:

F S σ m á x = σ L R T σ m á x

Já para o Critério da Tensão Cisalhante Máxima (Critério de Tresca), a tensão de falha é τ E = σ E / 2 e a tensão no material τ m á x , então:

F S T r e s c a = τ E τ m á x

Enquanto que para o Critério de von Mises, a tensão de falha é σ E e a tensão no material σ ' , de tal forma que:

F S V M = σ E σ '

Dois Comentários Finais

1. Visualização Gráfica

Todos esses critérios de falha podem ser visualizados em um gráfico σ 2   ×   σ 1 .

Mas como assim?

Então...

Se a gente usar os pontos ± σ L R T em um gráfico σ 2   ×   σ 1 para formar um quadrado, esse quadrado vai representar o critério da tensão normal máxima:

Já formando um hexágono entre os pontos ± σ E (!) como na imagem abaixo, o hexágono vai representar o critério de Tresca:

E formando uma elipse inclinada 45 ° entre esses mesmos pontos ± σ E , essa elipse vai representar o critério de von Mises:

Daí que...

Inserindo nesses gráficos as tensões principais σ 1 e σ 2 do nosso ponto P , como foi feito nas imagens acima, vamos ver de acordo com quais critérios o ponto falha ou deixa de falhar.

Se o ponto estiver dentro do quadrado, do hexágono ou da elipse, é porque ele não vai falhar.

E se o ponto estiver fora da região de um certo critério, é porque ele vai falhar de acordo com aquele critério.

2. Tensão de von Mises no Estado Triaxial ou “3D” de Tensões

No caso de estarmos trabalhando com um estado 3D de tensões, a tensão de von Mises σ ' vai ser dada pela fórmula:

σ ' = σ 1 - σ 2 2 + σ 2 - σ 3 2 + σ 3 - σ 1 2 2

Sendo que se a gente pegar essa fórmula acima e fizer σ 3 = 0 , vamos acabar encontrando a fórmula para σ ' que vimos anteriormente para o estado plano de tensões:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

No estado plano de tensões de um ponto P , as tensões principais são σ 1 = + 60   M P a e σ 2 = - 15   M P a .

Determine, usando os critérios de Tresca e de von Mises, o coeficiente de segurança F S para esse ponto sabendo que ele é feito de um material que possui um limite de resistência ao escoamento σ E = 180   M P a .

Ao final, esboce o hexágono de Tresca e a elipse de von Mises para esse material e mostre a localização do ponto P nesses gráficos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu as tensões principais em um ponto P :

σ 1 = + 60   M P a     &       σ 2 = - 15   M P a

Sendo que, lembra aí, a partir dessas tensões principais máximas e mínimas em um ponto, é possível determinar a tensão cisalhante máxima nesse ponto:

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2

Onde σ m á x e σ m í n são as tensões principais máxima e mínima nesse ponto.

Além disso, o exercício ainda nos fornece o limite de resistência ao escoamento σ E = 180   M P a desse material.

Sendo que, lembra aí, a partir desse limite σ E , é possível encontrar o limite de resistência ao escoamento por cisalhamento, τ E :

τ E = σ E 2

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine os coeficientes/fatores de segurança F S para esse ponto P usando os critérios de Tresca e de von Mises.

Para tanto, devemos usar as fórmulas:

F S T r e s c a = τ E τ m á x